– Từ 5 công thức khai triển trên, ta thấy nếu đạo hàm có tính chất truy hồi thì ta mới có thể tính đạo hàm cấp k một cách dễ dàng. Trong trường hợp hàm bất kỳ việc tìm khai triển theo công thức tổng quát sẽ khá khó khăn. – Trong thực hành, thay vì ta đi tính các đạo hàm để tìm công thức khai triển Taylor – Maclaurin, thì ta có thể đổi biến hoặc biến đổi biểu thức về các dạng trên, hoặc áp dụng các tính chất sau: Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ Trang 1 KHÓA H Ọ C: TOÁN CAO C Ấ P - GI Ả I TÍCH I BÀI 5: KHAI TRI Ể N TAYLOR - MACLAURIN - L Ờ I GI Ả I Bài 1: Ta có: 1. 3 3 1 y sin x xcos3x sinx sin3x xcos3x4 4 \= + \= − + 3 5 3 5 2 45 5 4 3 x x 1 (3x) (3x) x xx o(x ) 3x o(x ) x 1 o(x )4 3! 5! 4 3! 5! 2! 4! \= − + + − − + + + − + + 3 5 5 7 23x x x o(x )2 8 \= − + + . 2. 2 y ln(1 x 2x ) ln(1 x) ln(1 2x) \= + − \= − + + 2 3 2 33 3 ( x) ( x) (2x) (2x)( x) o(x ) (2x) o(x )2 3 2 3 − −\= − − + + + − + + 2 3 3 5 7x x x o(x )2 3 \= − + + . 3. y 2sin2xcosx sin3x sinx \= \= + 3 33 3 3 3 (3x) x 143x o(x ) x o(x ) 4x x o(x )3! 3! 3 \= − + + − + \= − + . 4. 2 2x 2 2 x x y e ln(1 x) 1 x o(x) . x o(x ) x o(x )2 2 \= + \= + + − + \= + + . 5. 40 5040 50 1 y (1 2x) .(1 x)(1 2x) (1 x) − − \= \= − +− + Ta có 240 2 2 2 ( 40)( 41)( 2x)(1 2x) 1 40( 2x) o(x ) 1 80x 3280x o(x )2! − − − −− \= − − + + = + + + 250 2 2 2 ( 50)( 51)x(1 x) 1 50x o(x ) 1 50x 1275x o(x )2! − − −+ \= − + + \= − + + 2 2 2 2 2 2 y 1 80x 3280x o(x ) . 1 50x 1275x o(x ) 1 30x 555x o(x ) \= + + + − + + \= + + + . 6. 2 2 x y x ln(3 x) x ln3 ln(1 )3 \= − \= + − Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ Trang 2 2 32 3 x ( x/ 3) ( x/ 3)x ln3 o(x )3 2 3 − −\= + − − + + 2 3 4 5 5 1 1 1x ln3 x x x o(x )3 18 81 \= − − − + . 7. 32 x x 1 31 1 3 1 31 1 3 1 y x 4 . . x 4 . .x2 x 3 2 x 1 6 2 1 xx 4x 313 + +\= \= + + − \= + − +− − −− +− Ta có 2 33 1 x x x1 o(x )x 3 3 313 \= − − + − − − + − ; 2 3 3 11 ( x) ( x) ( x) o(x )1 x \= − − + − − − +− 2 3 3 1 7 25 106 y x x x o(x )3 9 27 81 \= + + + + . 8. 2 22 1/2 2 42 x 1 ( 1/ 2)( 1/ 2 1)(x ) y x(1 x ) x 1 x o(x )2 2!1 x − − − −\= = + \= − + + + 35 5 x 3x x o(x )2 8 \= − + + . 9. y arcsin2x \= . Ta có ( ) 1/222 2 y 2 1 4x1 4x − \= \= −− Xu ấ t phát t ừ công th ứ c khai tri ể n Maclaurin c ủ a hàm s ố α (1 x) + : α n n 0 α(α 1)...(α n 1) (1 x) xn! \= − − ++ \= Thay 1 α 2 \= − ta đượ c: nn nnn 0 n 0 1 1 11 ... n 12 2 21 ( 1) (2n 1)!!x xn! 2 .n!1 x \= \= − − − − − + − − \= \=+ Thay x b ằ ng 2 4x − ta có: n n 12 n 2nn2n 0 n 0 2 ( 1) (2n 1)!! 2 .(2n 1)!! y 2. ( 4x ) xn!2 .n!1 4x + \= \= − − −\= \= − \=− Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ Trang 3 Do đó : x x xn 1 n 1 n 1 2n 12n 2nn 0 n 0 n 00 0 0 2 .(2n 1)!! 2 .(2n 1)!! 2 .(2n 1)!! x y y dx t dt . t dt .n! n! n! 2n 1 + + + + \= \= \= − − −\= \= \= \=+ 10. x0 y ln(1 t)dt \= + Nh ậ n xét: 2 33 x x y ln(1 x) x o(x )2 3 \= + \= − + + 2 3 44 x x x y ydx o(x )2 6 12 \= \= − + + (chú ý do y khai tri ển đế n c ấ p 4 nên y khai tri ển đế n c ấ p 3). Bài 2: 1. x yx 4 \=+ Cách 1: Đặ t t 1 4 4 1t x 1 x t 1 y 1 1 .tt 5 t 5 515 +\= − → \= + → \= \= − \= −+ ++ 2 nn n 4 t t t1 . 1 ... ( 1) o(t )5 5 5 5 \= − − + + + − + n 12 n nn 1 1 4 4 4.( 1)t t ... t o(t )5 25 125 5 ++ −\= + − + + + n 12 n nn 1 1 4 4 4.( 1)(x 1) (x 1) ... (x 1) o (x 1)5 25 125 5 ++ − \= + − − − + + − + − . Cách 2: n n 1(n) (n)n 1 n 1 x 4 ( 1) .n! 4.( 1) .n! y 1 y 4. y (1)x 4 x 4 (x 4) 5 ++ + − −\= \= − → \= − → \=+ + + (n)2 n n y (1) y (1) y (1) y y(1) (x 1) (x 1) ... (x 1) o (x 1)1! 2! n! \= + − + − + + − + − n 12 n nn 1 1 4 4 4.( 1)(x 1) (x 1) ... (x 1) o (x 1)5 25 125 5 ++ − \= + − − − + + − + − 2. 2 1 1 1 1 1 1 1 yx 2 x 1 (x 3) 1 (x 3) 2 t 1 t 2x 3x 2 \= \= − \= − \= −− − − + − + + +− + (đặ t t x 3 \= − ) 2 n2 n n n n n 1 1 1 1 t t t. 1 t t ... ( 1) t o(t ) . 1 ... ( 1) o(t )t1 t 2 2 2 2 212 \= − \= − + + + − + − − + + + − + + + |
