Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h63.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe ) Nhận xét. Nếu ta đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) thì phương trình (1) trở thành : Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A2 + B2 + C2>0. (2) Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) hay nói gọn là phương trình mp(α). Như vậy, ta đễ dàng viết được phương trình mặt phẳng nếu biết tọa độ của một điểm thuộc nó và tọa độ một vectơ pháp tuyến của nó. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M(0 ; 1 ; 1), N(1 ; -2 ; 0) và P(1 ; 0 ; 2). Giải. Ta có  -4(x - 0) – 2(y – 1) + 2(z - 1) = 0 hay 2x + y +z = 0. ¢ 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; -2 ; 3) và B(-5 ; 0 ; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực(P) của đoạn thẳng AB. Như vậy, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng (2). Định lý sau đây khẳng định điều ngược lại. ĐỊNH LÍ Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình 2 (để chứng minh định lí). Lấy một nghiệm (x0 ;y0 ; z0) và vectơ pháp tuyến là 2. Các trường hợp riêng Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng và nói rõ trong mỗi trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm gì . 3 Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng đình sau đây :
Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = 0 và trường hợp C = 0.
Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = C = 0 và trường hợp C = A = 0. Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với cac hệ số A, B, C, D đều khác 0. Khi đó bằng cách đặt Rõ ràng mặt phẳng có phương trình(3) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0) và P(0 ; 0 ; c). Độ dài đại số của các vectơ Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M = (30 ; 15 ; 6).
Giải
Bằng cách thay các giá trị x, y, z từ ba phương trình cuối vào phương trình đầu, ta được t + 4t + 25t – 30 = 0. Từ đó ta tìm được t = 1 và do đó H = (1 ; 2 ; 5).¢ 3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Hai bộ số tỉ lệ Xét các bộ n số (x1 ; x2 ; … ; xn) (n>2), trong đó các số x1, x2, …, xn không đồng thời bằng 0. • Hai bộ số (A1 ; A2 ; … ; An) và (B1 ; B2 ; … ; Bn) như thế được gọi là tỉ lệ với nhau (hay tỉ lệ) nếu có một số t sao cho A1 = tB1, A2 = tB2,…, An = tBn. Khi đó ta viết Theo định nghĩa đó, ta có • Khi hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An) và (B1 ; B2 ;… ; Bn) không tỉ lệ , ta viết A1 : A2 : … : An≠B1 : B2 : … : Bn . Ví dụ : 1 : 5 : -2 : 4 ≠ 1 : -2 : 5 : 4, 1 : 0 : 1 : 2≠ 1 : 1 : 1 : 2. • Ta hãy xét trường hợp hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An) và (B1 ; B2 ;… ; Bn) tỉ lệ, nhưng hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An ;An+1) và (B1 ; B2 ;… ; Bn ; Bn+1) không tỉ lệ. Điều đó có nghĩa là : có số t sao cho A1 = tB1, A2 = tB2,…, An = tBn nhưng An+1 ≠tBn+1 . Trong trường hợp đó, ta viết : Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α)và (α') lần lượt có phương trình : (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0 ; Chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là ?1 Nếu A : B : C ≠ A' : B' : C' thì ta có thể nói gì về hai vectơ Bây giờ xét trường hợp A : B : C \=A' : B' : C' hay 4 Hãy xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (α)và (α') trong mỗi trường hợp sau : Cho hai mặt phẳng (α)và (α') lần lượt có phương trình : (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0.
?2 Hai mặt phẳng (α)và (α') nói trên vuông góc với nhau khi nào ? 5 Cho hai mặt phẳng (α) : 2x – my + 10z + m +1 = 0 (β) : x – 2y + (3m +1)z – 10 = 0. Hãy tìm giá trì của m để :
4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm Mo(xo ; yo ; zo) và mặt phẳng (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0. Hoàn toàn tương tự như công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong hình học phẳng, ta có công thức sau đây về khoảng cách d(Mo,( α)) từ điểm Mo tới mp(α) : 6 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là : 3x – y + 2z – 6 = 0 và 6x – 2 y + 4z + 4 = 0. Ví dụ 3. Cho tứ diện OABCD có ba cạnh OA = a, OB = b, OC = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O. Giải Vì ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên ta có thể chọn hệ tọa độ có gốc là O và có A = (a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) (h.64). Hình 64 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h64.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe ) Khi đó mp(ABC) có phương trình theo đoạn chắn là Chiều cao h cần tìm là khoảng cách từ điểm O tới mp(ABC) nên Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh AA', BC, C'D' lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CN = D'P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mp(ACD') và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz, có gốc O trùng với D, các trục Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua A, C', D' như ở hình 65. Hình 65 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h65.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe ) Khi đó : A = (a ; 0 ; 0), C = (0 ; a ; 0), D' = (0 ; 0 ; a), M = (a ; 0 ; t), N = (t ; a ; 0), P = (0 ; t ; a). Phương trình theo đoạn chắn của mp(ACD') là : Mặt khác, mp(MNP) có vectơ pháp tuyến là Ta có Từ đó ta tìm được tọa độ của vectơ Bởi vậy hai vectơ Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó bằng khoảng cách từ điểm M của mp(MNP) tới mp(ACD') nên ta có Câu hỏi và bài tập 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau :
17. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song :
18. Cho hai mặt phẳng có phương trình là 2x – my + 3z – 6 + m = 0 và(m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0. Với giá trì nào của m thì :
19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α) trong mỗi trường hợp sau :
20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'. 21. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
22. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ, hãy chứng minh :
23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình : |
