§3. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
28. Tìm các giới hạn sau :
Giải
29. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
Giải
30. Chứng minh rằng hàm số y = $sin^{6}$x + $cos^{6}$x + 3$sin^{2}$x$cos^{2}$x có đạo hàm bằng 0.
Giải
31. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
Giải
32. Chứng minh rằng :
a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y' - $y^{2}$ - 1 = 0
b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y + 2$y^{2}$ + 2 = 0
Giải
a) y' = 1 + $tan^{2}$x. Do đó y' - $y^{2}$ - 1 = (1 + $tan^{2}$x) - $tan^{2}$x - 1 = 0
b) y' = -2(1 + $cot^{2}$2x). Do đó y' + 2$y^{2}$ + 2 = - 2(1 + $cot^{2}$2x) + 2$cot^{2}$2x + 2 = 0
33. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :
Giải
34. Tính f'($\pi$) nếu
Giải
Với mọi x sao cho cosx - xsinx $\neq$ 0, ta có :
35. Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau :
a) y = sin2x - 2cosx ;
b) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x ;
c) y = $cos^{2}$x + sinx ;
d) y = tanx + cotx.
Giải
a) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 2cos2x + 2sinx = 2(1 - 2$sin^{2}$x) + 2sinx
Vậy y' = 0 ⇔ 2$sin^{2}$x - sinx - 1 = 0
b) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 6cos2x – 8sin2x + 10
Vậy y' = 0 ⇔ 4sin2x – 3cos2x = 5
Vì
Thay vào (1), ta được :
c) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = - 2cosxsinx + cosx = cosx(1 - 2sinx)
y' = 0 ⇔ cosx(1 - 2sinx) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 1 - 2sinx = 0
Vậy đáp số là
36. Cho hàm số f(x) = 2$cos^{2}$(4x - 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có $\mid$ f'(x) $\mid$ $\leq$ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Giải
Với mọi x $\in$ R, ta có:
f'(x) = 2.2cos(4x - 1). [-sin(4x - 1)]4 = - 8sin2(4x - 1)
Suy ra $\mid$(f'(x)$\mid$ = 8 $\mid$sin2(4x - 1)$\mid$ $\leq$ 8.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
37. Cho mạch điện như hình vẽ. Lúc đầu tụ điện có điện tích $Q_{0}$. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây, điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = $Q_{0}$sin$\omega$t, trong đó, $\omega$ là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t).
Cho biết $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s. Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến $10^{-5}$mA).
Giải
Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :
I(t) = q'(t) = $Q_{0}$$\omega$cos$\omega$t
Khi $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :
38. Cho hàm số y = $cos^{2}$x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = $\pi$ có hệ số góc bằng 1.
b) Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ
Giải
Đặt f(x) = $cos^{2}$x + msinx, ta có :
f'(x) = - sin2x + mcosx
a) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = $\pi$ là :
f($\pi$) = -sin2$\pi$ + mcos$\pi$ = -m.
Vậy f'($\pi$) = 1 ⇔ m = - 1
b) Điều kiện của bài toán có nghĩa là
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số sau không phụ thuộc vào x:
Đáp số : y' = 0
2. Giải phương trình y' = 0 với y = 3cosx + 4sinx + 5x
3. Tính đạo hàm của :
Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải – Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a) Giới hạn: limx→0sinxx=1
b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác
| Đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản | Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) |
| (sin x)’ = cos x (cos x)’ = – sin x tanx'=1cos2x=1+tan2x x≠π2+kπ,k∈ℤ cotx'=−1sin2x=−1+cot2x x≠kπ,k∈ℤ | (sin u)’ = u'.cos u (cos u)’ = – u'.sin u tanu'=u'cos2u=u'.1+tan2u u≠π2+kπ,k∈ℤcotu'=−u'sin2u=−u'.1+cot2u u≠kπ,k∈ℤ |
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sin x – 3cos x
b) y = sin(x2 – 3x + 2)
c) y=1+2tanx
d) y = tan 3x – cot 3x
e) y=tan2x−13cot4x+sinx
Lời giải
a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x
b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2).
c) Ta có: y'=1+2tanx'21+2tanx=2cos2x21+2tanx=1cos2x1+2tanx.
d) Ta có các cách thực hiện sau:
Cách 1: Ta có ngay:
y'=3cos23x+3sin23x=3sin23x.cos23x=314sin26x=12sin26x.
Cách 2: Ta biến đổi:
y=sin3xcos3x−cos3xsin3x=sin23x−cos23xcos3x.sin3x=−2cos6xsin6x =−2cot6x
⇒y'=12sin26x.
e) y'=(tan2x)'−13(cot4x)'+sinx'=2cos22x+43sin24x+cosx2sinx
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y=sin23x+1cos2x
b) y=1+sinx1+cosx
c) y=tanx2+2x+1
d) y=(sinx+cosx)3cosx−13sinx
Lời giải
a) y'=2sin3x.sin3x'−cos2x'cos4x=2sin3x.3cos3x−2cosx.cosx'cos4x=6sin3xcos3x+2cosx.sinxcos4x=3sin6x+2sinxcos3x
b) y'=(1+sinx)'(1+cosx)−(1+cosx)'(1+sinx)(1+cosx)2
=cosx(1+cosx)+sinx(1+sinx)(1+cosx)2=cosx+sinx+1(1+cosx)2
c) y'=tanx2+2x+1'=x2+2x+1'cos2x2+2x+1
=2x+1xcos2x2+2x+1=2xx+1xcos2x2+2x+1
d) y'=(sinx+cosx)'3cosx−13sinx+(sinx+cosx)3cosx−13sinx'
=(cosx−sinx)3cosx−13sinx+(sinx+cosx)−3sinx−13cosx
=3cos2x−103sinxcosx+13sin2x−3sin2x−103sinxcosx−13cos2x
=83cos2x−83sin2x−203sinxcosx
=83cos2x−103sin2x
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0.
b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0.
Lời giải
a) Trước tiên, ta có: y'=1cos2x.
Khi đó, ta có:
y'−y2−1 =1cos2x−tan2x−1=1cos2x−1cos2x=0 (đpcm)
b) Trước tiên, ta có: y'=−2sin22x.
Khi đó, ta có:
y'+2y2+2=−2sin22x+2cot22x+2 =−2sin22x+2sin22x=0 (đpcm)
Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y = sin 2x – 2cos x.
b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.
Lời giải
a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.
Khi đó, phương trình có dạng:
2cos2x+2sinx=0 ⇔cos2x=−sinx=cosx+π2
⇔2x=x+π2+2kπ2x=−x−π2+2kπ ⇔x=π2+2kπx=−π6+2kπ3,k∈ℤ.
b) Trước tiên, ta có:
y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.
Khi đó, phương trình có dạng:
6cos2x−8sin2x+10=0⇔4sin2x−3cos2x=5
⇔45sin2x−35cos2x=1
Đặt 45=cosa và 35=sina, do đó ta được:
sin2xcosa−cos2x.sina=1⇔sin(2x−a)=1
⇔2x−a= π2+2kπ⇔x=a2+ π4+kπ, k∈ℤ.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:
A. y’ = - tan x
B. y'=−1cos2x
C. y'=−1sin2x
D. y’ = 1 + cot2x
Câu 2. Hàm số y=−32sin7x có đạo hàm là:
A. −212cosx
B. −212cos7x
C. 212cos7x
D. 212cosx
Câu 3. Hàm số y=sinπ6−3x có đạo hàm là:
A. 3cosπ6−3x
B. −3cosπ6−3x
C. cosπ6−3x
D. −3sinπ6−3x.
Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:
A. y’ = 3cos 2x – sin 3x
B. y’ = 3cos 2x + sin 3x
C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x
D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x
Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:
A. tan2x+2xcos2x
B. 2xcos22x
C. tan2x+2xcos22x
D. tan2x+xcos22x.
Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?
A. 30cos3x.sin5x
B. – 8cos8x + 2cos2x
C. 8cos8x – 2cos2x
D. – 30cos3x + 30sin5x
Câu 7. Hàm số y=sinxx có đạo hàm là:
A. y'=xsinx−cosxx2
B. y'=xcosx−sinxx2
C. y'=xcosx+sinxx2
D. y'=xsinx+cosxx2
Câu 8. Hàm số y=12cotx2 có đạo hàm là:
A. −x2sinx2
B. xsin2x2
C. −xsinx2
D. −xsin2x2
Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:
A. y'=1sin22x
B. y'=4cos22x
C. y'=4sin22x
D. y'=1cos22x
Câu 10. Đạo hàm của hàm số y=sinx+cosxsinx−cosx có biểu thức dạng a(sinx−cosx)2.
Vậy giá trị a là:
A. a = 1
B. a = – 2
C. a = 3
D. a = 2
Câu 11. Cho hàm số y=sin2+x2. Đạo hàm y' của hàm số là
A. 2x+22+x2cos2+x2
B. −x2+x2cos2+x2
C. x2+x2cos2+x2
D. (x+1)2+x2cos2+x2
Câu 12. Đạo hàm của hàm số y=sin22x.cosx+2x là
A. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x
B. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x
C. y'=2sin4x.cosx+sinx.sin22x−1xx
D. y'=2sin4x.cosx−sinx.sin22x−1xx
Câu 13. Cho hàm số y=fx=sin35x.cos2x3. Giá trị đúng của f'π2bằng
A. −36
B. −34
C. −33
D. −32
Câu 14. Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 4 nghiệm
Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng (−π;π)
A. −π6 và π6
B. −π3 và π3
C. −π6 và 7π12
D. −π3 và π6
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | B | B | C | C | B | B | D | C | B | C | D | A | C | B |