- 1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group C H U Y Ê N Đ Ề B À I T Ậ P S Á C H K Ế T N Ố I T R I T H Ứ C Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP TOÁN 11 - SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM - CHƯƠNG 4 - QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN - CHƯƠNG 5 - GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC (BẢN GV) WORD VERSION | 2024 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL [email protected]
- 2. l c lụ ụ ụ ục c c c BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ...............................................................................3 A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ...........................................................................................................3 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.....................................................................................................5 Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.............................................................................................................5 1. Phương pháp....................................................................................................................................................5 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ..............................................................................................................................6 3. Bài tập trắc nghiệm..........................................................................................................................................9 Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ........................................................................................9 1. Phương pháp....................................................................................................................................................9 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ..............................................................................................................................9 Dạng 3. Thiết diện..................................................................................................................................................12 1. Phương pháp..................................................................................................................................................12 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................12 Dạng 4. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy.....................................................................................14 1. Phương pháp..................................................................................................................................................14 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................14 Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng..........................................................................................17 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.........................................................................................................................19 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM......................................................................................................................................22 BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.................................................................................................................45 A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM .........................................................................................................45 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP...................................................................................................46 Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy .............................................................................46 1. Phương pháp..................................................................................................................................................46 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................46 Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp..............................................................................................48 1. Phương pháp..................................................................................................................................................48 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................48 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.........................................................................................................................51 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM......................................................................................................................................54 BÀI 12: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.................................................................................................................69 A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM .........................................................................................................69 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP...................................................................................................69 Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy .............................................................................69 1. Phương pháp..................................................................................................................................................69 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................69 Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng .....72
- 3. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................73 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.........................................................................................................................75 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM......................................................................................................................................77 BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ......................................................................................................................87 A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM .........................................................................................................87 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP...................................................................................................88 Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song ....................................................................................................88 1. Phương pháp..................................................................................................................................................88 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................89 Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng91 1. Phương pháp..................................................................................................................................................91 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................91 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.........................................................................................................................94 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM......................................................................................................................................97 BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG ............................................................................................................................112 A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM .......................................................................................................112 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN .............................................................................................................................113 Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian ................................................................................113 1. Phương pháp ...........................................................................................................................................113 2. Các ví dụ ...................................................................................................................................................113 Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song ................................................................................115 1. Phương pháp ...........................................................................................................................................115 2. Các ví dụ ...................................................................................................................................................115 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.......................................................................................................................116 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM....................................................................................................................................118 GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ÔN TẬP CHƯƠNG IV............................................................................................122 PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM........................................................................................................................................122 PHẦN 2: TỰ LUẬN ................................................................................................................................................123 BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IV...............................................................................................................................128 PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM........................................................................................................................................128 PHẦN 2: TỰ LUẬN ................................................................................................................................................151
- 4. HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Chú ý - Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó. - Để kí hiệu mặt phằng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Trong Hình 4.1, ta có mặt phẳng ( ) P và mặt phằng ( ) α . - Điểm A thuộc mặt phẳng ( ) P , kí hiệu ( ) A P ∈ . - Điểm B không thuộc mặt phẳng ( ) P , kí hiệu ( ) B P ∉ . Nếu ( ) A P ∈ ta còn nói A nằm trên ( ) P , hoặc ( ) P chứa A , hoặc ( ) P đi qua A . Chú ý. Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau: - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Hình biều diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. - Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biều diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn đề biểu diễn cho đường bị che khuất. Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau. 2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- 5. nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Nhận xét. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng , , A B C là ( ) ABC . Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu khồng có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng. Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điềm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Chú ý. Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt ( ) P và ( ) Q được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là ( ) ( ) d P Q = ∩ . Tính chất thừa nhận 5: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm , , A B C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu ( ). ABC Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc , d kí hiệu ( ) , . A d Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng , a b cắt nhau, kí hiệu ( ) , . a b 4. HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN Cho đa giác 1 2... n A A A và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh 1 2 , ,..., n A A A ta được n miền đa giác 1 2 2 3 1 , ,..., . n n SA A SA A SA A − Hình gồm n tam giác đó và đa giác 1 2 3... n A A A A được gọi là hình chóp 1 2 3 . ... . n S A A A A Trong đó: • Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. • Đa giác 1 2... n A A A gọi là mặt đáy của hình chóp. • Các đoạn thẳng 1 2 2 3 1 , ,..., n n A A A A A A − gọi là các cạnh đáy của hình chóp. • Các đoạn thẳng 1 2 , ,..., n SA SA SA gọi là các cạnh bên của hình chóp. • Các miền tam giác 1 2 2 3 1 , ,..., n n SA A SA A SA A − gọi là các mặt bên của hình chóp.
- 6. hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác. - Cho bốn điểm , , , A B C D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác , , ABC ACD ABD và BCDđượ C gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là . ABCD - Trong hình tứ diện ABCDcác điểm , , , A B C D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng , , , , , AB BC CD DA AC BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác , , , ABC ACD ABD BCDđược gọi là các mặt của tứ diện. - Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đīnh đối diện với mặt đó. Nhận xét. Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy. Chú ý a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện. b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phương pháp Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến (P) A5 A6 A4 A3 A2 A1 S
- 7. chung của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q thường được tìm như sau: - Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng ( ) P và ( ) Q cùng nằm trong một mặt phẳng ( ) R . - Giao điểm = ∩ M a b chính là điểm chung của mặt phẳng ( ) P và ( ) Q . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD) c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD) e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC) Giải a. Trong mp (ABCD): { } ( ) ( ) ( ) ( ) AC BD O AC SAC O SAC SBD BD SBD ∩ = ⊂ ∈ ∩ ⊂ Mà ( ) ( ) S SAC SBD ∈ ∩ nên ( ) ( ) SO SAC SBD = ∩ . b. Trong (ABCD) ta có: { } ( ) ( ) ( ) ( ) AB CD F AB SAB F SAB SCD CD SCD ∩ = ⊂ ∈ ∩ ⊂ Mà ( ) ( ) S SAB SCD ∈ ∩ nên ( ) ( ) SF SAB SCD = ∩ . c. Trong (ABCD) ta có: { } ( ) ( ) ( ) ( ) BC AD E BC SBC E SAD SBC AD SAD ∩ = ⊂ ∈ ∩ ⊂ Mà ( ) ( ) S SAD SBC ∈ ∩ nên ( ) ( ) SE SAD SBC = ∩ . d. Ta có: ( ) ( ) M MBC SAD ∈ ∩ ( ) ( ) E BC AD E MBC SAD ∈ ∩ ∈ ∩ Nên ( ) ( ) ME MBC SAD = ∩ . e. Ta có: ( ) ( ) M MCD SAB ∈ ∩ E F O A D C B S M
- 8. ) F AB CD F MCD SAB = ∩ ∈ ∩ Vậy ( ) ( ) MF MCD SAB = ∩ . f. Ta có: ( ) ( ) M BDM SAC ∈ ∩ ( ) ( ) O BDM SAC ∈ ∩ Do đó ( ) ( ) MO BDM SAC = ∩ . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP). Giải a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng (ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng MN. b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó K là điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN). Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao tuyến của chúng là đường thẳng BK. Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) IBC và ( ). JAD b) Điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) IBC và ( ). DMN Lời giải a) Ta có: ( ) ( ). ∈ ∈ ∩ I AD I JAD IBC ( ) ( ). ∈ ∈ ∩ J BC J JAD IBC K A B C D M P N
- 9. ) ( ). = ∩ IJ IBC JAD b) Trong mặt phẳng ( ) ABC gọi = ∩ E DM IB suy ra ( ) ( ). ∈ ∩ E DMN IBC Trong mặt phẳng ( ) ACD gọi = ∩ F DN IC suy ra ( ) ( ). ∈ ∩ F DMN IBC Do đó ( ) ( ). = ∩ EF DMN IBC Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm bên trong tam giác ABD, điểm N nằm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) AMN và ( ). BCD b) ( ) DMN và ( ). ABC Lời giải a) Trong mặt phẳng ( ) ABD gọi . = ∩ Q AM BD Khi đó ( ) ( ). ∈ ∩ Q AMN BCD Tương tự gọi ( ) ( ). = ∩ = ∩ P AN CD P AMN BCD Do vậy ( ) ( ). = ∩ PQ AMN BCD b) Trong mặt phẳng ( ) ABD gọi = ∩ E DM AB suy ra ( ) ( ). ∈ ∩ E DMN ABC trong mặt phẳng ( ) ACD gọi = ∩ F DN AC suy ra ( ) ( ). ∈ ∩ F DMN ABC Do đó ( ) ( ). = ∩ EF DMN ABC Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD và SO. Tìm giao tuyến của a) Mặt phẳng ( ) MNP và ( ). SAB b) Mặt phẳng ( ) MNP và ( ). SBC Lời giải
- 10. ∩ H NO AB , trong mặt phẳng ( ) SHN dựng NP cắt SH tại ( ) ( ). ∩ ∩ Q Q MNP SAB Gọi ( ) ( ). = ∩ ∈ ∩ F NM AB F MNP SAB Do đó ( ) ( ). = ∩ QF SAB MNP b) Trong mặt phẳng ( ) SAB , gọi ( ) ( ) = ∩ = ∩ E QF SB E SBC MNP Do đó ( ) ( ). = ∩ ME MNP SBC 3. Bài tập trắc nghiệm Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng ( ) α , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong ( ) α . ( ) ( ) a b M M a b ∩ = = ∩ α ⊂ α Phương pháp: - Bước 1: Xác định mp( ) β chứa a. - Bước 2: Tìm giao tuyến ( ) ( ) b = α ∩ β . - Bước 3: Trong ( ):a b M β ∩ = , mà ( ) b ⊂ α , suy ra ( ) M a = ∩ α . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng ( ) α . S là điểm không nằm trên ( ) α . a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD). b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC). c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng. Giải a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: b a β α M
- 11. ) ( ) S SAC S SAC SBD S SBD ∈ ∈ ∩ ∈ (1) Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và mp(SBD). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O AC O SAC AC SAC O SAC SBD O BD O SBD BD SBD ∈ ∈ ⊂ ∈ ∩ ∈ ∈ ⊂ (2) Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD). Vậy ( ) ( ) SO SAC SBD = ∩ . * Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) S SAB S SAB SCD S SCD ∈ ∈ ∩ ∈ (3) Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E AB E SAB AB SAB E SAB SCD E CD E SCD CD SCD ∈ ∈ ⊂ ∈ ∩ ∈ ∈ ⊂ (4) Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD). Vậy: ( ) ( ) SE SAB SCD = ∩ . b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có: ( ) ( ) P BN P SO SAC P SAC ∈ ∈ ⊂ ∈ P là giao điểm của BN và (SAC). Vậy P là giao điểm cần tìm. c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng: • Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD nên MN CD ∥ . Xét tam giác SDE, ta có: ∥ MN CD N laø trung ñieåm cuûa SD T là trung điểm của SE. • Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR AB ∥ . Xét tam giác SAE, ta có: P T R Q N M O A D J S B C
- 12. laø trung ñieåm cuûa SA QR đi qua trung điểm T của SE. Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng ( ) α , cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc ( ) α , M là điểm nằm trong tam giác SCD. a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD). b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Giải a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD): Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của aN và BD. Rõ ràng ( ) ( ) mp SAM mp SAN ≡ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E AN E SAM E SAM SBD 1 E BD E SBD ∈ ∈ ∈ ∩ ∈ ∈ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) S SAM SBD 2 ∈ ∩ Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) SE SAM SBD = ∩ . b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAM AM SAM SBD SE F AM SBD F AM SE SAM ⊃ ∩ = = ∩ ∈ ∩ ⊂ Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB. Giải Trong mp(SAC): { } MN AC K ∩ = , mà ( ) MN OMN ⊂ nên { } ( ) K AC OMN = ∩ . Trong mp(ABC): { } OK BC H ∩ = , mà ( ) OK OMN ⊂ nên { } ( ) H BC OMN = ∩ . Ta có: { } OK AB G ∩ = , mà ( ) OK OMN ⊂ nên { } ( ) G AB OMN = ∩ . F E A D C B S N M H G K A C B S O M N
- 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD. a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC). b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC. Giải a. Ta có ( ) EF SBF ⊂ . Trong mp(ABCD): { } BF AC O ∩ = , suy ra ( ) ( ) SAC SBF SO ∩ = . Trong mp(SBF): { } EF SO K ∩ = , mà ( ) SO SAC ⊂ , suy ra { } ( ) K EF SAC = ∩ . b. Trong mp(ABCD): { } AF BC G ∩ = , mà ( ) AF AEF ⊂ , suy ra { } ( ) G BC AEF = ∩ . Khi đó: ( ) ( ) AEF AEG ≡ . Trong mp(SBC): { } EG SC H ∩ = , mà ( ) EG AEF ⊂ , suy ra { } ( ) H SC AEF = ∩ . Dạng 3. Thiết diện 1. Phương pháp Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) MNP . Lời giải Trong mặt phẳng ( ) ABCD gọi Q NP CD = ∩ và K NP BC = ∩ K H G O A D C B S E F
- 14. SBC gọi E SB KM = ∩ , trong ( ) mp SAD gọi . F SD QM = ∩ Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) MNP là ngũ giác NEMFP. Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE a = . Kéo dài BD một đoạn . DF a = Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( ) MEF . b) Tính diện tích của thiết diện. Lời giải a) Trong ( ) mp ABC : Dựng ME cắt AC tại I. Trong ( ) mp ABD : Dựng MF cắt AD tại J. Từ đó thiết diện của tứ diện với ( ) mp MEF là MIJ ∆ . b) Theo cách dựng thì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABE và ABF 2 2 3 3 2 2 3 3 a AI AC a AJ AD = = = = tam giác AIJ đều 2 . 3 a IJ = Mặt khác AI AJ = nên . AMI AMJ MI MJ ∆ = ∆ = Trong 2 2 13 , 2 . .cos . 6 a AMI MI MA IA MA IA A ∆ = + − = 2 2 2 1 1 2 13 . . .2 . 2 2 3 6 3 6 MJI a a a a S IJ MK ∆ = = − = Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD). Giải Trong mp(ABCD): { } AB CD E ∩ = . Trong mp(SAB): { } AM SE K ∩ = . Do đó ( ) ( ) mp AMD mp AKD ≡ . Trong mp(SCD): { } KD SC N ∩ = Do đó ( ) ( ) MN AMD SBC = ∩ , ( ) ( ) ND AMD SCD = ∩ . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND. K N C A D E S B M
- 15. điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy 1. Phương pháp - Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a). - Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (Hình b). Hình a. Hình b. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho tứ diện S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải Ta có: ( ) ( ) I DEF I DE AB I I ABC ∈ = ∩ ∈ ∈ giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) DEF và ( ) ABC . Tương tự J EF BC J = ∩ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) DEF và ( ). ABC K FD AC K = ∩ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) DEF và ( ) ABC . Do đó I, J, K thẳng hàng do cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) DEF và ( ). ABC b a c K β α A B C
- 16. Cho hình bình hành ABCD, S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC. a) Xác định giao điểm ( ). I AN SBD = ∩ b) Xác định giao điểm ( ). J MN SBD = ∩ c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng. Lời giải a) Gọi O AC BD = ∩ và I AN SO = ∩ Khi đó ( ) ( ) I SO I SBD I AN SBD ∈ ∈ = ∩ b) Gọi E CM BD = ∩ Trong mặt phẳng ( ) SCM gọi J MN SE = ∩ Khi đó ( ) J MN SBD = ∩ . c) Các điểm I, J, B lần lượt thuộc các đường thẳng AI, MN, AM nên ( ) , , I J B mp AMN ∈ Mặt khác các điểm ( ) , , I J B mp SBD ∈ Do đó I, J, B thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) AMN và ( ) , , SBD I J B thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có , . AB CD E AD BC F ∩ = ∩ = Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. a) Tìm giao điểm ( ) Q SD MNP = ∩ . b) Giả sử . MN PQ H ∩ = Chứng minh S, H, E thẳng hàng. c) Chứng minh SF, MQ, NP đồng qui. Lời giải a) Qua P kẻ đường thẳng // d CD, cắt SD tại ( ) Q Q SD MNP = ∩ b) Ta có ( ) ( ) SAB SCD A ∩ =
- 17. PQ H ∩ = mà ( ) ( ) MN SAB PQ SCD ⊂ ⊂ ( ) ( ) SAB SCD H → ∩ = Mặt khác AB CD E ∩ = mà ( ) ( ) AB SAD PQ SBC ⊂ ⊂ ( ) ( ) SAB SCD E → ∩ = , , S H E thẳng hàng c) Ta có ( ) ( ) SAD SBC SF ∩ = Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) , SBC MNPQ NP SAD MNPQ MQ ∩ = ∩ = Suy ra ba đường thẳng SF, NP, MQ đồng quy. Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB, sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA. a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC. b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy. Lời giải a. Trong mp(SBC): { } IJ BC D ∩ = (do IJ không song song với BC). Mà ( ) IJ IJK ⊂ nên ( ) D IJK BC = ∩ . b. Ta có IK không song song với SA nên trong mp(ABC): { } IK SA F ∩ = . Ta có: { } ( ) ( ) ( ) ( ) IK SA F IK IJK ,SA SAC F EJ EJ IJK SAC ∩ = ⊂ ⊂ ∈ = ∩ . Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K là một điểm trên cạnh SD. a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD. b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC. c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. Lời giải E D F A C S B I J K
- 18. { } AB CD E ∩ = . Mà ( ) AB ABK ⊂ nên ( ) E ABK CD ∈ ∩ . b. Ta có: ( ) ( ) ABK AEK ≡ Trong mp(SCD): { } EK SC F ∩ = . Mà ( ) EK ABK ⊂ nên ( ) F ABK SC ∈ ∩ . c. Trong mp(ABK): { } AF BK G ∩ = . Mà ( ) ( ) AF SAC , BK SBD ⊂ ⊂ nên ( ) ( ) G SAC SBD SO ∈ ∩ = . Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy. Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. 1. Phương pháp Áp dụng kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) I a b a P ,b Q I c P Q c = ∩ ⊂ ∩ ∈ ∩ = 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N. a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N. b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD. Giải a. Trong mp(BCD): { } KM CD E ∩ = . F G E O A D B S C K I F N E K A B D C M H
- 19. } HE AD N ∩ = . Mà ( ) HE P ⊂ nên ( ) N AD P = ∩ là điểm cần tìm. b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I HM KN HM HBD I HBD AKD 1 KN AKD = ∩ ⊂ ∈ ∩ ⊂ Trong mp(ABC): { } BH AK F ∩ = ( ) ( ) F HBD AKD ∈ ∩ Mà ( ) ( ) D HBD AKD ∈ ∩ , nên ( ) ( ) DF HBD AKD = ∩ (2) Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF. Giới hạn: Cho M D → thì N D → . Khi đó I D → . Cho M B → thì N A → . Khi đó I F → . Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho MN không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F. a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định. b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF. c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE. Giải a. Trong mp(ABC): MN BC K ∩ = . Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố định. b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao tuyến DJ của mp(MCD) và (NBD). Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ. c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD). Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng AD trừ đi đoạn AD. J H E K A B D C M N F
- 20. TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 4.1. Trong không gian, cho hai đường thẳng , a b và mặt phẳng ( ) P . Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Nếu a chứa một điểm nằm trong ( ) P thì a nằm trong ( ) P . b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc ( ) P thì a nằm trong ( ) P . c) Nếu a và b cùng nằm trong ( ) P thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong ( ) P . d) Nếu a nằm trong ( ) P và a cắt b thì b nằm trong ( ) P . Lời giải Mệnh đề đúng: b, c Bài 4.2. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng ( ) ABC . Lấy , D E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh , SA SB và , D E khác S . a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng ( ) SAB không? b) Giả sử DE cắt AB tại F . Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) CDE Lời giải a) Ta có các điểm , D E đều nằm trong ( ) mp SAB nên đường thẳng DE nằm trong ( ) mp SAB . b) F thuộc AB suy ra F nằm trong ( ) mp SAB . F thuộc DE suy ra F nằm trong ( ) mp CDE . Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng ( ) ( ) SAB và CDE . Bài 4.3. Cho mặt phẳng ( ) P và hai đường thẳng , a b nằm trong ( ) P . Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng ( ) P . Lời giải Đường thẳng c cắt hai đường thẳng , a b lần lượt tại A và B . Ta có: A thuộc a mà a nằm trong ( ) mp P suy ra A cũng nằm trong ( ) mp P .
- 21. mà b nằm trong ( ) mp P suy ra B cũng nằm trong ( ) mp P . Suy ra đường thẳng AB cũng nằm trong ( ) mp P tức c cũng nằm trong ( ) mp P . Bài 4.4. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC ( M khác , ) S C . Giả sử hai đường thẳng AB và CDcắt nhau tại N . Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ABM và ( ) SCD . Lời giải Ta có: N thuộc đường thẳng AB , mà AB nằm trong mặt phẳng ( ) ABM nên N cũng nằm trong ( ) mp ABM . M và N đều nằm trong mặt phẳng (ABM) nên MN nằm trong ( ) mp ABM (1) M thuộc SC suy ra M nằm trong ( ) mp SCD ,N thuộc đường thẳng CD nên N nằm trong ( ) mp SCD . Do đó, MN nằm trong ( )( ) mp SCD 2 Từ (1) và (2) suy ra MN là giao tuyến của hai ( ) ( ) mp ABM và SCD . Bài 4.5. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác , ) S A . Trong mặt phẳng ( ) ABCD vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh , CB CD lần lượt tại , M N và cắt các tia , AB AD lần lượt tại , P Q . a) Xác định giao điểm của ( ) , mp E d với các cạnh , SB SD của hình chóp. b) Xác định giao tuyến của ( ) , mp E d với các mặt của hình chóp. Lời giải a) - Giao điểm của ( ) , mp E d với cạnh SB . P thuộc AB suy ra P cũng thuộc ( ) mp SAB .
- 22. SAB , gọi giao điểm của EP và SB là I. P thuộc đường thẳng d suy ra P cũng nằm trên ( ) mp E,d . , E P đều nằm trên ( ) , mp D d suy ra EP nằm trên ( ) , mp E d suy ra I cũng nằm trên ( ) , mp E d . Vậy I là giao điểm của ( ) , mp E d và SB . - Giao điểm của ( ) , mp E d với cạnh SD . Q thuộc AD suy ra Q nằm trên ( ) mp SAD . Gọi giao điểm của EQ và SD là K . Q thuộc đường thẳng d suy ra Q cũng nằm trên ( ) mp E,d . E,Q đều nằm trên ( ) , d mp E suy ra EQ nằm trên ( ) , mp E d , suy ra K cũng nằm trên ( ) , mp E d . Vậy K là giao điểm của ( ) , mp E d và SD . b) Ta có EI cùng thuộc ( ) mp SAB và ( ) , mp E d suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng. EK cùng thuộc ( ) mp SAD và ( ) , mp E d suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng. ( ) ( ) , , IM mp SBC IM mp E d ∈ ∈ suy ra IM là giao điểm của hai ( ) mp SBC và ( ) mp E,d . ( ) ( ) , , KN mp SCD KN mp E d ∈ ∈ suy ra KN là giao điểm của ( ) mp SCD và ( ) mp E,d . Bài 4.6. Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh , , AC BC BD lần lượt lấy các điểm , , M N P sao cho , , 2 AM CM BN CN BP DP = = = . a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng ( ) MNP . b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ) MNP . Lời giải a)Xét trên ( ) mp BCD : NP cắt CD tại I. I thuộc NP suy ra I nằm trên ( ) mp MNP . Suy ra giao điểm của CD và ( ) mp MNP là I. b) Ta có I,M đều thuộc ( ) mp ACD suy ra IM nằm trên ( ) mp ACD . I, M đều thuộc ( ) mp MNP suy ra IM nằm trên ( ) mp MNP . Do đó, IM là giao tuyến của ( ) 2mp ACD và ( ) mp MNP . Bài 4.7. Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, địa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao. Lời giải
- 23. nhất 3 ngón tay sẽ tạo thành mặt phẳng cố định chứa mặt khay giúp cố định khay trong quá trình di chuyển. Bài 4.8. Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng. Lời giải Ta có: mặt phẳng chứa phần bàn và mặt phẳng chứa dao cắt, đường cắt chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên đường cắt luôn là đường thẳng. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng. B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. Lời giải Chọn C A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho. B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng. D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho? A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 3 4 4 C = mặt phẳng.
- 24. yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng. C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt. Lời giải Chọn C A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho. B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó. D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Câu 4: Cho tứ giác ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn A 4 điểm , , , A B C D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm , , , A B C D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng ( ) ABCD . Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Nếu 3 điểm , , A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng ( ) P và ( ) Q thì , , A B C thẳng hàng. B. Nếu , , A B C thẳng hàng và ( ) P , ( ) Q có điểm chung là A thì , B C cũng là 2 điểm chung của ( ) P và ( ) Q . C. Nếu 3 điểm , , A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng ( ) P và ( ) Q phân biệt thì , , A B C không thẳng hàng. D. Nếu , , A B C thẳng hàng và , A B là 2 điểm chung của ( ) P và ( ) Q thì C cũng là điểm chung của ( ) P và ( ) Q . Lời giải Chọn D Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến. A sai. Nếu ( ) P và ( ) Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận , , A B C thẳng hàng. B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A , khi đó , B C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của ( ) P và ( ) Q .
- 25. Hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm , , A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì , , A B C cùng thuộc giao tuyến. Câu 6: Trong mặt phẳng ( ) α , cho 4 điểm , , , A B C D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S không thuộc mặt phẳng ( ) α . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C Với điểm S không thuộc mặt phẳng ( ) α và 4 điểm , , , A B C D thuộc mặt phẳng ( ) α , ta có 2 4 C cách chọn 2 trong 4 điểm , , , A B C D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6. Câu 7: Cho 5 điểm , , , , A B C D E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. Lời giải Chọn A Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Ta có 3 5 C cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số mặt phẳng tạo được là 10. Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất . D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm , , A B C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau . Lời giải Chọn B Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng. Câu 9: Cho 3 đường thẳng 1 2 3 , , d d d không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3 đường thẳng trên đồng quy. B. 3 đường thẳng trên trùng nhau. C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác. D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A
- 26. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng. C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng. Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Tam giác hoặc tứ giác. Lời giải Chọn D Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác. Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác. Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ( ). ABCD AB CD Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBD là SO(O là giao điểm của AC và ). BD C. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAD và ( ) SBC là SI(I là giao điểm của AD và ). BC D. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAD là đường trung bình của ABCD Lời giải Chọn D • Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . SAB SBC SCD SAD Do đó A đúng. I O A B D C S
- 27. điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ). SBD ( ) ( ) ( ) ( ) O AC SAC O SAC O O BD SBD O SBD ∈ ⊂ ∈ ∈ ⊂ ∈ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ). SBD ( ) ( ) . SAC SBD SO → ∩ = Do đó B đúng. • Tương tự, ta có ( ) ( ) . SAD SBC SI ∩ = Do đó C đúng. • ( ) ( ) SAB SAD SA ∩ = mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD Do đó D sai. Câu 12: Cho tứ diện . ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác . BCD Giao tuyến của mặt phẳng ( ) ACD và ( ) GAB là: A. ( AM M là trung điểm của ). AB B. ( AN N là trung điểm của ). CD C. ( AH H là hình chiếu của B trên ). CD D. ( AK K là hình chiếu củaC trên ). BD Lời giải Chọn B • A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ). GAB • Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) N BG ABG N ABG BG CD N N N CD ACD N ACD ∈ ⊂ ⇒ ∈ ∩ = → ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ). GAB Vậy ( ) ( ) . ABG ACD AN ∩ = Câu 13: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ) α chứa tam giác . BCD Lấy , E F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh , . AB AC Khi EF và BC cắt nhau tại , I thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây? A. ( ) BCD và ( ). DEF B. ( ) BCD và ( ). ABC C. ( ) BCD và ( ). AEF D. ( ) BCD và ( ). ABD Lời giải G N A C D B
- 28. là giao điểm của EF và BC mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . EF DEF I BCD DEF EF ABC I BCD ABC EF AEF I BCD AEF ⊂ = ∩ ⊂ ⇒ = ∩ ⊂ = ∩ Câu 14: Cho tứ diện . ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . AC CD Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) MBD và ( ) ABN là: A. đường thẳng . MN B. đường thẳng ( AH H là trực tâm tam giác ). ACD C. đường thẳng ( BG G là trọng tâm tam giác ). ACD D. đường thẳng . AM Lời giải Chọn C • B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( ) MBD và ( ). ABN • Vì , M N lần lượt là trung điểm của , AC CD nên suy ra , AN DM là hai trung tuyến của tam giác . ACD Gọi G AN DM = ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) G AN ABN G ABN G G DM MBD G MBD ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( ) MBD và ( ). ABN I B C D A E F G N M B D C A
- 29. ( ) . ABN MBD BG ∩ = Câu 15: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm AD và . BC Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SMN và ( ) SAC là: A. . SD B. ( SO O là tâm hình bình hành ). ABCD C. ( SG G là trung điểm ). AB D. ( SF F là trung điểm ). CD Lời giải Chọn B • S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( ) SMN và ( ). SAC • Gọi O AC BD = ∩ là tâm của hình hình hành. Trong mặt phẳng ( ) ABCD gọi T AC MN = ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) O AC SAC O SAC O O MN SMN O SMN ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( ) SMN và ( ). SAC Vậy ( ) ( ) . SMN SAC SO ∩ = Câu 16: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , I J lần lượt là trung điểm , . SA SB Khẳng định nào sau đây sai? A. IJCD là hình thang. B. ( ) ( ) . SAB IBC IB ∩ = C. ( ) ( ) . SBD JCD JD ∩ = D. ( ) ( ) ( IAC JBD AO O ∩ = là tâm ). ABCD Lời giải Chọn D T ≡ O N M D B C A S
- 30. IJ là đường trung bình của tam giác SAB IJ AB CD IJ CD ⇒ ⇒ IJCD ⇒ là hình thang. Do đó A đúng. • Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . IB SAB SAB IBC IB IB IBC ⊂ ⇒ ∩ = ⊂ Do đó B đúng. • Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . JD SBD SBD JBD JD JD JBD ⊂ ⇒ ∩ = ⊂ Do đó C đúng. • Trong mặt phẳng ( ) IJCD , gọi M IC JD = ∩ ( ) ( ) . IAC JBD MO ⇒ ∩ = Do đó D sai. Câu 17: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang ( ). ABCD AD BC Gọi M là trung điểm . CD Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) MSB và ( ) SAC là: A. ( SI I là giao điểm của AC và ). BM B. ( SJ J là giao điểm của AM và ). BD C. ( SO O là giao điểm của AC và ). BD D. ( SP P là giao điểm của AB và ). CD Lời giải Chọn A • S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( ) MSB và ( ). SAC M O I J D C A S B I M A D B C S
- 31. ) ( ) ( ) ( ) ( ) I BM SBM I SBM I I AC SAC I SAC ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( ) MSB và ( ). SAC Vậy ( ) ( ) . MSB SAC SI ∩ = Câu 18: Cho 4 điểm không đồng phẳng , , , . A B C D Gọi , I K lần lượt là trung điểm của AD và . BC Giao tuyến của ( ) IBC và ( ) KAD là: A. . IK B. . BC C. . AK D. . DK Lời giải Chọn A Điểm K là trung điểm của BC suy ra ( ) ( ). K IBC IK IBC ∈ ⇒ ⊂ Điểm I là trung điểm của AD suy ra ( ) ( ). I KAD IK KAD ∈ ⇒ ⊂ Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) IBC và ( ) KAD là . IK Câu 19: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Trên cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ADM và ( ) SAC . A. . SI B. AE ( E là giao điểm của DM và SI ). C. . DM D. DE ( E là giao điểm của DM và SI ). Lời giải Chọn B K I B D C A
- 32. là điểm chung thứ nhất của ( ) ADM và ( ) SAC . Trong mặt phẳng ( ) SBD , gọi E SI DM = ∩ . Ta có: ● E SI ∈ mà ( ) SI SAC ⊂ suy ra ( ) E SAC ∈ . ● E DM ∈ mà ( ) DM ADM ⊂ suy ra ( ) E ADM ∈ . Do đó E là điểm chung thứ hai của ( ) ADM và ( ) SAC . Vậy AE là giao tuyến của ( ) ADM và ( ) SAC . Câu 20: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác . ACD Gọi I và J lần lượt là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với . CD Gọi , H K lần lượt là giao điểm của IJ với CD của MH và . AC Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ) IJM là: A. . KI B. . KJ C. . MI D. . MH Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng ( ), BCD IJ cắt CD tại ( ). H H ACD ⇒ ∈ Điểm H IJ ∈ suy ra bốn điểm , , , M I J H đồng phẳng. Nên trong mặt phẳng ( ) IJM , MH cắt IJ tại H và ( ). MH IJM ⊂ S A B C D M I E K H M A C D B I J
- 33. ) ( ). M ACD MH ACD H ACD ∈ ⇒ ⊂ ∈ Vậy ( ) ( ) . ACD IJM MH ∩ = Câu 21: Cho bốn điểm , , , A B C D không đồng phẳng. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AC và . BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho 2 . BP PD = Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng ( ) MNP là giao điểm của A. CD và . NP B. CD và . MN C. CD và . MP D. CD và . AP Lời giải Chọn A Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa . CD Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại . E Điểm ( ). E NP E MNP ∈ ⇒ ∈ Vậy ( ) CD MNP ∩ tại . E Cách 2. Ta có ( ) N BC NP BCD P BD ∈ ⇒ ⊂ ∈ suy ra , NP CD đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của NP và CD mà ( ) NP MNP ⊂ suy ra ( ) . CD MNP E ∩ = Vậy giao điểm của CD và ( ) mp MNP là giao điểm E của NP và . CD Câu 22: Cho tứ diện . ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD ; G là trọng tâm tam giác . BCD Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng ( ) ACD là: A. điểm . F B. giao điểm của đường thẳng EG và . AF C. giao điểm của đường thẳng EG và . AC D. giao điểm của đường thẳng EG và . CD Lời giải Chọn B E N M B A C D P
- 34. trọng tâm tam giác , BCD F là trung điểm của CD ( ). G ABF ⇒ ∈ Ta có E là trung điểm của AB ( ). E ABF ⇒ ∈ Gọi M là giao điểm của EG và AF mà ( ) AF ACD ⊂ suy ra ( ). M ACD ∈ Vậy giao điểm của EG và ( ) mp ACD là giao điểm . M EG AF = ∩ Câu 23: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của . SC Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng ( ). SBD Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 . IA IM =− B. 3 . IA IM =− C. 2 . IA IM = D. 2,5 . IA IM = Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của . AC Nối AM cắt SO tại I mà ( ) SO SBD ⊂ suy ra ( ). I AM SBD = ∩ Tam giác SAC có , M O lần lượt là trung điểm của , . SC AC Mà I AM SO = ∩ suy ra I là trọng tâm tam giác 2 2 . 3 SAC AI AM IA IM ⇒ = ⇔ = Điểm I nằm giữa A và M suy ra 2 2 . IA MI IM = =− M G E F D C A B I O M A B D C S
- 35. tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng ( ) ABCD . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( ) ABM là: A. giao điểm của SD và . AB B. giao điểm của SD và AM . C. giao điểm của SD và BK (với K SO AM = ∩ ). D. giao điểm của SD và MK (với K SO AM = ∩ ). Lời giải Chọn C ● Chọn mặt phẳng phụ ( ) SBD chứa SD . ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) ABM . Ta có B là điểm chung thứ nhất của ( ) SBD và ( ) ABM . Trong mặt phẳng ( ) ABCD , gọi O AC BD = ∩ . Trong mặt phẳng ( ) SAC , gọi K AM SO = ∩ . Ta có: ▪ K SO ∈ mà ( ) SO SBD ⊂ suy ra ( ) K SBD ∈ . ▪ K AM ∈ mà ( ) AM ABM ⊂ suy ra ( ) K ABM ∈ . Suy ra K là điểm chung thứ hai của ( ) SBD và ( ) ABM . Do đó ( ) ( ) SBD ABM BK ∩ = . ● Trong mặt phẳng ( ) SBD , gọi N SD BK = ∩ . Ta có: ▪ N BK ∈ mà ( ) BK ABM ⊂ suy ra ( ) N ABM ∈ . ▪ N SD ∈ . Vậy ( ) N SD ABM = ∩ . Câu 25: Cho bốn điểm , , , A B C S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi , I H lần lượt là trung điểm của , SA AB . Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( ) IHK . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. E nằm ngoài đoạn BC về phía . B B. E nằm ngoài đoạn BC về phía . C S A B C D M N K O
- 36. trong đoạn . BC D. E nằm trong đoạn BC và , . E B E C ≠ ≠ Lời giải Chọn D ● Chọn mặt phẳng phụ ( ) ABC chứa BC . ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) IHK . Ta có H là điểm chung thứ nhất của ( ) ABC và ( ) IHK . Trong mặt phẳng ( ) SAC , do IK không song song với AC nên gọi F IK AC = ∩ . Ta có ▪ F AC ∈ mà ( ) AC ABC ⊂ suy ra ( ) F ABC ∈ . ▪ F IK ∈ mà ( ) IK IHK ⊂ suy ra ( ) F IHK ∈ . Suy ra F là điểm chung thứ hai của ( ) ABC và ( ) IHK . Do đó ( ) ( ) ABC IHK HF ∩ = . ● Trong mặt phẳng ( ) ABC , gọi E HF BC = ∩ . Ta có ▪ E HF ∈ mà ( ) HF IHK ⊂ suy ra ( ) E IHK ∈ . ▪ E BC ∈ . Vậy ( ) E BC IHK = ∩ . Câu 26: Cho tứ diện . ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và , AC E là điểm trên cạnh CD với 3 . ED EC = Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) MNE và tứ diện ABCD là: A. Tam giác . MNE B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh . BD C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // . BC D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // . BC Lời giải Chọn D S A B C I H K E F
- 37. có , M N lần lượt là trung điểm của , . AB AC Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC MN ⇒ // . BC Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F EF ⇒ // . BC Do đó MN // EF suy ra bốn điểm , , , M N E F đồng phẳng và MNEF là hình thang. Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm. Câu 27: Cho tứ diện ABCD . Gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( ) HKM là: A. Tứ giác HKMN với . N AD ∈ B. Hình thang HKMN với N AD ∈ và . HK MN C. Tam giác HKL với . L KM BD = ∩ D. Tam giác HKL với . L HM AD = ∩ Lời giải Chọn C Ta có HK , KM là đoạn giao tuyến của ( ) HKM với ( ) ABC và ( ) BCD . Trong mặt phẳng ( ) BCD , do KM không song song với BD nên gọi L KM BD = ∩ . Vậy thiết diện là tam giác HKL . F N M A C D B E L M K H D C B A
- 38. hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng ( ) 0 . a a Các điểm , , M N P lần lượt là trung điểm của , , . SA SB SC Mặt phẳng ( ) MNP cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng: A. 2 . a B. 2 . 2 a C. 2 . 4 a D. 2 . 16 a Lời giải Chọn C Gọi Q là trung điểm của . SD Tam giác SAD có , M Q lần lượt là trung điểm của , SA SD suy ra MQ // . AD Tam giác SBC có , N P lần lượt là trung điểm của , SB SC suy ra NP // . BC Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và MQ NP MNPQ = ⇒ là hình vuông. Khi đó , , , M N P Q đồng phẳng ( ) MNP ⇒ cắt SD tại Q và MNPQ là thiết diện của hình chóp . S ABCD với ( ). mp MNP Vậy diện tích hình vuông MNPQ là 2 . 4 4 ABCD MNPQ S a S = = Câu 29: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng . a Gọi G là trọng tâm tam giác . ABC Mặt phẳng ( ) GCD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: A. 2 3 . 2 a B. 2 2 . 4 a C. 2 2 . 6 a D. 2 3 . 4 a Lời giải Chọn B Q P N M A B D C S
- 39. lần lượt là trung điểm của , AB BC suy ra . AN MC G ∩ = Dễ thấy mặt phẳng ( ) GCD cắt đường thắng AB tại điểm . M Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng ( ) GCD và tứ diện . ABCD Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 . 2 a MD = Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra 3 . 2 a MC = Gọi H là trung điểm của 1 . . 2 MCD CD MH CD S MH CD ∆ ⇒ ⊥ ⇒ = Với 2 2 2 2 2 . 4 2 CD a MH MC HC MC = − = − = Vậy 2 1 2 2 . . . 2 2 4 MCD a a S a ∆ = = Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng ( ) MNP cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: A. 2 11 . 2 a B. 2 2 . 4 a C. 2 11 . 4 a D. 2 3 . 4 a Lời giải Chọn C H G M N A B C D
- 40. BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giác MND . Xét tam giác MND , ta có 2 AB MN a = = ; 3 3 2 AD DM DN a = = = . Do đó tam giác MND cân tại D . Gọi H là trung điểm MN suy ra DH MN ⊥ . Diện tích tam giác 2 2 2 1 1 11 . . 2 2 4 MND a S MN DH MN DM MH ∆ = = − = . Câu 31: Cho tứ diện . ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và . CD Mặt phẳng ( ) α qua MN cắt , AD BC lần lượt tại P và . Q Biết MP cắt NQ tại . I Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. , , . I A C B. , , . I B D C. , , . I A B D. , , . I C D Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ABD BCD BD ∩ = . Lại có ( ) ( ) I MP ABD I I NQ BCD ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ thuộc giao tuyến của ( ) ABD và ( ) BCD , , I BD I B D ⇒ ∈ ⇒ thẳng hàng. A B C D P N M D M N H Q I N M B D C A P
- 41. tứ diện SABC . Gọi , , L M N lần lượt là các điểm trên các cạnh , SA SB và AC sao cho LM không song song với AB , LN không song song với SC . Mặt phẳng ( ) LMN cắt các cạnh , , AB BC SC lần lượt tại , , K I J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. , , . K I J B. , , . M I J C. , , . N I J D. , , . M K J Lời giải Chọn B Ta có ● M SB ∈ suy M là điểm chung của ( ) LMN và ( ) SBC . ● I là điểm chung của ( ) LMN và ( ) SBC . ● J là điểm chung của ( ) LMN và ( ) SBC . Vậy , , M I J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của ( ) LMN và ( ) SBC . Câu 33: Cho tứ diện . ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác , BCD M là trung điểm , CD I là điểm ở trên đoạn thẳng , AG BI cắt mặt phẳng ( ) ACD tại . J Khẳng định nào sau đây sai? A. ( ) ( ). AM ACD ABG = ∩ B. , , A J M thẳng hàng. C. J là trung điểm của . AM D. ( ) ( ). DJ ACD BDJ = ∩ Lời giải Chọn C S A B C L M N I J K J G M A C D B I
- 42. là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ). GAB Do ( ) ( ) ( ) ( ) M BG ABG M ABG BG CD M M M CD ACD M ACD ∈ ⊂ ⇒ ∈ ∩ = ⇒ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( ) ACD và ( ). GAB ( ) ( ) ABG ACD AM ⇒ ∩ = → A đúng. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , BI ABG AM ABM AM BI ABG ABM ⊂ ⊂ ⇒ ≡ đồng phẳng. , , J BI AM A J M ⇒ = ∩ ⇒ thẳng hàng → B đúng. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) DJ ACD DJ ACD BDJ DJ BDJ ⊂ ⇒ = ∩ → ⊂ D đúng. Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM → C sai. Câu 34: Cho tứ diện ABCD . Gọi , , E F G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh , , AB AC BD sao cho EF cắt BC tại I , EG cắt AD tại H . Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy? A. , , . CD EF EG B. , , . CD IG HF C. , , AB IG HF . D. , , . AC IG BD Lời giải Chọn B Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng 1 2 3 , , d d d đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng 1 d và 2 d là điểm chung của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β ; đồng thời 3 d là giao tuyến ( ) α và ( ) β . Gọi O HF IG = ∩ . Ta có ● O HF ∈ mà ( ) HF ACD ⊂ suy ra ( ) O ACD ∈ . ● O IG ∈ mà ( ) IG BCD ⊂ suy ra ( ) O BCD ∈ . Do đó ( ) ( ) O ACD BCD ∈ ∩ . ( ) 1 A B C D E F G I H O
- 43. ( ) ACD BCD CD ∩ = . ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra O CD ∈ . Vậy ba đường thẳng , , CD IG HF đồng quy. Câu 35: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( ) AMB . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Ba đường thẳng , , AB CD MN đôi một song song. B. Ba đường thẳng , , AB CD MN đôi một cắt nhau. C. Ba đường thẳng , , AB CD MN đồng quy. D. Ba đường thẳng , , AB CD MN cùng thuộc một mặt phẳng. Lời giải Chọn C Gọi . I AD BC = ∩ Trong mặt phẳng ( ) SBC , gọi K BM SI = ∩ . Trong mặt phẳng ( ) SAD , gọi N AK SD = ∩ . Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( ) AMB . Gọi O AB CD = ∩ . Ta có: ● O AB ∈ mà ( ) AB AMB ⊂ suy ra ( ) O AMB ∈ . ● O CD ∈ mà ( ) CD SCD ⊂ suy ra IJ, , MN SE . Do đó ( ) ( ) O AMB SCD ∈ ∩ . ( ) 1 Mà ( ) ( ) AMB SCD MN ∩ = . ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra O MN ∈ . Vậy ba đường thẳng , , AB CD MN đồng quy. D C B A S M N I K O
- 44.
- 45.
- 46. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thằng a và b trong không gian. - Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau. - Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b , hoặc b chéo với a . Nhận xét - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung. - Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. - Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau. 2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Tính chất 3: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Nhận xét. Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
- 47. VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy 1. Phương pháp - Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng qui hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đt song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đt đó hoặc trùng với một trong hai đt đó. - - - - Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. / / / / / / a b a c a b b c ≠ 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA. CMR nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì: a) PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng qui. b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng qui. Lời giải Theo định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng. a) Nếu PQ // SR thì PQ // SR // AC. b) Nếu PQ cắt SR tại I thì AC đi qua I. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC . Trên cạnh PD lấy điểm P sao cho 2 DP PB = . a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng ( ) MNP với các mặt phẳng ( ),( ) ABD BCD . b) Trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho 2 DQ QA = . Chứng minh: PQ song song với mặt phẳng ( ) ABC , ba đường thẳng , , DC QN PM đồng quy. Lời giải c β α b a γ β α b a c d' d d β α d d d' β α d' d d β α γ c b a β α A B C D P S R Q
- 48. ) ( ) ( ) ( ) / / / / / / MN MNP AB ABD MNP ABD Px AB MN MN AB ⊂ ⊂ = ∩ Xác định giao tuyến của ( ) MNP và ( ) BCD : Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) M MNP M MNP BCD M BC BCD ∈ ∈ ∈ ⊂ ∩ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) P MNP P MNP BCD P BD BCD ∈ ∈ ∈ ⊂ ∩ Vậy ( ) ( ) MNP BCD MP = ∩ là giao tuyến cần tìm Chứng minh PQ song song với mặt phẳng ( ) ABC : Vì DQ DP QA PB = nên / / PQ AB . Do đó: / / / /( ) ( ) PQ AB PQ ABC AB ABC ⊂ 2) Ta có: ( ) Q MNP ∈ . Do đó: • ( ) ( ) MNP ACD QN = ∩ • ( ) ( ) MNP BCD PM = ∩ • ( ) ( ) ACD BCD CD = ∩ • Vì CM DP MB PB ≠ nên DC cắt PM tại I . • Vậy , , DC QN PM đồng quy Ví dụ 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD và SB. a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD b/ Chứng minh: ON song song với mặt phẳng( ) SAD c/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng ( ) SAC x Q N I M B D C A P
- 49. 2 mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD Ta có: S là điểm chung của 2 mặt phẳng Mặt khác: ( ) ( ) / / AB CD AB SAB CD SCD ⊂ ⊂ Suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳng( ) SAB và ( ) SCD là đường thẳng qua x S qua S và song song với AB và CD. b)Xét tam giác SBD, ta có: / / ON SD (Vì O,N lần lượt là trung điểm BD và SB) Mà ( ) SD SAD ⊂ Suy ra ON song song mặt phẳng( ) SAD c) Xét mặt phẳng( ) ABCD Gọi I là giao điểm của AC và BM Xét 2 mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBM Ta có: ( ) ( ) SAC SBM SI = ∩ Gọi J là giao điểm của SI và MN Khi đó: ( ) ( ) J SI SAC J SAC J MN ∈ ⊂ ∈ ∈ Vậy J là giao điểm của MN và mặt phẳng( ) SAC Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt là trung điểm của AB, SC và SB. Một mặt phẳng ( ) α qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q. a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng ( ) IMP . N J O I A B C D S x M
- 50. thiết diện của ( ) α và hình chóp. Thiết diện này là hình gì? c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng ( ) SMQ . Lời giải a) Có IP là đường trung bình của SBC IP BC ∆ mà IP (IMP) BC (IMP) ⊂ . b) Có ∈ α ∩ ⊃ α M ( ) (ABC) (ABC) AC ( ) α ∩ = ∈ ( ) (ABC) MQ AC,Q BC . Có ∈ α ∩ ⊃ α P ( ) (SAC) (SAC) AC ( ) α ∩ = ∈ ( ) (S AC) PN AC,N SA . Kết luận thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ. Thật vậy dễ dàng chứng minh Q, N lần lượt là trung điểm của BC và SA. Do đó 1 MQ NP AC 2 = = c) Chọn mặt phẳng (SAC) chứa NC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMQ): Có S (SAC) (SMQ) (SAC) (SMQ) Sx AC MQ AC MQ;AC (SAC),MQ (SMQ) ∈ ∩ ∩ = ⊂ ⊂ Trong mp(SAC) gọi J CN Sx = ∩ , có J CN J CN (SMQ) J Sx (SMQ) ∈ = ∩ ∈ ⊂ . Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và CD. Gọi ( ) α là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC. a) Tìm giao tuyến của ( ) α với ( ) mp ABCD . b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với ( ) mp α . c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng( ) α . Lời giải a) Có ∈ α ∩ α ⊂ N ( ) (ABCD) ( ) AC (ABCD) α ∩ = ∈ ( ) (ABCD) NE AC;E AD . b) Có MN là đường trung bình của SCD MN SD ∆ . Trong mp(ABCD) gọi F BD NE = ∩ . x J N Q I P M S A B C
- 51. ∩ ⊂ α ⊂ F ( ) (SBD) MN S D;MN ( ),SD (SBD) α ∩ = ( ) (SBD) Fx MN S D Trong mp(SBD) gọi H Fx SB = ∩ , vì H SB H SB ( ) H Fx ( ) ∈ = ∩ α ∈ ⊂ α . c) Có E ( ) (SAD) ( ) (SAD) EK SD;K SA MN SD;MN ( ),SD (SAD) ∈ α ∩ α ∩ = ∈ ⊂ α ⊂ . Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNEKH. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD . Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, BC, SA. a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB). b) Tìm giao điểm của SB và (IMN). c)Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD. Lời giải a) Có I (IMN) (SAC) ∈ ∩ (1). Trong mp(ABCD) gọi ∈ ⊂ = ∩ ∈ ⊂ E MN (IMN) E MN AC E AC (SAC) ∈ ∩ E (IMN) (SAC) (2). Từ (1) và (2) suy ra (IMN) (SAC) EI ∩ = . b) Có MN là đường trung bình của hình thang ABCD MN AB CD . Có I (IMN) (SAB) MN AB (IMN) (SAB) Ix MN AB MN (IMN);AB (SAB) ∈ ∩ ∩ = ⊂ ⊂ . c) Trong mp(SAB) gọi J SB J Ix SB J SB (IMN) J Ix (IMN) ∈ = ∩ = ∩ ∈ ⊂ . I (IDN) (SAB) ∈ ∩ (3) Trong mp(ABCD) gọi ∈ ⊂ = ∩ ∈ ⊂ K DN (IDN) K DN AB K AB (SAB) ∈ ∩ K (IDN) (SAB) (4). Từ (3) và (4) suy ra (IDN) (SAB) IK ∩ = Trong mp(SAB) gọi P IK SB = ∩ thiết diện cần tìm là tứ giác MNPI.
- 52. chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và N là trung điểm SA. a)Tìm giao điểm của AC và mặt phẳng ( ) SBD b)Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) NBC . Thiết diện là hình gì? Lời giải 1) Gọi O là giao điểm giữa AC và BD . Khi đó: ( ) O AC O BD SBD ∈ ∈ ⊂ Vậy O là giao điểm của AC và mặt phẳng ( ) SBD 2) Ta có: + ( ) ( ) NBC ABCD BC ∩ = + ( ) ( ) NBC SBC BC ∩ = + ( ) ( ) NBC SAB NB ∩ = + ( ) ( ) ( ) 1 N NBC N SAD ∈ ∈ ( ) ( ) ( ) || 2 NBC BC AD SAD ⊃ ⊂ Từ ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) || || NBC SAD NM AD BC ∩ = + ( ) ( ) NBC SCD MC ∩ = Vậy thiết diện là hình thang MNCD C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 4.9. Trong không gian, cho ba đường thẳng , , a b c . Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song. b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng. c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b . d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì và c a cắt nhau. Lời giải a) Sai. Vì nếu a và b không cắt nhua thì và b a có thể song song hoặc chéo nhau. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. Vì ( ) MNP cũng có thể chéo nhau. Bài 4.10. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường O N A B D C S M
- 53. nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau? a) AB và CD; b) AC và BD; c) SB và CD. Lời giải a) AB và CD song song với nhau. b) AC và BD cắt nhau. c) SB và CD chéo nhau. Bài 4.11. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, , , SB SC SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Lời giải Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN / /AB. Tương tự ta có: / / , / / , / /AD NP BC PQ CD MQ . Mà ABCD là hình bình hành nên / / , / / AB CD AD CD , suy ra / / , / / MN PQ MQ NP . Như vậy, MNPQ là hình bình hành. Bài 4.12. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD làhình thang ( ) / / AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , SA SB . Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang. Lời giải Xét tam giác SAB ta có MN là đường trung bình suy ra MN / /AB. Mà AB/ /CD do đó MN / /CD. Suy ra MNCD là hình thang.
- 54. hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang ( ) / / AB CD . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD .(H4.28) a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng ( ) MAB và ( ) SCD . b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) MAB . Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD . Lời giải a) ( ) mp MAB và ( ) SCD có điểm M chung và chứa hai đường thẳng thẳng song song là AB và CD. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) MAB và ( ) SCD là đường thẳng a đi qua M và song song với , CD AB . b) Xét tam giác SCD ta có: M là trung điểm của SD,MN / /CD suy ra MN là đường trung bình của tam giác SCD. Bài 4.14. Cho tứ diện ABCD. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , BC CD và P là một điểm thuộc cạnh AC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) AMN và ( ) BPD và chứng minh giao tuyến đó song song với BD Lời giải a) Gọi giao tuyến của AM và BP là I , giao điểm của AN và DP là K . Ta có: IK đều thuộc mặt phẳng ( ) ( ) AMN và BPD . Suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này. Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K . b) Ta có: ( ) ( ) mp AMN mp BPD IK ∩ =
- 55. ) mp AMN mp BCD MN ∩ = ( ) ( ) mp BPD mp BCD BD ∩ = Mà / / MN BD ( do MN là đường trung bình của tam giác BCD suy ra / / IK BD . Như vậy, d song song với BD. Bài 4.15. (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H4.29). Hãy giải thích tại sao. Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không? Lời giải D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song. Lời giải Chọn A Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng). Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác. B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung. C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. Lời giải Chọn D A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung. B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung. Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau. C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
- 56. thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song. Lời giải Chọn C Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung. B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. Lời giải Chọn B A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung. C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song. Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Lấy , A B thuộc a và , C D thuộc b . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC ? A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Song song với nhau. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn D Theo giả thiết, a và b chéo nhau ⇒ a và b không đồng phẳng. Giả sử AD và BC đồng phẳng. Nếu ( ) ( ) ; AD BC I I ABCD I a b ∩ = ⇒ ∈ ⇒ ∈ . Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I . Nếu AD BC ⇒ a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết). Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. a b A B C D
- 57. ba mặt phẳng phân biệt ( ) ( ) ( ) , , α β γ có ( ) ( ) 1 d α β ∩ = ; ( ) ( ) 2 d β γ ∩ = ; ( ) ( ) 3 d α γ ∩ = . Khi đó ba đường thẳng 1 2 3 , , d d d : A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song. C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy. Lời giải Chọn D Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , , a b c , biết a b , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c : A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau. Lời giải Chọn B Giả sử b c c a ⇒ (mâu thuẫn với giả thiết). Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt , , a b c trong đó a b . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu c a thì c b . B. Nếu c cắt a thì c cắt b . C. Nếu A a ∈ và B b ∈ thì ba đường thẳng , , a b AB cùng ở trên một mặt phẳng. D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b . Lời giải Chọn B Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b . Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau , a b và điểm M ở ngoài a và ngoài b . Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b ? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn A
- 58. là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; ( ) Q là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng b và M . Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b . ( ) ( ) ( ) ( ) c P c P Q c Q ∈ ⇒ ⇒ = ∩ ∈ . Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b . Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , , a b c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn D Gọi M là điểm bất kì nằm trên a . Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c . Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d . Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng , , a b c . Câu 11: Cho tứ diện . ABCD Gọi , I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và . ABD Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. IJ song song với . CD B. IJ song song với . AB C. IJ chéo . CD D. IJ cắt . AB Lời giải Chọn A c a b P Q M
- 59. lần lượt là trung điểm của , . BC BD ⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD ( ) // 1 MN CD ⇒ , I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD ( ) 2 2 3 AI AJ IJ MN AM AN ⇒ = = ⇒ Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra: . IJ CD Câu 12: Cho hình chóp . S ABCD có AD không song song với . BC Gọi , , M N , , , P Q R T lần lượt là trung điểm , , , , , . AC BD BC CD SA SD Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. MP và . RT B. MQ và . RT C. MN và . RT D. PQ và . RT Lời giải Chọn B Ta có: , M Q lần lượt là trung điểm của , AC CD MQ ⇒ là đường trung bình của tam giác ( ) 1 CAD MQ AD ⇒ Ta có: , R T lần lượt là trung điểm của , SA SD RT ⇒ là đường trung bình của tam giác ( ) 2 SAD RT AD ⇒ Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra: . MQ RT Câu 13: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , , I J E F lần lượt là trung điểm , , , . SA SB SC SD Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ? IJ A. . EF B. . DC C. . AD D. . AB J I N M A D C B T R Q P N M S C B D A
- 60. có IJ AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB ) và EF CD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD ). Mà CD AB (đáy là hình bình hành) . CD AB EF IJ → Câu 14: Cho tứ diện . ABCD Gọi , M N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng ; , AB P Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng . CD Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng , . MP NQ A. . MP NQ B. . MP NQ ≡ C. MP cắt . NQ D. , MP NQ chéo nhau. Lời giải Chọn D Xét mặt phẳng ( ). ABP Ta có: , M N thuộc , AB M N ⇒ thuộc mặt phẳng ( ). ABP Mặt khác: ( ) . CD ABP P ∩ = Mà: ( ) , , , Q CD Q ABP M N P Q ∈ ⇒ ∉ ⇒ không đồng phẳng. Câu 15: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAD và ( ). SBC Khẳng định nào sau đây đúng? A. d qua S và song song với . BC B. d qua S và song song với . DC C. d qua S và song song với . AB D. d qua S và song song với . BD E J F I C A D B S B D C A M N P Q
- 61. có ( ) ( ) ( ) ( ) , SAD SBC S AD SAD BC SBC AD BC ∩ = ⊂ ⊂ → ( ) ( ) SAD SBC Sx AD BC ∩ = (với d Sx ≡ ). Câu 16: Cho tứ diện . ABCD Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và , AC G là trọng tâm tam giác . BCD Giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) GIJ và ( ) BCD là đường thẳng: A. qua I và song song với . AB B. qua J và song song với . BD C. qua G và song song với . CD D. qua G và song song với . BC Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , GIJ BCD G IJ GIJ CD BCD IJ CD ∩ = ⊂ ⊂ → ( ) ( ) . GIJ BCD Gx IJ CD ∩ = Câu 17: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và . CD Gọi , I J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác . SAB Giao tuyến của ( ) SAB và ( ) IJG là A. . SC B. đường thẳng qua S và song song với . AB d C A D B S x M I J A D B C G
- 62. qua G và song song với . DC D. đường thẳng qua G và cắt . BC Lời giải Chọn C Ta có: , I J lần lượt là trung điểm của AD và BC IJ ⇒ là đường trunh bình của hình thang . ABCD IJ AB CD ⇒ Gọi ( ) ( ) d SAB IJG = ∩ Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) IJG Mặt khác: ( ) ( ) ; SAB AB IJG IJ AB IJ ⊃ ⊃ ⇒ Giao tuyến d của ( ) SAB và ( ) IJG là đường thẳng qua G và song song với AB và . IJ Câu 18: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm . SA Thiết diện của hình chóp . S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) IBC là: A. Tam giác . IBC B. Hình thang IBCJ ( J là trung điểm SD ). C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ). D. Tứ giác . IBCD Lời giải Chọn B Q P G J I S D B A C
- 63. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , IBC SAD I BC IBC AD SAD IBC SAD Ix BC AD BC AD ∩ = ⊂ ⊂ → ∩ = Trong mặt phẳng ( ): SAD , Ix AD gọi Ix SD J ∩ = → IJ BC Vậy thiết diện của hình chóp . S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) IBC là hình thang . IBCJ Câu 19: Cho tứ diện , ABCD M và N lần lượt là trung điểm AB và . AC Mặt phẳng ( ) α qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác ( ). T Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) T là hình chữ nhật. B. ( ) T là tam giác. C. ( ) T là hình thoi. D. ( ) T là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành. Lời giải Chọn D Trường hợp ( ) AD K α ∩ = ( ) T → là tam giác . MNK Do đó A và C sai. Trường hợp ( ) ( ) , BCD IJ α ∩ = với , ; I BD J CD ∈ ∈ , I J không trùng . D ( ) T → là tứ giác. Do đó B đúng. Câu 20: Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác SAC cân tại , 8. S SB = Thiết diện của mặt phẳng ( ) ACI và hình chóp . S ABCD có diện tích bằng: J I C A D B S N M N M B C D A A D C B I J K
- 64. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2. Lời giải Chọn B Gọi ; . O SD CI N AC BD = ∩ = ∩ , O N ⇒ lần lượt là trung điểm của 1 , 4. 2 DS DB ON SB ⇒ = = Thiết diện của ( ) mp ACI và hình chóp . S ABCD là tam giác . OCA ∆ Tam giác SAC ∆ cân tại S SC SA SDC SDA ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ CO AO ⇒ = (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng) OCA ⇒ ∆ cân tại O 1 1 . .4.4 2 8 2. 2 2 OCA S ON AC ∆ ⇒ = = = Câu 21: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ . CD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SA và . SB Gọi P là giao điểm của SC và ( ). AND Gọi I là giao điểm của AN và . DP Hỏi tứ giác SABI là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thoi. Lời giải Chọn A N O A I B S D C I E P N M D C B A S
- 65. BC P NE SC = ∩ = ∩ . Suy ra ( ) P SC AND = ∩ . Ta có • S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD ; • I DP AN I = ∩ ⇒ là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ). SCD Suy ra ( ) ( ) SI SAB SCD = ∩ . Mà . AB CD SI AB CD → Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác SAI nên suy ra SI AB = . Vậy SABI là hình bình hành. Câu 22: Cho tứ diện . ABCD Các điểm , P Q lần lượt là trung điểm của AB và ; CD điểm R nằm trên cạnh BC sao cho 2 . BR RC = Gọi S là giao điểm của mặt phẳng ( ) PQR và cạnh . AD Tính tỉ số . SA SD A. 2. B. 1. C. 1 . 2 D. 1 . 3 Lời giải Chọn A Gọi I là giao điểm của BD và . RQ Nối P với , I cắt AD tại . S Xét tam giác BCD bị cắt bởi , IR ta có 1 . . 1 .2.1 1 . 2 DI BR CQ DI DI IB RC QD IB IB = ⇔ = ⇔ = Xét tam giác ABD bị cắt bởi , PI ta có 1 . . 1 . .1 1 2. 2 AS DI BP SA SA SD IB PA SD SD = ⇔ = ⇔ = Câu 23: Cho tứ diện ABCD và ba điểm , , P Q R lần lượt lấy trên ba cạnh , , . AB CD BC Cho PR // AC và 2 . CQ QD = Gọi giao điểm của AD và ( ) PQR là . S Chọn khẳng định đúng? A. 3 . AD DS = B. 2 . AD DS = C. 3 . AS DS = D. . AS DS = Lời giải Chọn A S Q P A D C B R I
|
