Trước đây chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của những hình nằm trong mặt phẳng. Môn học nghiên cứu các tính chất của hình nằm trong mặt phẳng được gọi là Hình học phẳng. Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học… là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian (h.2.1). Bài 1. ĐẠI DƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.2.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.2a.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.2b.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.2c.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. + Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn (h.2.3). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.3.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) + Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng Khi điểm A thuộc mặt phẳng ∈ Khi điểm A không thuộc mặt phẳng Hình 2.4 cho ta hình biểu diễn của điểm A thuộc mặt phẳng Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.4.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) 3. Hình biểu diễn của một hình không gian Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian. - Ta có một vài hình biểu diễn của hình lập phương như trong hình 2.5 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.5.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) - Hình 2.6 là một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác. Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.6.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) 1. Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác. Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây. - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. Các quy tắc khác sẽ đuợc học ở phần sau: II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Để nghiên cứu hình học không gian, từ quan sát thực tiễn và kinh nghiệm người ta thừa nhận một số tính chất sau: Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Hình 2.7 cho thấy qua hai điểm A, B có duy nhất một đường thẳng. Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.7.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Như vậy một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là mặt phẳng (ABC) hoặc mp(ABC) hoặc (ABC) (h.2.8). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.8.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.9.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.10.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Quan sát một máy chụp hình đặt trên một giá có ba chân. Khi đặt nó lên bất kì địa hình nào nó cũng không bị gập ghềnh vì ba điểm A, B, C (h.2.10) luôn nằm trên một mặt phẳng. Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 2. Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thẳng trên mặt bàn? (h.2.11). Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.11.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng 3. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC (h.2.12). Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không? Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.12.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng. Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch2_h2.13.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.14.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) 3. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S (h.2.15)). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.15.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) 5. Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao? Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.16.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG 1. Ba cách xác định mặt phẳng Dựa vào các tính chất được thừa nhận trên, ta có ba cách xác định một mặt phẳng sau đây.
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng (h.2.17).
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(A,d) hay (A,d), hoặc mp(d,A) hay (d,A) (h.2.18). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.17.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.18.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.19.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )
Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a,b) hay (a,b), hoặc mp(b,a) hay (b,a) (h.2.19). 2. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (ABD), (ACD), (ABC), (BCD) (h.2.20). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.20.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Điểm D và điểm M cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (ABD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng DM. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm trong mặt phẳng (Ox, Oy). Biết rằng đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) có điểm chung. Một mặt phẳng Giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) (h.2.21). Vì AB và mặt phẳng (Ox, Oy) cố định nên I cố định. Vì M, N, I là các điểm chung của hai mặt phẳng Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.21.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Nhận xét Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Ví dụ 3. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng. Giải Ta có J là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) (h.2.22). Thật vậy, ta có: Lí luận tương tự ta có: I, H cũng là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD). Vậy I, J, H nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) nên I, J, H thẳng hàng. Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.22.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Ví dụ 4. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD). Giải Gọi J là giao điểm của AG và BC. Trong mặt phẳng (AJD), Vậy L là giao điểm của GK và (BCD). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.23.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Nhận xét: Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Trong mặt phẳng () cho đa diện lồi A 1A 2 … A n. Lấy điểm S nằm ngoài (). Lần lượt nối S với các đỉnh A 1, A2, …, A n ta được n tam giác SA 1A2, SA 2A 3, …, SA nA 1. Hình gồm đa giác A 1A 2…A n và n tam giác SA 1A 2, SA 2A 3, …, SA nA 1 gọi là hình chóp, kí hiệu là S. A 1A 2…A nn. Ta gọi S là đỉnh và đa giác A1A2…An là mặt đáy. Các tam giác SA 1A 2, SA 2A 3, …, SA nA 1được gọi là các mặt bên; các đoạn SA 1, SA 2,…,SA n là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… (h.2.24). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.24.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều. Chú ý: Khi nói đến tam giác ta có thể hiểu là tập họp các điểm thuộc các cạnh hoặc cũng có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh và các điểm trong của tam giác đó. Tương tự có thể hiểu như vậy đối với đa giác. 6. Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp. Giải Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại K, L. Gọi E là giao điểm của PK và SB, F là giao điểm của PL và SD (h.2.25). Ta có giao điểm của (MNP) với các cạnh SB, SC, SD lần lượt là E, P, F. Từ đó suy ra: Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.25.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Chú ý. Đa giác MEPFN có cạnh nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp S.ABCD. Ta gọi đa giác MEPFN là thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Nói một cách đơn giản: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng BÀI TẬP 1. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng
2. Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Chứng minh M là điểm chung của 3. Cho ba đường thẳng d 1, d 2, d 3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy. 4. Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G A, G B, G C, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AG a, BG b, CG C, DG d đồng quy. 5. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng
6. Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
7. Cho bốn điểm A, B,C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.
8. Cho tứ dienẹ ABCD, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.
9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành d cắt đoạn thẳng BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
10. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
|
