LỜI MỞ ĐẦU Để bắt kịp sự phát triển của xã hội trong bối cảnh bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tỉnh trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc. Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là tận dụng các phương tiện hiện đại hỗ trợ vào quá trình dạy và học trong đó có máy tính cầm tay (MTCT). Vào những năm 1970, cuộc cách mạng công nghệ máy tính chuyển sang khuynh hướng chế tạo thiết bị cầm tay. Năm 1972, MTCT được phát minh, với kích thước nhỏ gọn nhưng có khả năng hiển thị các hàm số. tính giá trị hàm số tại một điểm, lưu và trả kết quả dữ liệu đưa vào, và nhiều chức năng khác. MTCT nhanh chóng phổ biến ở các lớp học toán ở các nước trên thế giới. Từ khi MTCT ra đời, các nhà giáo dục và các nhà nghiên cứu đã quan tâm đến tác động của MTCT vào thành tích học tập của học sinh. MTCT ra đời có làm giảm các kĩ năng cơ bản của học sinh hay không? Vào thời điểm đó, các cuộc tranh luận diễn ra thường xuyên giữa các nhà giáo dục học, các giáo viên và các nhà nghiên cứu ở Hoa Kỳ (và một số nơi khác). Theo Pat Perks trong dạy và học toán, những tác động to lớn của MTCT được xem xét từ 4 phía cạnh sau: 1. Hứng thú và tự tin: MTCT cung cấp cho học sinh những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề. Học sinh hứng thú, tích cực trong các hoạt động và hoàn chỉnh lời giải một cách chắc chắn, 2. Mở rộng phạm vi của chương trình: MTCT tạo ra cơ hội để học sinh khám phá các tri thức, thậm chí đi xa hơn chương trình của một lớp học: 3. Tăng xu hướng giảng dạy: Đưa việc sử dụng MTCT vào chương trình giảng dạy dưới nhiều hình thức khác nhau để tăng tính hiệu quả của chương trình học của học sinh; 4. Sáng tạo và kiểm chứng: MTCT là công cụ giúp học sinh kiểm tra các kết quả, cho phép các em sáng tạo với những con số và kiểm chứng các ý tưởng. Theo nghiên cứu (Schuck, 1995) về yếu tố chính ảnh hưởng đến việc học của học sinh là giáo viên, nghiên cứu cho rằng người giáo viên phải có thái độ tích cực đối với toán học và việc sử dụng nguồn tài nguyên công cụ, trong đó có MTCT để làm cho toán học trở nên nhẹ nhàng và có ý nghĩa hơn đối với học sinh. Cũng như trong nghiên cứu (Fleener, 1995; Hembree và Dessart, 1986; Laumakis và Herman, 2008; Ruthven, 1990) đã chỉ ra rằng việc sử dụng MTCT trong giảng dạy có thể tác động tích cực đến cả giáo viên và học sinh. Tăng hướng dẫn sử dụng MTCT vào quá trình giảng dạy sẽ thu hút người học xây dựng, hình thành và khám phá tri thức, khả năng GQVĐ. Đồng thời thông qua việc thăm dò các ý tưởng và quá trình học của học sinh, giáo viên cũng có cơ hội để học tập và nâng cao khả năng xử lý các tình huống bất ngờ mà người học có thể tạo ra với những ý tưởng táo bạo và sáng tạo trên MTCT của mình. Ngày nay, hầu hết các nước trên thế giới đều đưa MTCT hỗ trợ trong quá trình giảng dạy toán từ chương trình bậc tiểu học cho đến chương trình bậc đại học. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Trong môi trường máy tính một số vấn đề toán khó giải thích, đặc biệt với các phép tính phức tạp thì với công cụ máy tính các kết quả được kiểm chứng và minh họa rõ ràng hơn. Theo Laumakis và Herman (2008) trong các bài kiểm tra cuối khóa ở các trường thì những học sinh có khả năng sử dụng MTCT thành thạo có điểm số cao hơn so với học sinh không sử dụng MTCT hay những học sinh chi biết sử dụng MTCT. Diều này cũng đã tương đồng với nghiên cứu của Sigg và Pau O (2000), đã xác nhận thái độ và niềm tin của giáo viên khi đưa MTCT vào trong lớp học. Các giáo viên thừa nhận, MTCT đã cải thiện được thành tích học tập của học sinh một cách đáng kể. Nhìn chung, trong các trường phổ thông và đại học ở Việt Nam hiện nay, việc gắn giảng dạy lý thuyết và tính toán thực hành còn chưa được đẩy mạnh. Điều này hoàn toàn không phải vì thiếu công cụ tính toán, mà có lẽ là việc phổ biến cách sử dụng các cộng cụ tính toán chưa được quan tâm. Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đều có tổ chức các cuộc thi giải toán MTCT từ cấp Tỉnh đến cấp Quốc gia, tuy nhiên việc hướng dẫn cho học sinh vận dụng MTCT một cách sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán vẫn đang còn hạn chế. Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng MTCT ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng vào mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy sáng tạo, tư duy thuật toán (TDTT) dựa trên công cụ MTCT. Tư duy thuật toán, một dạng tư duy rất cần thiết trong thời đại công nghệ thông tin, được thể hiện trên máy tính điện tử qua nhiều dạng toán có nội dung toán học sâu sắc. TDTT thông qua máy tính điện tử, sẽ là cầu nối giữa hai bộ môn rất gần nhau, nhưng hiện nay được dạy một cách độc lập, ít liên hệ nhau là toán và tin học. Các giáo viên toán có thể hướng dẫn học sinh thực hành trên MTCT thay cho máy tính điện tử để đạt hiệu quả cao trong dạy học. Nhiều thuật toán (tìm số nguyên tổ, tính theo công thức truy hồi, tính giới hạn, giải gần đúng phương trình...) trước kia không có khả năng thực hành, nay có thể thực hiện thông qua MTCT. Với sự phát triển của công cụ tin học, việc học toán ngày càng được cải thiện hơn so với trước đây. Nhiều bài toán xuất phát từ thực tiễn hay các bài toán đòi hỏi độ tính toán phức tạp cao không thể giải quyết được bằng các tính toán thủ công hoặc giải quyết được nhưng mất rất nhiều thời gian. Do đó phải dùng tới tính toán của máy tính điện tử hoặc MTCT. Máy tính và phần mềm tính toán ra đời là nhằm đáp ứng các nhu cầu tính toán phức tạp (kể cả phổ thông lẫn cao cấp) trở thành công cụ làm việc dễ dàng cho mọi người. Một điều thú vị là ngoài vai trò tính toán, MTCT và phần mền toán học có khả năng hỗ trợ rất tốt cho việc dạy và học, nếu chúng ta biết khai thác một cách khéo léo. Việc nắm những thủ tục và thực hành trên máy là không khó khăn, cho nên nếu biết xác định đúng nội dung dạy và học thì chẳng những tránh được cái quả tài không cần thiết, mà còn làm tăng năng lực vận dụng các kiến thức toán học vào các hoạt động thực tiễn giúp học sinh thấy được một phần giá trị đích thực của toán học. Tuy nhiên, để việc thực hiện tính toán trên MTCT dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc về lý thuyết toán học. Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (tính tăng giảm, bị chặn, tốc độ hội tụ, độ chính xác, độ phức tạp, tính xấp xỉ...) sẽ được soi sáng trong thực hành tính toán cụ thể. Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho giáo viên và học sinh. Công cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp cận và truyền đạt các kiến thức lý thuyết, giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp học sinh không chỉ tiếp thu tốt các kiến thức khoa học một cách bản chất, sâu sắc, mà còn tiếp cận tốt hơn với các phương pháp giảng dạy và công cụ tính toán hiện đại. Các thuật toán và các quy trình thao tác trên MTCT có thể coi là bước tập được ban đầu để học sinh dần quen với kĩ thuật lập trình trên máy tính cá nhân. Và tác giả thật sự hy vọng cuốn sách sẽ trở thành nguồn cảm hứng cũng như tư liệu bổ ích cho các em học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT, tài liệu giảng dạy cho các giáo viên dạy bồi dưỡng và nghiên cứu. Nội dung cuốn sách bao gồm 11 chủ đề Chủ đề 1: Hàm số Chủ đề 2: Dãy số Chủ đề 3: Phương trình và hệ phương trình đại số Chủ đề 4: Phương trình lượng giác Chủ đề 5: Đa thức Chủ đề 6: Bài toán Lãi suất Chủ đề 7: Các bài toán thực tiễn Chủ đề 8: Số học Chủ đề 9: Hình học phẳng Chủ đề 10: Hình học không gian Chủ đề 11: Ứng dụng MTCT tìm lời giải sáng tạo Trong mỗi chủ đề, tác giả cung cấp và bổ sung nhiều kiến thức MTCT, kiến thức toán liên quan với nhiều ví dụ điển hình thường gặp được trích từ các đề thi HSG MTCT của các Sở Giáo dục những năm qua. Cuối mỗi chủ đề đều có các bài tập thực hành nhằm cũng cố lại kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo và đặc biệt tất cả bài tập đều có lời giải và đáp số. Với cách viết khoa học và sinh động giúp các em học sinh tiếp cận với Môn giải toán với MTCT một cách hứng thú, trở nên tự tin, năng động, hiểu biết bản chất và biết định hướng phân tích để tìm lời giải cho nhiều lớp bài toán. Mặc dù tác giả đã dành nhiều thời gian tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều không tránh khỏi. Chúng tôi rất mong được sự góp ý chân thành của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn. Tác giả Trần Đình Cư DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ 1. Định nghĩa. Cho a, b, m là các số nguyên, m 0. Nếu a – b chia hết cho m thì a được gọi là đồng dư với b modulo m, ký hiệu a b mod m. 2. Tính chất Cho a, b, c, d là các số nguyên 2.1. Nếu a b mod m thì b a mod m 2.2. Nếu a b mod m và b c mod m thì a c mod m 2.3. Nếu a b mod m và c d mod m thì a + c b + d mod m 2.4. Nếu a b mod m và c d mod m thì ac bd mod m 2.5. Nếu a b mod m, k nguyên dương thì ak bk mod m 2.6. Nếu a b mod m và d| m thì a b mod d 2.7. Nếu a b mod m thì ac bc mod cm với mọi c khác 0. 2.8. Nếu ab ac mod m và (a,m) = 1 thì b c mod m 2.9. a b mod mi ( i =1,2,,n) a b mod [m1,m2,,mn] 3. Định lý Fermat nhỏ Giả sử p nguyên tố, (a, p) = 1. Khi đó ap–1 1 mod p 4. Th t to n t m tr n m tính ca io -570VN Plus uo n t m dư t ong phe p chia m n ta thư c hie n như sau hi va o ma n h nh m Rn ( R ba m Qa) a m = đươ c Q,R P th ch nh la thương va la dư Ví m dư t ong phe p chia 123456 789 hi va o ma n h nh 123456 R789 ba ng ca ch ba m 123456Qa789 a m = đươ c 156,R 372 ne n thương la 156, dư la 372 DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio a y dư t ong phe p chia 123456 789 la 372 5. t ng to n trong thi gi i to n tr n TCT i Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh C a n m -2011 Tìm số dư của phép chia : 12345678912345 cho 2010 Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS Lấy 9 chữ số đầu tiên chia cho 2010 Bấm 123456789Qa2010= Được dư 579 Gắn 579 vào 5 chữ số còn lại thành số 57912345 rồi chia cho 2010 Bấm 57912345Qa2010= Được dư là 225 Vậy dư của phép chia : 12345678912345 cho 2010 bằng 225 i Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh H Giang n m -2012 ìm số dư khi chia 222 555A = 555 + 222 + 2012 cho 7. Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS ìm dư khi chia 222555 cho 7 Bấm 222=qx được 222 2 3 37 l nh ph n t ch m t số ra th a số n uyên tố Bấm 555Qa7= được 555 2(mod7) 222 222555 2 (mod7) DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio à 32 1(mod7) nên 222 3 742 (2 ) 1(mod7) 222555 1(mod7) ìm dư khi chia 555222 cho 7 Bấm 555=qx được 555 3 5 37 Bấm 222Qa7= được 222 5(mod7) 222 2(mod7) 555 555222 ( 2) (mod7) à 3( 2) 1(mod7) nên 555 3 185( 2) ( 2 ) 1(mod7) 555222 1(mod7) ìm dư khi chia 2012 cho 7 Bấm 2012Qa7=được 2012 3(mod7) Suy ra A (1 1 3)(mod7) 3(mod7) Vậy dư khi chia 222 555A = 555 + 222 + 2012 cho 7 là 3 i Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh H Giang n m -2012 ìm hai chữ số tận cùng của số: 2010 2011 2012N = 2 + 2 + 2 Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS ìm hai chữ số tận cùng của số N ta tìm dư khi chia N cho 100 a có 2010 2 2010N = 2 (1 + 2 + 2 ) = 2 .7 Bấm máy 2^10$Qa100= DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio Được 102 24(mod100) Mặt khác 20002 có 3 chữ số cuối là 376 nên 20002 76(mod100) 2010 10 2000 20002 2 2 (mod100)2 24 76(mod100) 24(mod100) 2010N 2 7(mod100) 24 7(mod100) 68(mod100) Vậy hai chữ số tận cùng của số N là 68 i Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh Th a Thi n H n m - 2011 a) ìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng t ăm và hàng nghìn của số tự nhiên 2010A 2011 b) ìm số dư t ong phép chia 1111201020112012 cho 2013 Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS a) 2011 là số không chứa thừa số 2, và 5 nên 2000A 2011 có 4 chữ số tận cùng là 00001. Vậy 4 chữ số tận cùng của 20102011 cũng là 4 chữ số tận cùng của 102011 a tìm 4 chữ số tận cùng của 102011 : 22011 4121 mod10000 ( bấm 2011dQa10000=) 32011 7331 mod10000 ( bấm 2011qdQa10000=) 52011 4121 7331 1051 mod10000 (bấm 4121O7331Qa10000=) DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio 10 22011 1051 4601 mod10000 (bấm 1051dQa10000=) Vậy 4 số cuối cuối 20102011 là 4601 b) ìm số dư t ong phép chia 1111201020112012 cho 2013 Đầu tiên tìm dư của 1111201020 chia cho 2013 Bấm 1111201020Qa2013= Được dư R=864 án 864 vào 112012 thánh số 864112012 ìm dư của 864112012 chia cho 2013 Bấm 864112012Qa2013= Được dư R=1567 Vậy số dư t ong phép chia 1111201020112012 cho 2013 là 1567 DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio D O S 1. h n tí h r th n yên t trên máy tính io fx-570VN Plus Ứng dụng l nh FACT ph n t ch m t số thành t ch các th a số n uyên tố. í dụ 1 : Ph n t ch số 189078750 thành t ch các th a số n uyên tố. Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS Ghi vào màn hình 189078750 Bấm =qx ta được 2 4 5189078750 2 3 5 7 2. t d n toán tron á thi iải toán trên C i : Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh H a nh n m -2008 Ph n t ch số 8563513664 ra th a số n uyên tố Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS Ghi vào màn hình 8563513664 Bấm =qx ta được 68563513664 2 101 (1324801) bấm $ đe em ) t qu c chứa th a số 1324801 nằm tron dấu n o c đ n được hi u là máy chưa ph n t ch 1324801 ra th a số n uyên tố được Ta áp dụn đ nh l sau Đ nh p N Ph n t ch 1324801 ra th a số n uyên tố ta th c hi n các bư c sau: hai c n số 1324801 : bấm s1324801=được 21324801 1151 ie p tu c khai ca n 1151 ba m sM= ta đươ c 1151 33.92639091 DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio heo đi nh ly t e n ne u 1151 kho ng pha i la so nguye n to th no se co ươ c nguye n to p 33 ậy ta tìm em 1151 c ư c n uyên tố nào nh h n hay bằn 33 bằn thuật toán sau: a m 1151= hi va o ma n h nh 1151 1151 2 Ans ba m = đươ c 1151 3 a m = đe n khi ma u so ba ng 33 ta tha y 1151 h n c ư c n uyên tố nào nh h n hay bằn 33 ậy 6 28563513664 2 101 1151 i Trích thi gi i to n tr n TCT l p t nh T Ninh n m -2011 Cho số 2009 2009 2009 a 0,20092009... 0,020092009... 0,0020092009... Tìm tất c các ư c n uyên tố của a Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS Rút ọn a hi vào màn hình 2009 2009 2009 a 0,200920092009 0,0200920092009 0,00200920092009 Bấm =được a 1109889 ìm các ước nguyên tố của a: a phân tích a a thường số nguyên tố bằng lệnh FACT Bấm 1109889=qx được 3a 1109889 3 11 37 101 DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO | www.diendanmaytinhcamtay/forum www.facebook.com/DienDanToanCasio Vậy các ước nguyên tố của a là 3, 11,37, 101. |
