ất đẳng thức Cosi là một trong các bất đẳng thức quan trọng trong chương trình phổ thông. Nhiều dạng toán về tìm GTLN GTNN của hàm số, các bài toán thực tế nếu sử dụng bất đẳng Cô si sẽ cho ra kết quả gọn và đẹp. Hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu về bất đẳng thức Cô si và một số ứng dụng của nó nhé! Show
1. Bất đẳng thức cosi lớp 10Cho a, b là hai số không âm. Ta có hoặc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Cho a, b, c là ba số không âm. Ta có hoặc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 2. Một số ví dụ bất đẳng thức cosi lớp 102.1. Ứng dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thứcVí dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
Lời giải:
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Suy ra . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có . Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có và . Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Suy ra . (1) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có Suy ra . (2) Từ (1) và (2), suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng Lời giải:
Tương tự, ta có và . Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Tương tự, ta có và Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng Lời giải:
Ta có . Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm và , ta có . Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có . Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương x và y, ta có . Khi đó (1) và (2). Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ví dụ 4: Cho a, b là số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Lời giải:
, . Suy ra (1) Mặt khác, ta có . Suy ra . Từ (1) và (2), suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có Suy ra . Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 2.2. Ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtVí dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
Lời giải:
Suy ra . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 3 hoặc x = 5. Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có hay . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị lớn nhất của y bằng 16 khi x = 1; giá trị nhỏ nhất của y bằng 0, khi x = - 3 hoặc x = 5.
Ta có và . Do đó suy ra . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 4. Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có suy ra . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị lớn nhất của y bằng , khi ; giá trị nhỏ nhất của y bằng , khi x = 1 hoặc x = 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là , khi .
Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là , khi . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
Lời giải:
, với mọi . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2, khi .
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2, khi x = 0. Ví dụ 4: Với tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau Lời giải:
Vì nên và . Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 25, khi .
Vì nên và . Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là , khi . Ví dụ 5: Với , tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
Lời giải:
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của y là , khi .
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của y là , khi . Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với . Lời giải: Ta có . Suy ra . Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 27, khi x = 3. 2.3. Ứng dụng bất đẳng thức Côsi để giải phương trìnhVí dụ 1: Giải pt sau: . Lời giải: Điều kiện Ta có : Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Lời giải: Do x = 0 không là nghiệm của pt, nên chia cả 2 vế cho ta được : Dấu “ = ’’ xảy ra Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là Ví dụ 3: Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau: (1) Lời giải: Đặt Khi đó phương trình( 1) trở thành: ( 2 ) Giả sử là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của BPT (1) Tức là: ( * ) Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : mâu thuẫn với ( *). Vậy BPT đã cho vô nghiệm. Ví dụ 4: Chứng minh rằng các BPT sau không có nghiệm nguyên dương:
Lời giải:  2.4. Ứng dụng bất đẳng thức Côsi để giải hệ phương trìnhVí dụ 1: Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm dương Lời giải: 2.5. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức CosiGiả sử ta cần chứng minh BĐT sau : hoặc 2.5.1. Trường hợp 1: là một biểu thức đối xứng của các .Ta dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) xảy ra khi . Kiểm tra lại dự đoán nếu đúng thì kết hợp với điều kiện xảy ra dấu “ = ’’ trong BĐT cauchy, ta sẽ tìm được các hằng số trong các đánh giá giả định. Từ đó đưa ra lời giải của bài toán. Ví dụ 1: Cho Chứng minh rằng : Lời giải: Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng: Lời giải: Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng: Lời giải: 2.5.2. Trường hợp 2: Trong biểu thức các không có tính đối xứng . Khi này việc dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) cho một lớp bài toán là rất khó. Kết quả của việc này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm và trực quan toán học của mỗi người làm toán. Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng Lời giải: Ví dụ 2: Cho Chứng minh rằng: Lời giải: Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số thì bất đẳng thức Cauchy còn được sử dụng trong các các bài chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay các bài toán cực trị hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến. Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy hoc, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước. Mặc dù đã cố gắng song kinh nghiệm còn rất khiêm tốn. Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cauchy một nội dung rất khó trong chương trình toán phổ thông. |
