Bài 14 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2 – Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây
Bài 14 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại Hướng dẫn giải:  a. Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\) Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm) Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó. Chứng minh: Vì \(∆ AOB\) cân tại \(O\) và \(HA = HB\) nên \(OH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Từ đó suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây \(AB\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó. Quảng cáob. Ta có: \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) (gt) \(⇒ IA = IB\) Điều này chứng tỏ rằng điểm \( I\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (1) Ta có \(OA = OB =\) bán kính Điều này chứng tỏ rằng điểm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (2) Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng \(OI\) hay \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Suy ra \(IK \bot AB\). * Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó. Kẻ đường kính \(KOI\) vuông góc với \(AB\). Ta có \(OA = OB ⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\) Mà \(OH \bot AB\) nên \(OH\) là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\). Vậy \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\)
1. Các kiến thức cần nhớ
a. So sánh độ dài của đường kính và dây Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
b. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. - Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$. + Đường kính $DE$ đi qua trung điểm $H$ của dây $AB$, khi đó \(DE \bot AB\) tại $H$. + Đường kính $DE$ vuông góc với dây $AB$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm của dây $AB$ hay $HA=HB$.
c. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. - Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ với hai dây $AB$, $CD$ + $AB=CD$ \( \Leftrightarrow \) $OF=OE$ + $AB>CD$ \( \Leftrightarrow \) $OF>OE$ 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan. Phương pháp: Ta thường sử dụng các kiến thức sau: +) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. +) Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông. Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng Phương pháp: Ta thường sử dụng các kiến thức sau: - Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. - Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn, - Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.
“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp A. nhỏ hơn B. bằng C. song song D. vuông góc
“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp A. nhỏ hơn B. bằng C. song song D. vuông góc
Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.
Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.
Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.
Bài toán mối liên hệ giữa đường kính và dây cung I. Hướng dẫn giải Vận dụng định lí về mối liên hệ giữa đường kính và dây cung. II. Bài tập mẫu Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK. Giải Kẻ OM ⊥ CD thì OM // AH // BK (vì cùng vuông góc với CD) Hình thang AHKB có OM // AH và OA = OB nên OM là đường trung bình của hình thang. ⇒ MH = MK (1) Mặt khác, OM ⊥ CD thì MC = MD (2) (vì đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây ấy) Từ (1) và (2) suy ra CH = DK.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M. a. Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao? b. Cho R = 6,5cm và MA = 4cm. Tính CD. Giải a. CD ⊥ AB tại MC = MD E đối xứng với A qua M ⇒ ME = MA Do đó, tứ giác ACED có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác ACED là hình thoi. b. Điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB ⇒ góc ACB bằng Áp dụng hệ thức ta được:
⇒ MC = 6cm ⇒ CD = 2.MC = 2.6 = 12cm
Bài 3. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, M là trung điểm của OA; đường vuông góc với OA tại M cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh tam giác BCD đều. Giải Ta có: M là trung điểm của OA và CD ⊥ AB tại M ⇒ CM vừa là trung tuyến vừa là đường cao của △ACO ⇒ △ACO cân tại C Mà △ACO cân tại O (OA = OC = R) Nên △ACO đều ⇒ góc OAC bằng (1) Lại có: C thuộc đường tròn (O) đường kính AB ⇒ góc ACB bằng (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc ABC bằng (tổng ba góc trong một tam giác bằng ) ⇒ góc CBD bằng (AB là tia phân giác của góc CBD) (3) Tương tự: góc ABD bằng Mặt khác: AB ⊥ CD tại M ⇒ M là trung điểm của CD (tính chất đường kính và dây cung) ⇒ BM là đường cao cũng là trung tuyến của △BCD ⇒ △BCD cân tại B (4) Từ (3) và (4) suy ra △BCD đều (đpcm) III. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho đường tròn (O;R). Hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Diện tích tứ giác ABCD bằng:
Bài 2. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Biết IA = 2cm, IB = 4cm. Khi đó: a. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB lớn hơn khoảng cách từ tâm O đến dây CD. b. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 1cm c. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB nhỏ hơn khoảng cách từ tâm O đến dây CD. d. Khoảng cách từ tâm O đến dây CD bằng 2cm. Bài 3. Cho đường tròn (O; 5cm), một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB = 6cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng: a. 8cm b. 6cm c. 4cm d. 2cm Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên AB lấy hai điểm C và D sao cho OC = OD. Từ C và D kẻ hai tia song song cắt đường tròn tại E và F. Biết khoảng cách từ tâm O đến EF bằng 3R/5. Diện tích tứ giác CDFE bằng:
Bài 5.
Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua AB. Tứ giác OAO’B: a. là hình thoi b. là hình chữ nhật c. có diện tích bằng D. có diện tích bằng 2 Bài 6. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là trung điểm của OA. Đường vuông góc với OA tại M cắt đường tròn tại C và D. Tổng bằng: a. b. c. d. Bài 7. Cho đường tròn (O; 13cm) và một điểm M cách O một khoảng bằng 5cm. Khi đó: a. Độ dài của dây dài nhất đi qua M bằng 13cm b. Độ dài của dây dài nhất đi qua M bằng 12cm c. Đội dài của dây ngắn nhất đi qua M bằng 26cm d. Đội dài của dây ngắn nhất đi qua M bằng 24cm Bài 8. Cho đường tròn (O; 17cm) và một điểm I cách tâm O một khoảng bằng 8cm. Có bao nhiêu dây đi qua I có độ dài là một số tự nhiên? a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 Bài 9. Cho đường tròn (O; 25cm), dây AB dài 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Độ dài dây CD bằng: a. 12cm b. 24cm c. 48cm d. 96cm Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây. Related |
