[tex](\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x})\geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]
Ta đi chứng minh
[imath]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}[/imath]
Thật vậy ta có
[tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{1}{3}[(\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y})]\geq \frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]
Tương tự ta cũng được
[imath]\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}[/imath]
Do đó ta được điều phải chứng minh
Lời giải bài tập 3
Bất đẳng thức tương đương với
[tex]\frac{a(1-b)}{ab+1}+1+ \frac{b(1-c)}{bc+1}+1+\frac{c(1-a)}{ca+1}+1\geq 3[/tex] [imath]\Leftrightarrow \frac{a+1}{ab+1}+\frac{b+1}{bc+1}+\frac{c+1}{ca+1}\geq 3[/imath]
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số thực dương ta được
[tex]\frac{a+1}{ab+1}+\frac{b+1}{bc+1}+\frac{c+1}{ca+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+1}{ab+1}.\frac{b+1}{bc+1}.\frac{c+1}{ca+1}}[/tex]
Ta đi chứng minh
[tex](a+1)(b+1)(c+1)\geq (ab+1)(bc+1)(ca+1)[/tex] [tex]\Leftrightarrow 3\geq (abc)^2+abc[/tex]
Điều này đúng do [tex]3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1[/tex]
Qua những ví dụ trên , chúng ta có thể thấy quan trọng nhất khi sử dụng BĐT AM-GM là phải chọn đúng hệ số ghép cặp để tồn tại đẳng thức có thể xảy ra được.Chúng ta cùng đến với 1 kĩ thuật ứng dụng nhiều với BĐT AM-GM nhé
1.1. Kĩ thuật Côsi ngược dấu Chúng ta cùng đến với ví dụ sau:
VD 1: Cho các số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thoả mãn [imath]a+b+c=3[/imath] .Chứng minh rằng
[tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Lời giải :
Ta không thể sử dụng trực tiếp BĐT AM-GM với mẫu số vì sẽ bị ngược chièu
[tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\leq \frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Nhung thật may mắn khi ta có thể sử dụng BĐT theo 1 cách khác
[tex]\sum \frac{a}{1+b^2}=\sum \left ( a-\frac{ab^2}{1+b^2} \right )\geq \sum \left ( a -\frac{ab^2}{2b}\right )=\sum \left ( a-\frac{ab}{2} \right )\geq \frac{3}{2}[/tex]
Với cách làm trên ta có thể xây dựng một bài toán tương tự với 4 số: Cho các số thực dương [imath]a,b,c,d[/imath] thoả mãn [imath]a+b+c=4[/imath] .Chứng minh rằng
[tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\geq 2[/tex]
Nếu không dùng kĩ thuật Côsi ngược dấu thì bài này rất khó để làm . Kĩ thuật này rất hiệu quả với các bài toán BĐT hoán vị . Bạn đọc có thể tự chứng minh bài này tương tự với bài trên nhé
VD 2: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực không âm và [imath]a+b+c=3[/imath].Chứng minh rằng :
[tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
Lời giải:
Sử dụng BĐT AM-GM ta được
[tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/tex]
Tương tự với [imath]b,c,d[/imath] rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh
VD 3: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực không âm và [imath]a+b+c=3[/imath].Chứng minh rằng :
[tex]\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\geq 3[/tex]
Lời giải:
Sử dụng BĐT AM-GM ta được
[tex]\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{(a+1)b^2}{b^2+1}\geq a+1-\frac{(a+1)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
Tương tự với [imath]b,c[/imath] rồi cộng lại ta được
[tex]\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\geq (a+b+c+3)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\geq 6-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{2}=3[/tex](đpcm)
Nhận xét: Kĩ thuật Cosi ngược dấu là một kĩ thuật giúp ta giải những bài toán theo cách suy nghĩ dễ dàng hơn, các bài toán dùng kĩ thuật này nói chung rất khó có thể làm theo cách khác hoặc làm được nhưng khá dài
Sau đây là một vài bài tập tự luyện/ ví dụ cho các bạn đọc chứng minh Bài tập 1: Chứng minh với [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương và [imath]a+b+c=3[/imath] ta luôn có
[tex]\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1[/tex]
Bài tập 2: Chứng minh với [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương và [imath]a+b+c=3[/imath] ta luôn có
Tài liệu gồm 702 hướng dẫn các kỹ thuật và phương pháp chứng minh bất đẳng thức (Đại số 10 chương 4) kèm các ví dụ và bài tập bất đẳng thức có lời giải chi tiết.
Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức được đề cập trong tài liệu: Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Chủ đề 1. Kỹ thuật biến đổi tương đương + Chủ đề 2. Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 1. Sử dụng tính chất của tỉ số 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. + Chủ đề 3. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng + Chủ đề 4. Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số – Phương pháp quy nạp + Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 4. Kỹ thuật thêm bớt 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 6. Kỹ thuật đổi biến số + Chủ đề 6 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 4. Kỹ thuật thêm bớt 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki [ads] Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC + Chủ đề 7. Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức + Chủ đề 8. Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức + Chủ đề 9. Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR + Chủ đề 10. Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển 2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số 3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 4. Phương pháp tiếp tuyến 5. Khảo sát hàm nhiều biến số 6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC + Chủ đề 11. Một số bất đẳng thức hay và khó + Chủ đề 12. Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và tuyển sinh lớp 10 chuyên toán
- Bất Đẳng Thức Và Cực Trị
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]