Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,275,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,217,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,191,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,356,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,14,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,139,Toán 11,176,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác định góc giữa hai véc-tơ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.  Nội dung bài viết Xác định góc giữa hai véc-tơ: Ta xác định một điểm cho trước trên hình làm điểm gốc và dời các véc-tơ cần tính góc về điểm gốc đó. BÀI TẬP DẠNG 1: Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp véc-tơ sau đây: a) AB và BD. b) DH và AD. a) Dựng AE = BD. Ta có (AB, BL) = (AB, AL) = BAE = 120°. b) Dựng DE = AD. Ta có (DH, AL) = (DH, DE) = HDF = 180° – 30° = 150°. Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai véc-tơ SM và AB. Lời giải. Gọi a là góc giữa hai véc-tơ SM và AB, ta có: BC = AB = VSA + SB = a2. Mặt khác ta có SM AB = (SB + SO) – (SB – SA) = a = 60°. Cách khác: Gọi N là trung điểm của AC, ta dễ dàng chứng minh được ASMN đều. Có (SM, AB = (SM, NM) = MS, MN = NMS = 60°.
Rõ ràng từ định nghĩa trên ta suy ra được góc giữa hai véc tơ có một số tính chất. Chẳng hạn: Góc giữa hai véc tơ bằng 0º khi và chỉ khi hai véc tơ đó cùng chiều.Góc giữa hai véc tơ bằng 180º khi và chỉ khi hai véc tơ đó ngược chiều.Góc giữa hai véc tơ bằng 90º khi và chỉ khi hai véc tơ đó vuông góc. II. CÁCH TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG OXY
Quảng cáo Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng). Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→ A. 45° B. 90° C. 120° D.60° Quảng cáo Hướng dẫn giải: Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông). Chọn B Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→? A. 90° B. 60° C. 45° D. 120° Hướng dẫn giải Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên: Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là: A. 45° B. 90° C. 60° D. 120° Hướng dẫn giải Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° . Lại có, DA’ song song CB’ nên (AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°. Chọn C Quảng cáo Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây? Hướng dẫn giải Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên : (AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C' Chọn B Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90° B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60° C. Góc giữa AD và B’C bằng 45° D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°. Hướng dẫn giải Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°. Khẳng định B sai. Chọn B. Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD Từ (1) và (2) suy ra: Do đó IJEF là hình thoi Suy ra (IE; JF) = 90°. Chọn D Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC. Ta có: Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Ta có: ∠MIN = 2∠MIO . Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có: Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và A. 120° B. 90° C. 60° D.45° Hướng dẫn giải Chọn B + Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều Tương tự tam giác ABD đều. ⇒ BC = BD (= AB) + Xét tam giác ACD và tam giác BCD có : BC = AC. AD = BD CD chung ⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ ⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao. ⇒ IJ ⊥ AB. ⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90° Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°
+ Gọi M là trung điểm của CD + Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao. Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°. Chọn C Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu? A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°
Gọi M là trung điểm của CD Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên: Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°. Chọn C Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Xét: Vậy SC và AB vuông góc với nhau. Chọn D Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ; CD)bằng: A . 90° B. 45° C. 30° D. 60°
Chọn D Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. + Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nên OJ // CD ⇒ (IJ; CD) = (IJ, JO) + Xét tam giác IOJ có ⇒ tam giác IOJ đều. Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ bằng góc ∠IJO = 60° Chọn D. Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) . Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau. Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC . Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC Chọn D. Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng
Chọn A Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD) Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD) Ta có: Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a Xét tam giác MED, ta có: Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Chọn D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1) Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2) Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD) Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD). ⇒ (MN; SC) = (SA; SC). Xét tam giác SAC, ta có: ⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90° Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ→ và CD→ ? A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Chọn B Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB) ⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I. Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CD
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
