Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một ánh xạ f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y. Show Nói cách khác, f là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh. Ví dụ, xét hàm f xác định trên tập hợp số nguyên vào , được định nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh Ví dụ khác, hàm f(x)=ax2+bx+c (a khác 0) xác định trên tập số thực vào nhưng đây không phải song ánh vì nó không đơn ánh và cũng không toàn ánh. Với mọi y< min f(x) nếu a>0 hoặc y> max f(x) nếu a<0 thì không tồn tại x để y=f(x) do đó f(x) không toàn ánh. Với x1 khác x2 thì f(x1) vẫn có thể bằng f(x2) trong trường hợp x1<-b/a<x2 và x1+x2=-b/a vì khi đó 2 điểm (x1,f(x1)) và (x2,f(x2)) đối xứng qua đường thẳng x=-b/a do đó f(x) không đơn ánh. Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị. Tập hợp tất cả các song ánh từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thường tập các hoán vị của tập X được ký hiệu là X!. Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác.
60% found this document useful (5 votes) 34K views 16 pages Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?60% found this document useful (5 votes) 34K views16 pages BT về ánh xạJump to Page You are on page 1of 16 Tài liệu lưu hành nội bộ TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN ÁNH XẠ VD1 : Cho ánh xạ : f R R xác định bởi 3 2 1 f x x . Tìm 1 1 0 , 1 , 1 , 1;17 , 0;1 f f f f f Giải : 3 3 1 3 0 2.0 1 1; 1 2.1 1 3; 1 / 1 /2 1 1 0 f f f x R f x x R x 1 3 1;17 /1 17 /1 2 1 17 f x R f x x R x 3 3 /0 2 16 /0 1 8 /0 2 0;2 x R x x R x x R x 0;1 / 0 1 f f x x Ta có : 3 3 3 0 1 0 0 2 1 1 2 1 3 x x x x Vây 0;1 1;3 f VD 2 : Chứng minh rằng ánh xạ : f R R xác định bởi 3 2 1 f x x là song ánh và tìm ánh xạ ngược. Giải : 1 2 , x x R mà 3 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x f x f x f là đơn ánh. 1 3 3 33 1 1, 2 1 2 12 2 y y y R f x y x y x y x x R Vậy, 3 1, ,2 y y R x y R f x R f là toàn ánh 2 Từ (1) và (2), suy ra f là song ánh. Cách 2 : Ánh xạ ngược 1 : f R R 3 12 y y x là ánh xạ ngược của f . , y R xét phương trình 33 12 12 y y f x y x x . Như vậy , y R phương trình y f x có nghiệm duy nhất là 3 12 y x nên f là song ánh. VD3 : Cho án h xạ : : f R R 2 3 2 x f x x x Tài liệu lưu hành nội bộ TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN a) f có phải làm song ánh không ?Tại sao ? b) Tìm 0 , 1 , 0;1 , 0;2 f f f f Giải : a) Ta có : 1 1 1 13. 2 2 32 6 36 6 12 b f f a Với 3 y , xét phương trình 2 2 3 3 2 3 3 1 0 f x x x x x 1 4.3 11 0 Phương trình vô nghiêm Như vậy với 3 y Phương trình 3 f x vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh f cũng không phải làm song ánh. + Xét tính đơn ánh : Ta có : 12 22 02 3 2 2 3 0 3 1 0 13 x f x x x x x x x x Như vậy với 1 2 10,3 x x , ta có 1 2 x x nhưng 1 2 2 f x f x . Vậy f không phải làm đơn ánh. c) 0;1 0;1 0 2, 1 0, 0;1 , f f f min f x max f x Trong đó : 0;1 1 25 250 , 1 , 2,0,6 12 12 min f x min f f f min 0;1 1 250 , 1 , 2,0, 06 12 max f x max f f f max Vậy f( 250;1 ) ;012 Vậy 250;1 ;012 f 1 f 0;2 x R / f (x) 0,2 x R / 0 f (x) 2 Ta có : 22 2x x 13x x 2 0 30 f(x) 243x x 2 21 x3 2 1x 1; 1;3 4 Vậy 1 2 4f 0;2 1; 1;3 3 VD4 : Ánh xạ : f R R xác định bởi 2 31 x f x x có phải là đơn ánh, toàn ánh không ? Tài liệu lưu hành nội bộ TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN Giải + Xét tính đơn ánh : 1 2 , , x x ta có: 1 21 2 2 21 2 3x 3xf(x ) f(x )x 1 x 1 2 21 2 2 1 3x (x 1) 3x (x 1) 2 21 2 1 2 1 2 x x x x x x 1 2 1 2 2 1 (x x ) x x (x x ) \=0 1 2 1 2 2 1 (x x ) x x (x x ) 0 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 (x x ) x x (x x ) 0 (x x )(1 x x ) 0 1 21 2 x xx x 1 Chọn 1 2 13,3 x x , ta có 1 2 x x nhưng 1 2 1 2 9 1 93 ;10 3 10 f x f f x f f x f x nên f không phải là đơn ánh. + Xét tính toàn ánh : y , xét phương trình y f x 2 3xyx 1 2 yx 3x y 0 + Nếu 0 y , phương trình có nghiệm 0 x + Nếu 0 y thì 2 9 4 y , chọn 2 y ta có 0 nên pt vô nghiệm. Vậy với 2 y pt 2 f x vô nghiệm. Nên f không phải là toàn ánh. Bài tập : Bài 1 : Cho f : 2 R R,f(x) x 3x 1 a) Hỏi f có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại sao ? b) Tìm 1 1;2 ; 1;2 ; 1;1 f f f Giải
2 b 3 3 3f f 3. 12a 2 2 2 \= 9 9 51 24 2 4 Với 2 y , xét phương trình 2 f x 2 2 x 3x 1 2 x 3x 3 0 2 Δ 3 4.1.3 3 0 pt vô nghiệm Như vậy với y 2 Phương trình 2 f x vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra, f cũng không phải làm song ánh. + Xét tính đơn ánh : Với 1 y , Ta có : 1 f x 12 22 x 0x 3x 1 1 x 3x 0 x(x 3) 0x 3 Như vậy với 1 2 0, 3 x x , ta có 1 2 x x nhưng 1 2 f x f x . Vậy f không phải làm đơn ánh. Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime.  |
