Có bao nhiêu số nguyên a 2022 2021 sao cho tồn tại duy nhất số thực x thỏa mãn 3 3 log 3 log

Lời giải của GV Vungoi.vn

* pt $ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1$.

$ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}$, khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$ $ \Rightarrow y > - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$ \Rightarrow $ Ta chặn được $y > - 3$ => $y \ge - 2$.

* $pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0$.

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.$.

Nhận thấy ngay $f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}$, chỉ bằng 0 tại $y = 0$.

+ Xét $y = 0 \Rightarrow $ thay vào phương trình ban đầu $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.$, loại vì không có nghiệm thuộc $\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

+ Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}$.

1) Ta Table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$.

$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$

$ \Rightarrow $ Có 17 giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 16$ thì $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0$ và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi $y \ge 16$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)$.

Ta có $h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0$.

$ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm với $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của $y$.

Lời giải của GV Vungoi.vn

Điều kiện $x > 0$.

Đặt $t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \ge 1$, ta được phương trình ${t^2} + t - 2m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Ta có $x \in \left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]$ $ \Leftrightarrow $ $0 \le {\log _3}x \le \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow $ $1 \le t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \le 2$.

Phương trình đã cho có nghiệm $x \in \left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]$ $\Leftrightarrow$ $\left( * \right)$ có nghiệm $t \in \left[ {1\,;\,2} \right]$.

Đặt $f\left( t \right) = {t^2} + t$, với $t \in \left[ {1\,;\,\,2} \right]$.

Hàm số $f\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên đoạn $\left[ {1\,;\,\,2} \right]$.

Ta có $f\left( 1 \right) = 2$ và $f\left( 2 \right) = 6$.

Phương trình ${t^2} + t = 2m + 2$ $ \Leftrightarrow $ $f\left( t \right) = 2m + 2$ có nghiệm $t \in \left[ {1\,;\,\,2} \right]$ $ \Leftrightarrow $ $f\left( 1 \right) \le 2m + 2 \le f\left( 2 \right)$

$ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \le 2m + 2\\2m + 2 \le f\left( 2 \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}2 \le 2m + 2\\2m + 2 \le 6\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $0 \le m \le 2$.

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t$, biểu diễn $P = x + y$ và $S = xy$ theo $t$.

- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó $x,\,\,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ẩn t).

- Tìm điều kiện để phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của $t$.

- Từ đó chặn khoảng giá trị của ${x^2} + {y^2}$ và tìm các số nguyên x thỏa mãn.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.$.

Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}$

Khi đó $x,\,\,y$ là nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có $\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)$.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}$.

Tập hợp các cặp giá trị của $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn (I) là miền bôi đậm.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số tự nhiên a sao cho tồn tại số thực $x$ thoả${{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2020$

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
Xét phương trình: ${{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}=\frac{{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2020}{{{x}^{3}}+2020}$, điều kiện: $x>-1$,

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}={{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2020 \right)-{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+{{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2020 \right)\,\,\left( * \right) \\ \end{align} $

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{t}^{3}}+2020 \right)$, trên $\left( 0;+\infty\right)$

$f'(t)=3{{t}^{2}}+\frac{3{{t}^{2}}}{\left( {{t}^{3}}+2020 \right)\ln 2021}>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty\right)$

Do đó $\left( * \right)$ trở thành: $x={{a}^{\log \left( x+1 \right)}}$$\Leftrightarrow x={{\left( x+1 \right)}^{\log a}}\Leftrightarrow \log x=\log a.\log (x+1)$

$\Leftrightarrow \log a=\frac{\log x}{\log \left( x+1 \right)}<1,\forall x>-1$ nên $a<10\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$

Mã câu hỏi: 276703

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có bốn con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Cho cấp số nhân: $\frac{-1}{5};\text{ }a;\text{ }\frac{-\text{1}}{\text{125}}$. Giá trị của a là:
Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$ đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?
Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$, đồ thị như hình vẽ:
Hàm số nào trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-2$.
Đường cong trong hb là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ bên.Tìm m để phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt.
Cho các số dương a, b, c, và $a\ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong các hàm số sau hàm số nào đb trên tập xác định của nó?
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn ${{\log }_{b}}a\sqrt{b}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}$ và ${{\log }_{b}}a>0$. Tính $m={{\log }_{b}}a$
Giải phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)=-2$.
Tập nghiệm của phương trình ${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72$ là
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9$ là:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y=\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)$.
Cho $\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{3x-1}}\text{d}x}=m\left( {{e}^{p}}-{{e}^{q}} \right)$ với m, p, $q\in \mathbb{Q}$ và là các phân số tối giản. Giá trị m+p+q bằng
Nếu $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{dx}}=-4$ và $\int\limits_{1}^{4}{g\left( x \right)\text{dx}}=6$ thì $\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{dx}}$ bằng
Cho số phức $\overline{z}=3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.
Cho hai số phức ${{z}_{1}}=5-7i$, ${{z}_{2}}=2-i$. Tính môđun của hiệu hai số phức đã cho
Điểm \)M\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là $3{{a}^{2}}$ và chiều cao bằng $2a$. Thể tích của khối chóp bằng
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $C{C}'=2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC=a\sqrt{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
Hình nón có đường sinh l=2a và bán kính đáy bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng bao nhiêu?
Cho hình trụ có bán kính đáy $r=5\left( \text{cm} \right)$ và khoảng cách giữa hai đáy bằng $7\left( \text{cm} \right)$. Diện tích xung quanh của hình trụ là
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( 1;1;-3 \right), B\left( 3;-1;1 \right)$. Gọi M là trung điểm của AB, đoạn OM có độ dài bằng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z-2=0$. Tính bán kính r của mặt cầu.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( 1;1;4 \right)$, $B\left( 2;7;9 \right)$, $C\left( 0;9;13 \right)$.
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm là
Cho hs $f\left( x \right)$ có đạo hàm \({f}\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2-x \right).
Tập nghiệm của bất phương trình ${{16}^{x}}-{{5.4}^{x}}+4\ge 0$ là:
Đổi biến $x=4\sin t$ của tích phân $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{8}}{\sqrt{16-{{x}^{2}}}}dx$ ta được:
Cho số phức $z=a+bi$, với $a,\,\,b$ là các số thực thỏa mãn $a+bi+2i\left( a-bi \right)+4=i$, với i là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $\omega =1+z+{{z}^{2}}$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( 1;1;2 \right),\,\,B\left( 3;0;1 \right)$ và có tâm thuộc trục Ox. Phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ là:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2\,;\,-1\,;\,0 \right), B\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right), C\left( 3\,;\,-2\,;\,0 \right)$ và $D\left( 1\,;\,1\,;\,-3 \right)$. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình là
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|$ có 5 điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ 0;\,2018 \right]$ để bất phương trình: $m+{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}}\ge \sqrt[4]{{{\text{e}}^{2x}}+1}$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Cho M là tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$. Tính giá trị của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$.
Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}'$ và $B{B}'$. Đường thẳng CM cắt đường thẳng ${C}'{A}'$ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng ${C}'{B}'$ tại Q. Thể tích khối đa diện lồi ${A}'MP{B}'NQ$ bằng
Cho Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+1$ và đường thẳng d:y=mx+2 với m là tham số. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và d là nhỏ nhất. Hỏi ${{m}_{0}}$ nằm trong khoảng nào?
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng và hai điểm $A\left( \,1;\,0\, & ;\,-1 \right), B\left( 2\,;\,1\, & ;\,1 \right)$. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Cho hai số thực a>1,b>1. Biết phươg trình ${{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$.
Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\frac{{{x}^{2}}}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ ($O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4$ & \(\left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \r
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+11=0$ . Xét điểm M di động trên $\left( P \right)$ , các điểm A,B,C phân biệt di động trên $\left( S \right)$ sao cho AM,BM,CM là các tiếp tuyến của $\left( S \right)$ . Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây ?
Ông Phú làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu tôn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với $\left( P \right):x+y+z-7=0$ và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là:
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị ${f}'(x)$ như hình vẽ sau
Có bao nhiêu số tự nhiên a sao cho tồn tại số thực $x$ thoả${{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2020$
Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ bên. Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+2$, $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\frac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ và $\left( C \right)$ nhận đường thẳng \)d:x={{x}_{2}}\) làm trục đối xứng. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}}$ là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số $\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}$gần kết quả nào nhất
Cho hai số phức $u,\,v$ thỏa mãn $\left| u \right|=\left| v \right|=10$ & $\left| 3u-4v \right|=50$.