DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021 Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) để bất phương trình \(\left[ {\left( {m – 1} \right){4^x} – \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right]\left( { – x + {4^{1 – x}}} \right) \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {0;1} \right)\)? A. \(1011\). B. \(2021\). C. \(2022\). D. \(1\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Xét hàm số: \(f\left( x \right) = – x + {4^{1 – x}} \Rightarrow f’\left( x \right) = – 1 – {4^{1 – x}}.\ln 4 < 0\,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó: \(\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right) \ge f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\) hay \(4 \ge – x + {4^{1 – x}} > 0\). Bất phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {m – 1} \right){4^x} – \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1 \le 0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\). Biến đổi BPT về dạng \(m \le \frac{{{4^{2x}} – {4^x} + 2}}{{{4^x}\left( {{4^x} + 2} \right)}}\,,\,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Đặt \(t = {4^x}\). Với \(x \in \left[ {0\,;1} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left[ {1\,;4} \right)\). Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{{t^2} + 2t}}\), với \(t \in \left[ {1\,;4} \right)\)\( \Rightarrow g’\left( t \right) = \frac{{3{t^2} – 4t – 4}}{{{{\left( {{t^2} + 2t} \right)}^2}}}\). Cho \(g’\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – \frac{2}{3} \notin \left[ {1\,;4} \right)\end{array} \right.\). Ta có bảng biến thiên sau: Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\). Vì \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) nên có giá trị \(m = 0\) thỏa mãn.
(Sở Bắc Giang 2022) Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có đúng 9 số nguyên \(y\) thỏa mãn \(\left( {{2^{y + 1}} – {x^2}} \right)\left( {{3^y} – x} \right) < 0\) ?
A. \(64.\) B. \(67.\) C. 128. D. 53. Lời giải: THl: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} > 0}\\{{3^y} – x < 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_2}{x^2} – 1 < y < {{\log }_3}x} \right.\) (1). Điều kiện cần \({\log _2}{x^2} – 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x – 1 < \log \) Vì \(x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x = 1.\) Thử lại \(x = 1\) loại. TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} < 0}\\{{3^y} – x > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_3}x < y < {{\log }_2}{x^2} – 1(2)} \right.\) Để có đúng 9 số nguyên \(y\) ta phải có \(y – 1 \le {\log _3}x < y < y + 1 < \ldots < y + 8 < {\log _2}{x^2} – 1 \le y + 9\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{y – 1}} \le x < {3^y}}\\{{2^{\frac{{y + 9}}{2}}} < x \le {2^{\frac{{y + 10}}{2}}}.}\end{array}} \right.\) Hệ trên vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y – 1}}}\\{{3^y} \le {2^{\frac{{y + 9}}{2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 6,06 \ldots }\\{y \le 4,14 \ldots .}\end{array}} \right.} \right.\). Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.\). Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán \( + y \in \{ 5;6; \ldots ;13\} \) nghĩa là \(4 \le {\log _3}x < 5;6; \ldots ;13 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 14\), ta được \(x \in \{ 129; \ldots 181\} \) có 53 số nguyên. \( + y \in \{ 6; \ldots ;14\} \) nghĩa là \(5 \le {\log _3}x < 6;7; \ldots ;14 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 15\), ta được \(x \in \{ 243; \ldots 256\} \) có 14 số nguyên. ====================
giúp em với ạ em vảm ơn Ngoài ra em xem thêm tại Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022 Reactions: Timeless time Phương trình \({4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\) có nghiệm là: Tổng các nghiệm của phương trình \({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\) Tìm nghiệm của phương trình \({9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\) Giải phương trình \({4^x} = {8^{x - 1}}\) Tìm tập nghiệm S của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272$ Giải phương trình \(\sqrt {{3^x} + 6} = {3^x}\) có tập nghiệm bằng: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?
Phương pháp giải: Hàm số [y = a{x^4} + b{x^2} + c,,left[ {a ne 0} right]] không có điểm cực đại khi và chỉ khi [left{ begin{array}{l}a > 0\b > 0end{array} right.]. Giải chi tiết: TH1: [m = 0], hàm số trở thành [y = 2019{x^2} - 1] là parabol có bề lõm hướng lên, do đó có 1 điểm cực tiểu [thỏa mãn]. TH2: [m ne 0]. Hàm bậc bốn trùng phương [y = a{x^4} + b{x^2} + c,,left[ {a ne 0} right]] không có điểm cực đại, tức là chỉ có 1 điểm cực trị thì [ab > 0], mà điểm cực trị đó lại là cực tiểu [ Rightarrow a > 0]. Do đó [left{ begin{array}{l}a > 0\b > 0end{array} right.]. [ Rightarrow left{ begin{array}{l}m > 0\2019 - m > 0end{array} right. Leftrightarrow 0 < m < 2019]. Kết hợp 2 TH ta có: [0 le m < 2019]. Mà [m in mathbb{Z} Rightarrow m in left{ {0;1;2;...;2018} right}]. Vậy có 2019 giá trị nguyên của [m] thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023 Lời giải của GV Vungoi.vn Ta có: \[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4.4^{{x^2} - 2x}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\end{array}\] Đặt \[t = {2^{{x^2} - 2x}}\]. Ta có: \[{x^2} - 2x = {\left[ {x - 1} \right]^2} - 1 \ge - 1\] \[ \Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}\]. Khi đó phương trình trở thành \[4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0\,\,\,\left[ * \right]\] với \[t \ge \dfrac{1}{2}\]. Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [*] phải có 2 nghiệm \[t\] phân biệt thỏa mãn \[t > \dfrac{1}{2}\]. \[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 1\\\left[ {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right]\left[ {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right] \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4\left[ {3m - 2} \right] > 0\\m > 0\\\dfrac{{3m - 2}}{4} - \dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 > 0\\m > 0\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\end{array}\] Kết hợp điều kiện đề bài ta có \[m \in \left[ {2;2020} \right]\]. Vậy có \[2020 - 3 + 1 = 2018\] giá trị của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giá trị của $x$ thỏa mãn \[{\log _{\frac{1}{2}}}[3 - x] = 2\] là Giải phương trình $\log_{3}\left[ {2x-1} \right] = 2$ , ta có nghiệm là: Giải phương trình $\log_{4}\left[ {x-1} \right] = 3$ Giải phương trình \[{\log _4}[x + 1] + {\log _4}[x - 3] = 3\] Biết \[a,\,\,b\] là các số thực sao cho \[{x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\], đồng thời \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương thỏa mãn \[\log \left[ {x + y} \right] = z\] và \[\log \left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = z + 1\]. Giá trị của \[\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\] thuộc khoảng: Câu hỏi: 472. Có bao nhiêu số nguyên \[a \in \left[ { – 2021;2021} \right]\] sao cho tồn tại duy nhất số thực \[x\] thỏa mãn \[{\log _{\sqrt 3 }}\left[ {x + 3} \right] = {\log _3}\left[ {ax} \right]?\] A. \[2020\]. B. \[2021\]. C. \[2022\]. D. \[2023\]. Lời giải Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\ax > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\ax > 0\end{array} \right..\] Xét hàm số \[g[x] = \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{x} \Rightarrow g'[x] = \frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2}}}\] \[g'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\\x = – 3\end{array} \right.\] Ta có bảng biến thiên như sau: Từ bảng biến thiên ta suy ra \[\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a = 12\end{array} \right. \Rightarrow a = – 2021,…, – 1,12.\] Vậy có 2022 giá trị a thỏa mãn. ======= |
