\(\left\{ \begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\\\,\,\,\,\,t\,\,\,\, = f(x) + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\\f(x)\, = {t^3} – m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(t) + {t^3} = f(x)\,\, + {x^3}(*)\\f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^3} – m\end{array} \right.\). Vì \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m,\,f'(x) = 5{x^4} + 9{x^2} \ge 0,\forall x \in \)\(\mathbb{R}\) nên hàm số \(h(x) = f(x) + {x^3}\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó: \((*) \Leftrightarrow x = t\). Khi đó ta được: \(f(x) = {x^3} – m = {x^5} + 3{x^3} – 4m \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m \Leftrightarrow g(x) = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3} = m(**)\). Dễ thấy \(g(x) = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3}\) đồng biến trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) nên phương trình (**) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\) khi và chỉ khi: \(g(1) \le m \le g(2) \Leftrightarrow 1 \le m \le 16.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) sao cho phương trình (2fleft( {sin x - cos x} right) = m - 1) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng (left( { - frac{pi }{4};frac{{3pi }}{4}} right))?/p 1">  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)? A. \(13.\) B. \(12.\) C. \(11.\) D. \(21.\) LỜI GIẢI CHI TIẾT Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\). adsense Với \(x \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow x – \frac{\pi }{4} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó phương trình đã cho trở thành \(2f\left( t \right) = m – 1\) \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\).\(\) Với mỗi giá trị của \({t_0} \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\) có duy nhất một giá trị \({x_0} \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) sao cho \({t_0} = \sqrt 2 \sin \left( {{x_0} – \frac{\pi }{4}} \right)\). Do đó phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\)có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1); B(3;-1;1); C(-1;-1;1). Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S2,S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1,S2,S3 |
