Đồ thị hàm số y = f(x 2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu)

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 [nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu] nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'[x], ta có các nhận xét sau:

• f'[x] đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f[x].

• f'[x] không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f[x].

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Từ đồ thị hàm số f'[x] ta thấy f'[x] cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương [và 1 điểm có hoành độ âm]

Suy ra: f[x] có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [ gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0].

Suy ra: f[|x + m|] có 5 điểm cực trị với mọi m [vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số].

Chú ý: Đồ thị hàm số f[|x + m|] có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f[|x| + m] có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Từ đồ thị f'[x] ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f[x]

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f[x + m] có 2 điểm cực trị dương [vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f[|x| + m] có đúng 5 điểm cực trị].

Từ bảng biến thiên của f[x] suy ra f[x + m] luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f[x] [sang trái hoặc sang phải] phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 [1]

Gọi A[0;4], B[-√m; -m4 + 4], C[-√m; -m4 + 4]

SABC = 1/2.d[A;BC].BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có: ; BC = 2√m

và nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x] – x nên:

g'[x] = f'[x] – 1 = [x + 1].[x - 1]2.[x - 2].

g' = 0 ⇔ [x + 1].[x - 1]2.[x - 2] = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = -f'[3 - x] = [[3 - x]2 - 1][4 - [3 - x]] = [2 - x][4 - x][x + 1];

g'[x] = 0 ⇔ [2 - x][4 - x][x + 1] = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g[x] đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x2] nên g'[x] = 2xf'[x2] = 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2

g'[x] = 0 ⇔ 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1[là hai nghiệm đơn] và x = 0 [là các nghiệm bội lẻ] nên hàm số g[x] có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g[x] = f[x2] có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x] = 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g[x] có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g'[x] = 2f''[x].f'[x] - 2f'[x].f''[x] - 2f[x].f'''[x] = -2f[x].f'''[x];

g'[x] = 0 ⇔ f[x].f'''[x] = 0 ⇔ x[x - 1]2[x + 4]3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = [f'[x]]2 + f[x].f''[x] = 15x4 + 12x

g'[x] = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: f'[x] = 0 ⇔ [x + 1]4[x - 2]5[x + 3]3 = 0

Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f[x] có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị [cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

* Ta có: f'[x] = 0 khi [x - 1].[x - 2]4.[x2 - 4] = 0

* Do f'[x] đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f[x] có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|]].

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có f'[x] =0 khi và chỉ khi: x.[x + 2]4.[x2 + 4] = 0

* Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f[x] có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f[|x|] có 1 điểm cực trị [cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f[|x|] nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f[x] có 2 điểm cực trị dương. [*]

Xét:

Do đó [*] xảy ra khi [1] có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'[x] = 0

Để hàm số g[x] có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f[x] có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, [1] có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'[x] = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị âm [x = -3, x = -1]. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f[x] không có cực trị. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị thì hàm số f[x] phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Xét f'[x] = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình [1] có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình [1] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Xét f'[x] = 0 ⇔ [x - 1]2[x2 - 2x] = 0

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m] = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'[x] = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình [1], [2] đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. [*]

Xét đồ thị [C] của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 [như hình vẽ].

Khi đó [*] xảy ra khi d1, d2 cắt [C] tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g'[x] = f'[x] - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có g'[x] = [-2x + 3].f'[x2 + 3x]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Dựa vào đồ thị ta có:

g'[x] = 2f'[x].f[x]; g'[x] = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g[x] có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy f[x] đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'[x] = f'[x].f'[f[x]];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a [a > 2]

• Phương trình [2] có một nghiệm x = b [b > a]

Vậy phương trình g'[x] = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = f'[x][2f[x].ln2 - 3f[x].ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt [vì đồ thị hàm số y = f[x] có 3 điểm cực trị].

• f[x] ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình [2] vô nghiệm.

Vậy hàm số g[x]= 2f[x] – 3f[x] có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'[2] = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét g[x] = 2f[x] + 3 nên g'[x] = 2.f'[x]

g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g[x]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g[x] có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g[x] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h[x] = |2f[x] – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Đồ thị hàm số g[x] = f[|x - 2|] + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f[x] như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g[x] bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f[x] là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x2 + 1] nên g'[x] = 2x.f'[x2 + 1]

Vậy g'[x] = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g[x] có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.