Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích

1. Phương trình tích và cách giải

Phương trình tích có dạng: \(A(x).B(x) = 0\)

Để giải phương trình này ta áp dụng công thức:

\(A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0\) hoặc \(B(x) = 0\)

Ví dụ: \(\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 1\end{array} \right.\)

2. Cách giải các phương trình đưa được về dạng phương trình tích.

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát \(A(x).B(x) = 0\) bằng cách: 

- Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằng 0.

- Rút gọn rồi phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích rồi kết luận.

Trong toán học, phương trình có chứa tích là kiến thức rất quan trọng mà bất cứ học sinh nào cũng phải biết. Do đó, thông qua bài viết sau đây, Toppy sẽ giới thiệu đến các bạn đọc khái niệm phương trình tích cùng với cách giải đối với loại phương trình này.

Khái niệm về phương trình tích

Phương trình có chứa tích bao gồm 2 vế, 1 vế là tích của các đa thức, vế còn lại sẽ bằng 0. Phương trình tích được viết dưới dạng tổng quát là f1(x)f2(x)f3(x)…fn(x) = 0.

Trong đó, fi(x) là những hàm số có chứa ẩn x. Hợp của các tập nghiệm của những phương trình fi(x) với x= 1,2… cũng sẽ là nghiệm của phương trình có chứa tích đó.

Phương trình tích lớp 8 là những kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải nắm được để giải nhiều bài tập phức tạp khác. Do đó, việc tìm hiểu cách giải đối với toán 8 phương trình tích là vô cùng quan trọng.

Phương trình tích là gì?

Quy trình giải phương trình tích

Để giải phương trình tích, các bạn cần phải thực hiện theo 2 bước cơ bản.

Bước 1

Bước đầu tiên trong cách giải là phải đưa phương trình được cho trong đề bài về dưới dạng tổng quát.

Dạng tổng quát của phương trình có chứa tích là dạng A(x).B(x) = 0, được đưa về bằng phương pháp sau đây:

• Chuyển tất cả những hạng tử từ vế phải sang vế trái, vế phải sẽ bằng không.
• Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành các nhân tử.

Bước 2

Đây là bước tìm nghiệm cho loại phương trình này. Phương pháp tìm nghiệm sẽ tùy thuộc vào đơn thức. Để tìm nghiệm, bạn hoàn toàn có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau.

Khi A(x).B(x) = 0 thì A(x) = 0 hoặc B (x) = 0.

2 bước để giải phương trình

>> Xem thêm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cách giải phương trình tích

Như Toppy đã đề cập ở phần bên trên, phương trình tích có nhiều phương pháp giải khác nhau, tùy thuộc vào các đơn thức mà bạn có thể lựa chọn cách giải phù hợp. Trước tiên, cần phải đưa nhân tử về vế trái, bạn cần nắm rõ những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để có thể làm tốt bước này.

Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp đặt nhân tử chung là phương pháp cơ bản nhất khi phân tích đa thức thành nhân tử. Bạn cần phải thực hiện 3 bước để phân tích đa thức thành nhân tử:

• Bước 1: Biến đổi đa thức A(x) theo dạng A(x) = C(x).A1(x), biến đổi đa thức B(x) theo dạng B(x) = C(x).B1(x).
• Bước 2: Sau khi biến đổi các đa thức, phương trình sẽ có dạng A(x)+B(x) = C(x).[A1(x)+B1(x)].
• Bước 3: Giải lần lượt từng phương trình riêng lẻ C(x) = 0 và A1(x)+B1(x) = 0.

Phương pháp hằng đẳng thức đáng nhớ

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là những kiến thức vô cùng quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán học, đây cũng là phương pháp thường được sử dụng khi phân tích đa thức thành nhân tử. Sau đây là các hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản mà học sinh cần phải nắm rõ.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bên cạnh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản trên, các bạn còn cần phải lưu ý những hằng đẳng thức sau:

• a4 – b4 = (a2 + b2).(a – b).(a + b)
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3.(a + b).(b + c).(c + a)
• (a + b).(b + c).(c + a) = (a + b+ c).(ab + bc + ca) – abc

Phương pháp tách để xuất hiện nhân tử chung

Để sử dụng tốt phương pháp tách, các bạn cần phải nắm được định lý quan trọng sau đây:

Khi một phương trình f(x) = 0 có nghiệm là x = a thì f(x) còn có thể được viết dưới dạng là f(x) = (x – a).g(x).

Do đó, khi bạn nhẩm được nghiệm nguyên của phương trình tích thì bạn hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp tách để làm xuất hiện nhân tử (x – a).

Với bài toán có dạng A(x) + B(x) + C(x) = 0, chúng ta có thể thực hiện theo cách sau:

Tách C(x) = C1(x) + C2(x) để A(x) + C1(x) và B(x) + C2(x) có xuất hiện nhân tử chung.

Phương pháp thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung

Tương tự như phương pháp tách, đối với phương pháp thêm bớt, chúng ta có thể nhẩm trước nghiệm nguyên a và sau đó tìm cách để xuất hiện nhân tử chung (x – a).

Với bài toán A(x) + B (x) = 0, các bạn thêm đại lượng C(x) vào A(x) và bớt đi đại lượng C(x) ở B(x) sao cho 2 tổng A(x) + C(x) và B(x) – C(x) có xuất hiện nhân tử chung.

Điều quan trọng mà các bạn cần lưu ý là cần phải nhẩm được trước nghiệm nguyên của phương trình tích, sau đó sẽ tìm được phương pháp tách hoặc phương pháp thêm bớt hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung, sau đó tiến hành giải phương trình chứa tích theo đúng quy trình.

Bài viết trên của Toppy đã phân tích chi tiết những kiến thức liên quan đến phương trình tích cũng như cách giải đối với loại bài tập này. Để tìm hiểu thêm về các phương trình Toán học khác, hãy truy cập ngay vào trang web https://toppy.vn/ các bạn nhé.

 Tìm hiểu thêm: 

Cách giải phương trình đưa về phương trình bậc nhất – Toán 8

Để giải các bài toán dạng phương trình đưa về phương trình bậc nhất trong chương trình Toán lớp 8 ta cần thực hiện qua 5 bước.

– Bước 1 : Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế
– Bước 2: Bỏ ngoặc bằng cách nhân đa thức; hoặc dùng quy tắc dấu ngoặc.
– Bước 3: Chuyển vế: Chuyển các hạng tử chứa ẩn qua vế trái; các hạng tử tự do qua vế phải. (Chú ý: Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)
– Bước 4: Thu gọn bằng cách cộng trừ các hạng tử đồng dạng
– Bước 5: Chia hai vế cho hệ số của ẩn
Ví dụ: Giải phương trình$ \displaystyle \frac{x+2}{2}-\frac{2x+1}{6}=\frac{5}{3}$
Giải:
Nhận xét: Mẫu chung là 6
$ \displaystyle \frac{x+2}{2}-\frac{2x+1}{6}=\frac{5}{3}$
⇔ $ \displaystyle 3(x+2)-(2x+1)=5.2$
⇔ $ \displaystyle 6x+6-2x-1=10$
⇔ $ \displaystyle 4x=5$
⇔ $ \displaystyle x=\frac{5}{4}$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là$ \displaystyle x=\frac{5}{4}$.

• Phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Toán lớp 8

• Đề cương ôn tập HK1 Toán 8 THCS Quỳnh Mai – Hà Nội

• Cách biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức – Đại số 8

• Cách giải phương trình tích – Toán lớp 8

• Cách giải các dạng phương trình Toán lớp 8

• Chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức luôn đúng

• Chuyên đề Hình thang, Hình thang cân – Hình học 8