08:30:4408/04/2022
Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.
» Đừng bỏ lỡ: Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m cực hay
A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn (tức b = 2b') ta có thể tính biệt thức Δ' để giải biện luận phương trình.
Δ' = b'2 - ac
Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m
Xét các trường hợp của hệ số a:
+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.
+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính biệt thức delta (hoặc Δ')
- Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số
- Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
» xem thêm: Tổng hợp cách dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét cực hay
B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:
x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0 (*)
* Lời giải:
Để ý phương trình (*) có các hệ số: a = 1; b = 2(3m - 1) và c = 9m2 - 6m - 8
Vì vậy ta tính biệt số Δ', ta có:
Δ' = b'2 - ac = (3m - 1)2 - 1.(9m2 - 6m - 8)
= 9m2 - 6m + 1 - 9m2 + 6m + 8
= 9 > 0
Suy ra:
Nên sao có 2 nghiệm phân biệt:
→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt (*) luông có 2 nghiệm phân biệt.
* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:
3x2 - mx + m2 = 0
* Lời giải:
Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m2
Tính biệt thức delta:
Δ = b2 - 4ac = (-m)2 - 4.3.m2 = m2 - 12m2 = -11m2 ≤ 0 (với mọi m)
+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m2 = 0 ⇔ m = 0
Phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 = 0
+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m2 < 0 ⇔ m ≠ 0
Phươn trình (*) vô nghiệm.
→ Kết luận: Với m = 0 pt (*) có nghiệm kép x = 0
Với m ≠ 0 pt (*) vô nghiệm
* Bài tập 3: Cho phương trình mx2 - 2(m - 1)x + (m + 1) = 0 (*) với m là tham số.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm.
* Lời giải:
a) Với m = -2, pt (*) trở thành: -2x2 - 2(-2 - 1)x + (-2 + 1) = 0
⇔ -2x2 + 6x - 1 = 0
⇔ 2x2 - 6x + 1 = 0
Tính biệt số delta (các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé):
Δ = b2 - 4ac = (-6)2 - 4(2.1) = 36 - 8 = 28 > 0
Suy ra
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi:
Δ' = b'2 - ac = (m - 1)2 - m(m + 1)
= m2 - 2m + 1 - m2 - m
= -3m + 1
Δ' > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m <1/3
Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm khi chỉ khi:
c) Với m = 0: Pt(*) có dạng pt bậc nhất một ẩn: 2x + 1 = 0.
Khi đó pt có nghiệm duy nhất x = -1/2
Với m ≠ 0: pt(*) là pt bậc 2 một ẩn, có 1 nghiệm khi Δ' = 0
⇔ -3m + 1 = 0 ⇔ m = 1/3
Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi m = 0 hoặc m = 1/3.
* Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau:
(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0 (*)
* Lời giải:
Để ý pt(*) có các hệ số: a = (m - 1); b = (-2m); c = (m + 2)
+ Xét trường hợp a = 0, nghĩa là (m - 1) = 0 tức m = 1, ta có:
pt(*) trở thành: -2x + 3 = 0 ⇒ x = 3/2.
+ Xét trường hợp a ≠ 0 (m - 1 ≠ 0) tức m ≠ 1, ta có:
Δ' = m2 - (m - 1).(m + 2)
= m2 - (m2 + 2m - m - 2)
= m2 - m2 - m + 2
= -m + 2
- Nếu Δ' > 0 ⇔ -m + 2 > 0 ⇔ m < 2 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ' = 0 ⇔ -m + 2 = 0 ⇔ m = 2 thì pt có nghiệp kép:
- Nếu Δ' < 0 ⇔ -m + 2 < 0 ⇔ m > 2 thì pt vô nghiệm
→ Kết luận:
Với m = 1 hoặc m = 2 phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
Với m < 2 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
Với m > 2 phương trình (*) vô nghiệm
* Bài tập 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số k:
a) (k - 1)x2 + 3kx + 2k + 1 = 0
b) kx2 + 2k2x + 1 = 0
* Bài tập 6: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) x2 - 2(m - 4)x + m2 = 0
b) (2m - 7)x2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0
Hy vọng với bài viết Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Bất phương trình quy về bậc haiTam thức bậc haiBất phương trình quy về bậc nhấtGiải và biện luận bpt dạng ax + b Bài tập giải bất phương trình lớp 10Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn
– Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạngf(x) = ax2+ bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a≠ 0.
Bạn đang xem: Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m
* Ví dụ:Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.
a) f(x) = x2– 3x + 2
b) f(x) = x2– 4
c) f(x) = x2(x-2)
° Đáp án:a) và b) là tam thức bậc 2.
1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
* Định lý:Chof(x) = ax2+ bx + c,Δ = b2– 4ac.
– NếuΔ0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số akhi x 1hoặc x > x2; trái dấu với hệ số a khi x12trong đó x1,x2(với x12)là hai nghiệm của f(x).
Cách xét dấu của tam thức bậc 2– Tìm nghiệm của tam thức
– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2+ bx + c > 0(hoặc ≥ 0;
– Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2+ bx + c 2+ bx + c≤ 0;ax2+ bx + c > 0;ax2+ bx + c≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.
* Ví dụ:x2– 2 >0; 2x2+3x – 5 Giải bất phương trình bậc 2
– Giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c 2+ bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a0).
Xem thêm: 910 Là Gì ? Mật Mã Tình Yêu Của Giới Trẻ Hiện Nay Mật Mã Tình Yêu ⇒By Tiếng Trung Chinese
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ: Giải bất phương trình
Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3Dấu của f(x) được cho trong bảng sau
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ làS=(−1;1/3)