1. Hình chóp tứ giác đều là gì?Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông, có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh(đỉnh này đi qua giao điểm hai đường chéo của hình vuông đáy). Một hình chóp tứ giác đều có 5 tính chất là:
2. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều- Diện tích xung quanh của hình chóp đều được tính bằng công thức nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn:
(với p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp) - Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy, ta có công thức:
(với S là diện tích đáy) Hình chóp tứ giác đều Thể tích hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
Trong đó:
3. Một số bài tập về hình chóp tứ giác đều có lời giải
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a và 30 độ.
Giải: Đặt O là tâm của hình vuông ABCD. SO(ABCD) ; SABCD=a2. Dựng OECD , lại có CDSOCD(SEO) Khi đó ta có: ((SCD),(ABCD))=SEO=30 Mặt khác OE=BC2 (đường trung bình trong tam giác) nên OE=a2SO=OE.tan30=a.tan302=a23. Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=a363=a3318
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho: SA1SA=23;SB1SB=12;SC1SC=13 . Các mặt phẳng lần lượt qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng: SD1SD=25. Giải: Ta có: VS.ABC=VS.DBC+VS.ADC=VS.ABD=V2 VS.A1B1C1VS.ABC=SA1SA.SB1SB.SC1SC=19 (1)
VS.A1D1C1VS.ADC=SA1SA.SD1SD.SC1SC=29.SD1SD (2) Cộng vế (1) với vế (2) ta được: VS.A1B1C1D112V=19+29.SD1SD (3) Tương tự: VS.A1D1B1VS.ADB=SA1SA.SD1SD.SB1SB=13.SD1SD (4) VS.B1D1C1VS.BDC=SB1SB.SD1SD.SC1SC=16.SD1SD (5) Cộng vế (4) với vế (5) ta được: VS.A1B1C1D112V=12.SD1SD (6) Từ (3) và (6) ta có: 12.SD1SD=19+29.SD1SDSD1SD=25.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và // BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Thể tích của khối chóp S.ABCD? b) Thể tích của khối chóp S.AEMF là? Giải: a, VS.ABCD=13SABCD.SO với SABCD=a2 SOA có: SO=SA.tan60=a62 VS.ABCD=a366 b, Ta có: VS.AEMF=VS.AMF+VS.AME=2VS.AMF VS.ABCD=2VS.ACD=2VS.ABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD SMSC=12 SAC có trọng tâm I, EF // BD nên SISO=SFSD=23VS.AMFVS.ACD=SMSC.SFSD=13 VS.AMF=13VS.AMF=16VS.ACD=a3636 VS.AEMF=2a3636=a3618
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) là d(AB,(SCD))=? Giải: - Lấy 2 điểm I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. - Lấy O là tâm của hình vuông ABCD. +) Ta thấy S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Mặt khác: AB = SA = 2a. Vậy nên độ dài tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng 2a. SO(ABCD) IM // AD, IMCD Ta có: IMCD ; SOCD CD(SIM) +) Vẽ IH ⊥ SM tại H (H ∈ SM) => IH ⊥ (SCD). d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH SSIM=12IH.SM=12SO.IMIH.SM=SO.IM IH=SO.IMSM SCD đều cạnh 2a SM=2a32=a3 và: OM=12IM=aSO=SM2-OM2=a2 Vậy d(AB,(SCD))=SO.IMSM=a2.2aa3=2a63 Trên đây là các công thức và bài tập trực quan về hình chóp tứ giác đều. Nhớ theo dõi studytienganh để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích các bạn nhé! |