KHOẢNG CÁCHBạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.95 MB, 36 trang ) Câu 1: [1H3-5-4] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có S N M J A G D K H I P O B C Dựng MK / / SH , KI HO, KJ MI KJ HMN . Chứng minh được SBC / / d G; d S ; d A; 2d K ; 2 KJ . 1 a 3 a 3 SH a 3 Tính được KI . , MK . 4 2 8 2 4 Suy ra KJ KI .KM KI KM 2 2 a 15 a 15 a 15 . Vậy d G; 2KJ 2. . 20 20 10 Câu 2: [1H3-5-4] (Lương Văn Chánh - Phú Yên 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 Biết AB 5 , AC 7 , BC 8 tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBC . A. d d 35 39 . 52 B. d 35 39 . 13 35 13 . 26 Lời giải C. d 35 13 . 52 D. Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Ta có SAH SBH SCH 30 (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA , SHB , SHC bằng nhau. Suy ra HA HB HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Áp dụng công thức Hê-rông ta có SABC 10 3. Mặt khác SABC abc 7 3 7 3 . R HB 4R 3 3 Xét tam giác vuông SHB : SH HB tan 30 HB 14 7 . , SB cos 30 3 3 1 70 3 Suy ra VS . ABC SH .SABC . 3 9 Áp dụng công thức Hê-rông ta có SSBC Do đó VA.SBC 8 13 . 3 70 3 3 1 3VS . ABC 9 35 39 . d .S SBC d 3 SSBC 52 8 13 3 Câu 3: [1H3-5-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a , AD 2a . Mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH a . A. . 73 a. 73 B. 2 73 a. 73 C. 19 a. 19 D. 2 19 a 19 Lời giải Chọn C S H D A K B C Trong tam giác SAD vuông tại A và đường cao AH , ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2a 2 nên SA . AH 2 SA2 AD 2 SA AH 2 AD 2 a 2 4a 2 4a 2 3 SD SA2 AD 2 AD 2 DH .SD 4a 2 4a . 4a 2 3 3 DH AD 2 3 . SD SD 2 4 Kẻ HK SC với K CD , suy ra Khi đó HK DK DH 3 CK 1 . SC DC DS 4 DK 3 SC AHK 1 d AH ; SC d SC ; AHK d C ; AHK d D; AHK . 3 Ta có AC a 5 , SC a Ta cũng có DK 19 3 a 57 , nên HK SC . 3 4 4 3 3a a 73 DC nên AK AD 2 DK 2 . 4 4 4 nên cos HAK SAHK Cũng từ SADK AH AK HK 2 AH . AK 2 2 2 73a 2 57 a 2 16 16 4 sin HAK 57 . a 73 73 73 2.a. 4 a2 1 1 a 73 57 57 2 AH . AK .sin HAK .a. . a . 2 2 4 8 73 DH 3 3 3 2a a 3 . d H ; ABCD SA . SD 4 4 4 3 2 1 1 3a 3a 2 AD.DK .2a. . 2 2 4 4 1 1 3a 2 a 3 a3 3 Do đó VDAHK SADK .d H ; ABCD . . . 3 3 4 2 8 Bởi vậy 3V d D; AHK DAHK SAHK 3. a3 3 8 3a 3 3a 19 . 19 57 2 57 a 8 1 a 19 Vậy d AH ; SC d D; AHK . 3 19 Câu 4: [1H3-5-4] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB 1 , AC 2 , AA 3 và BAC 120 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh BB , CC sao cho BM 3BM ; CN 2CN . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ABN . A. 9 138 184 B. 3 138 46 C. Lời giải Chọn A 9 3 16 46 D. 9 138 46 A' E C' B' H N M A C B Ta có BC 2 AB 2 AC 2 2. AB. AC cos BAC 12 22 2.1.2.cos120 7 . Suy ra BC 7 . 2 Ta cũng có cos ABC cos ABC 2 AB 2 BC 2 AC 2 12 7 22 , suy ra 2. AB.BC 2.1. 7 7 2 . 7 Gọi D BN BC , suy ra DC C N 1 3 3 7 , nên DB BC . DB BB 3 2 2 Từ đó, ta có 2 3 7 3 7 2 43 AD 2 AB2 BD 2 2. AB.BD.cos ABD 12 2 2.1. 2 . 7 4 . Hay AD 43 . 2 Kẻ BE AD và BH BE , suy ra BH ABN , do đó d B; ABN BH . Từ cos ABC 2 3 . sin ABC 7 7 1 1 3 7 3 3 3 Do đó S ABD . AB.BD.sin ABD .1. . . 2 2 2 4 7 BE 2S ABD AD 2. 3 3 4 3 3. 43 43 2 1 1 1 1 1 46 BH BH 2 BE 2 BB2 3 3 2 32 27 43 27 . 46 Từ BM 3BM suy ra d M ; ABN 3 3 3 27 9 138 d B; ABN .BH . . 4 4 4 46 184 Câu 5: [1H3-5-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN. A. 3 3 730 B. 3 3 370 3 370 C. D. 3 730 Lời giải Chọn B S A D H N A D I J N I B J B M E C - Vì hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA ABCD SBA 60 là góc giữa SB và mặt phẳng đáy SA AB.tan 60 3 3 . - Trong mặt phẳng ABCD dựng NE // DM cắt BC tại E , cắt AC tại J . Gọi I là giao điểm của DM và AC . M E C Ta có: DM // NE DM // SNE d DM ; SN d DM ; SNE d I ; SNE . Do NE // DM CJ CE CN 2 1 IJ IC . CI CM CD 3 3 Lại có : BC // AD Mặt khác : 1 IC CM 1 1 1 IC IA IJ IA IJ AJ 9 IA AD 3 10 3 d I ; SNE d A; SNE 1 IJ 1 d I ; SNE d A; SNE . 10 AJ 10 - Xét tam giác DAN và tam giác CDM có: DA CD , DN CM , ADN DCM 90 DAN CDM (c.g.c) DAN CDM DAN ADM CDM ADM 90 AN DM AN NE NE SAN SNE SAN (có giao tuyến là SN ). - Dựng AH SN tại H AH SNE AH d A; SNE . - Ta có : SA 3 3 , AN AD2 DN 2 10 . 1 1 1 1 1 37 3 30 AH AH 2 SA2 AN 2 27 10 270 37 d DM ; SN 1 3 3 . AH 10 370 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng 2 2 . Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD và M là trung điểm AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và CM bằng 3 2 2 2 . B. . C. . D. 2 5 5 14 10 Câu 6: [1H3-5-4] A. . Lời giải Chọn B A M G D B J H I N K C Gọi N là trung điểm CD , khi đó G là trung điểm MN và AG đi qua trọng tâm H của tam giác BCD . Ta có AH BCD và AH AB2 BH 2 2 2 2 2 2 6 4 3 3 3 . Ta có: GH 1 3 . AH 4 3 Gọi K là trung điểm CN thì GK //CM nên CM // BGK . Do đó: d BG; CM d C; BGK d N ; BGK Kẻ HI BK , HJ GI I BK , với 3 d H ; BGK . 2 J GI . HJ d H ; BGK . Ta có BK BN 2 NK 2 6 Ta có HI BH .sin KBN BH . 2 2 2 26 . 2 2 2 KN 2 6 2 2 6 . . BK 3 26 3 13 2 Khi đó HJ BGK và Do đó: HJ HI .HG HI 2 HG 2 Vậy d BG; CM 2 6 3 . 3 13 3 2 2 6 3 3 13 3 2 2 2 . 3 7 3 3 2 3 2 2 d H ; BGK HJ . . 2 2 2 3 7 14 Câu 7: [1H3-5-4] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và ABCD A. bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 . 2 B. 3a . 2 C. a . 2 D. 3a . 4 Lời giải Chọn D Ta có SAD ABCD , SAD ABCD AD ; trong mp SAD , kẻ SH AD thì SH ABCD Mặt khác Gọi I là trung điểm OA , vì tam giác ASO cân tại S nên AO SI , AO SH HI OA DC 1 Tam giác ADC vuông tại D có AC AD 2 DC 2 2a và tan DAC AD 3 DAC 30 AI 2a 3 a 3 . HD cos30 3 3 2a vuông tại A có HB AH 2 AB 2 , AB 2 IB.HB 3 Tam giác AHI vuông tại I có AH Tam giác ABH a 3 2 Trong mặt phẳng IB ABCD , dựng hình bình hành ABEC thì BE // AC , BE SBE AC // SBE d SB, AC d AC , SBE d I , SBE IB 3 3 nên d I , SBE d H , SBE HB 4 4 Lại có tam giác OAB là tam giác đều cạnh a nên BI AC BI BE , BE SH BE SBH Mà SBE SBH và SBE SBH SB Trong mặt phẳng SBH , kẻ HK SB thì HK SBE HK d H , SBE 1 1 1 HK a . 2 2 HK SH HB 2 3 3a Vậy d H , SBE HK a và d I , SBE d H , SBE . 4 4 Tam giác SBH vuông tại H có Câu 8: [1H3-5-4] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng SAB và ABCD A. 21a . 14 bằng 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng B. 21a . 7 Lời giải C. 3 7a . 14 Chọn C Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , M là trung điểm AB D. 3 7a . 7 Ta có tam giác ABD là tam giác đều DM a 3 và BD a 2 HK BH BH 1 a 3 HK DM . DM DM BD BD 3 6 SAB ABCD AB , AB HK , AB SK (định lí ba đường vuông góc) Kẻ HK AB HK // DM SAB , ABCD SKH Tam giác SHK vuông tại H có SH HK .tan 60 Gọi N là giao điểm của HK và CD HN CD Ta có CD SHN ; SH CD SHN SCD SN a . 2 CD SCD SCD SHN và Trong mặt phẳng SHN kẻ HI SN thì HI SCD HI d H , SCD Tam giác SHN vuông tại H có 1 1 1 2 a , với HN DM HI 2 SH 2 HN 2 3 3 a 7 7 BD 3 3 d B, SCD d H , SCD Lại có HD 2 2 HI Vậy d B, SCD a 7 . 14 Câu 9: [1H3-5-4] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB AC 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết SH a , khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là A. 2a . 3 B. 4a . 3 C. Lời giải a 3 . 2 D. a 3 . 3 Chọn đáp án A Dựng Ax //BC d SA, BC d B; SAx Dựng HK Ax SHK Ax Dựng HE SK d B, SAx 2d H , SAx Ta có: HK AH sin HAK a sin 56 d H , SAx HE SH .HK SH HK 2 2 a 2 a 3 2a Do đó d SA, BC 3 Câu 10: [1H3-5-4] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD 3HB . Biết góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là A. 3a 34 . 17 B. 2a 13 . 3 C. 2a 38 . 17 Lời giải 2a 51 . 13 D. Chọn đáp án A Dựng HK CD CD SHK do vậy SCD, ABCD SKH 45 . Ta có: HKD vuông cân tại K do vậy HK KD 3a 3a SH HK tan 45 . 2 2 Dựng Ax//BD ta có: d SA, BD d BD, SAx d H , SAx Dựng HE Ax HE OA a 2 Dựng HF SE HF SAx Ta có: HF SH .HE SH HE 2 2 3a 34 17 Câu 11: [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM . A. 2a . 11 B. 6a . 11 C. Lời giải a . 11 D. 3a . 11 Chọn đáp án A Gọi O là tâm của hình vuông ABCD AO BD BD SAO . Do đó SBD , ABCD SOA 60 SA a 2 6 . Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD tại E . Khi đó BM // SCE d BM , SC d M , SCE Mà ME 2 2 AE d M , SCE d A, SCE 3 3 Kẻ AH CE tại H suy ra CE SAH và AH .CE CD.AE . Commented [A1]: MATHTYE Kẻ AK SH tại K suy ra AK SCE d A, SCE AK . Mà AH 1 1 1 3a 3a 2 AK nên . 2 2 AK AH SA 5 11 Do đó d BM , SC 2 3a 2a 3 11 11 Câu 12: [1H3-5-4] Cho hình chóp đều S. ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng a 21 . Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi 7 M , N lần lượt là trung điểm của AB, SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN . đáy ABC bằng A. 9a 3 . 42 B. 3a 3 . 42 C. Lời giải 6a 3 . 42 D. 12a 3 . 42 Chọn đáp án A Gọi H là tâm của tam giác ABC , I là trung điểm của BC . Suy ra SBC , ABC SI , AI SIA 60 . Đặt AB x HI 1 x 3 x AI SH tan 60.HI 3 6 2 x a 21 2a 21 3a 2 3 . x SABC 2 7 7 7 Gọi P là trung điểm của AC suy ra NP / / SA SA / / MNP . d SA, MN d SA, MNP d A, MNP 3VA.MNP d N , ABC SAMP SMNP 3VA.MNP . SMNP 9a3 7 392 1 1 a 21 a a 2 21 . MP.NP . . 2 2 7 2 28 Do đó d A, MNP 9a 3 9a 3 d SA, MN 42 42 Câu 13: [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AD 2 AB 2BC , CD 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD . Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng SBM bằng A. 4a 10 . 15 B. 3a 10 . 5 C. a 10 . 5 D. 3a 10 . 15 Lời giải Chọn đáp án A Gọi E là trung điểm của AD ta có CE AB ED . Có CD 2a 2 CE ED 2a Do vậy AD 4a; BD 2a . Gọi N là trung điểm của AB suy ra MN 3a, S MAB 1 NM . AB 3a 2 2 MA AN 2 NM 2 a 10 MB . Gọi L là trung điểm của DE ta có LA 3a và L là trung điểm của AP . Khi đó LP 3a EP 4a; PA 6a. d A, SBM d E , SBM 6 3 3 , d E , SBM d G, SMB 4 2 2 4 4 4 3a 10 4a 10 Do đó d G, SBM d A, SMB AF . 9 9 9 5 15 Câu 14: [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a 2 , AB a 2 , BC 2a . Gọi M là trung điểm của CD . Hai mặt phẳng SBD và SAM cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAM bằng A. 4a 10 . 15 B. 3a 10 . 5 C. Lời giải Chọn đáp án C 2a 10 . 5 D. 3a 10 . 5 Gọi H AM BD . SBD ABC SH ABC Ta có: SAM ABC Lại có HB AB 1 2 d D, SAM d B, SAM HD DM 2 S ADM 1 1 a2 S ADC S ABCD . 2 4 2 Ta có: S ADM 1 2 AD.DM sin D sin D D 45 2 2 Do vậy AM AD2 DM 2 2 AD.DM cos 45 Do vậy DK 10 a 2 2S ADM 2a a 10 . AM 5 10 Câu 15: [1H3-5-4] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AC . Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM 2 HB . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SHC bằng A. 2a 7 . 14 B. a 7 . 14 C. Lời giải 3a 7 . 14 D. 2a 7 . 7 Chọn đáp án D d A, SCH 2d M , SHC . Dựng MK CH Khi đó d A, SCH 2MK Mặt khác BM a 3 2 a 3 a MH BM ; MC 2 3 3 2 Suy ra MK MH .MC MH MC 2 2 a 2a 7 do đó d 2MK 7 7 Câu 16: [1H3-5-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho hình chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB 1cm , AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông góc tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng khoảng cách từ C tới SAB A. 5 cm . 2 B. 5 cm . 4 C. Hướng dẫn giải Chọn C 3 cm . 2 5 5 cm3 . Tính 6 D. 1cm . Xét tam giác ABC vuông tại A : BC AB 2 AC 2 1 3 2 4 5 5 5 Vmc R 3 . R 3 6 2 Gọi I , J , M , N lần lượt là trung điểm SA , AC , AB , BC . Do tam giác SAB , SAC lần lượt vuông góc tại B và C nên IS IA IB IC . Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và IB 5 2 Và IN vuông góc với ABC (do N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Ta có: MN AB IMN AB IMN IAB IN AB Trong IMN : Dựng NH IM NH IAB d N ; IAB NH d N ; SAB MN 1 1 3 AC ; IN IB 2 BN 2 2 2 2 Ta có 16 1 4 1 1 3 4 NH 3 NH 2 MN 2 IN 2 3 4 Lại có: CN SAB B dC ; SAB d N ; SAB BC 3 2 dC ; SAB . BN 2 Câu 17: [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD . A. a 3 B. 2a 3 C. 4a 3 D. 5a 3 Lời giải Chọn A S H A D N M O I B C Chứng minh DB (SAC) Hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO, góc giữa SD và (SAC) là DSO = 30 . Đặt DO = x, ta có SO = x 3 (O là giao điểm AC và BD) Từ SO 2 AO 2 SA2 x a 2 Gọi N là trung điểm AB DN // BM. Suy ra d(D;(SBM)) = d(N;(SBM)) = 1 d(A;(SBM)) 2 Kẻ AI BM, AH SM. Từ đó chứng minh được AH (SBM) d(A;(SBM)) = AH. Trong (ABCD): SABC SABCD S BCM Mà S ABM Khi đó a2 2 1 2a AI .BM AI 2 5 1 1 1 2a a 2 2 AH d ( D;( SBM )) 2 AH AI SA 3 3 Câu 18: [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 3 . Gọi I là hình chiếu của A lên SC . Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD tại B, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD . Tính khoảng cách từ E đến (SBD). A. 3a 21 11 B. a 21 9 C. 3a 21 7 D. a 21 7 Lời giải Chọn C S I H D A F Q O B P C E Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Qua A dựng AH SO. Dễ dàng chứng minh được AH BD. Khi đó AH = d(A;(SBD)). Trong tam giác vuông SAC, ta có: CI .SC AC 2 IC AC 2 AC 2 AB 2 BC 2 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SC SC SA AC SA ( AB BC ) 2a 3a 2 5 CBS có IP//SB IP CP CI CP 2 SB CB CS CB 5 Áp dụng định lý Talet: PE BP 3 BE BC CP 3 CQ PC 2 CQ PC 2 Mà AB = CD = CQ + QP = CQ + BE = 5 BE. 3 Do tam giác AEF vuông tại A nên: S AEF 1 1 1 32 32a 2 2 AE. AF AE 2 AB BE AB 2 (đvdt) 2 2 2 25 25 DA 5 3 d E , SBD d A, SBD DE 3 5 Tam giác SAO vuông tại A , khi đó Vậy d E , SBD Câu 19: 1 1 1 3a 2 2 AH 2 2 2 AH SA AO 7 3a 21 . 7 [1H3-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. ABC BAD 90o , BA BC a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD A. 5a . 3 B. 4a . 3 C. 2a . 3 D. a . 3 Hướng dẫn giải: Chọn D S H A B I D C Gọi I là trung điểm AD . Ta có: CI IA ID AD , suy ra ACD vuông tại C 2 CD AC . Mà SA ABCD SA CD nên ta có CD SD hay SCD vuông tại D .Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ B , H đến mặt phẳng SCD Ta có: SAB SHA SH SA2 2 SB SB 2 3 SA SB SH SA Mà SH d 2 2 2 d 2 d1 . 3 SB d1 3 Thể tích khối tứ diện S.BCD : 1 1 2a 3 (PB : SAI) VS .BCD SA. AB.BC 3 2 6 Ta có SC SA2 AC 2 2a, CD CI 2 ID 2 2a S SCD Ta có: VS . BCD 1 d1 .S SCD d1 3 3. 1 SC.CD 2a 2 2 2a 3 6 a. 2 2a 2 Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD là d 2 2 a d1 . 3 3 Câu 20: [1H3-5-4] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 3a, AD DC a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng SBC . A. a 17 . 5 B. a 15 . 20 C. Hướng dẫn giải Chọn B a 6 . 19 D. a 3 . 15 Vẽ IK BC BC SIK SKI là góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy nên SKI 600. Vì SIDC 1 a2 3a 2 DI .DC , SIAB 2 4 4 2 Suy ra SBIC S ABCD SICD SIAB a . Mặt khác BC và S IAB AB CD 2 AD 2 a 5 1 2a 5 IK .BC . Suy ra IK 2 5 Trong tam giác vuông SIK ta có SI IK .tan 600 2a 15 . 5 Gọi M là trung điểm của SD , tính d M , SBC . Gọi E là giao điểm của AD với BC , ta có Do đó d M , SBC 1 d D, SBC 2 ED EA DC AB 1 3 ED 1 AD 2 ID . 1 d I , SBC 4 Gọi H là hình chiếu của I lên SK ta có d I , SBC IH . Trong tam giác vuông SIK , ta có: 1 IH 2 1 SI 2 1 IK 2 Vậy d M , SBC 5 12a 2 5 4a 2 5 3a 2 IH a 15 . 5 a 15 . Vậy chọn đáp án B. 20 0 Câu 21: [1H3-5-4] Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB a, AC 2a, BAC 120 . Gọi M là trung điểm cạnh CC ' thì BMA ' 900 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BMA ' . A. a 5 7 B. a 7 7 C. Hướng dẫn giải Chọn D a 5 5 D. a 5 3 Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC ta có: BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos BAC BC 2 a 2 4a 2 2a.2a.cos1200 7a 2 BC a 7 Đặt CC ' 2x .Ta có: A ' M A ' C '2 C ' M 2 4a 2 x 2 BM BC 2 CM 2 7a 2 x 2 A ' B A ' B '2 BB '2 a 2 4 x 2 Tam giác BMA là tam giác vuông tại M nên MB2 MA '2 A ' B 2 Do đó 4a 2 x 2 7a 2 x 2 a 2 4 x 2 x 2 5a 2 x a 5 CC '/ /( ABB ' A ') VA. A ' BM VMAA' B VCAA'B VA '. ABC d ( A, ( A ' BM )) VA'. ABC 3VA. A' BM S A' BM 1 1 1 15 3 AA '.S ABC .2 x. . AB. AC.sin1200 a 3 3 2 3 1 s A ' BM .MA '.MB 3 3a 2 2 d ( A,( A ' BM )) 15a3 5 a 2 3 3 3a Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABM) là a 5 3 |
