Lịch sử ra đối của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG VAI TRÒ CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Ba năm học cao học tại trường Đại học Sư Phạm TP HCM trôi qua thật là nhanh. Khóa học này đã để lại cho em nhiều kỉ niệm vui buồn cùng các bạn lớp Cao học LL&PPDH Toán K19 của trường ĐHSP TPHCM. Trong quá trình hoàn thành luận văn này em đã gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, được sự dạy bảo và giúp đỡ của quý thầy cô thuộc chuyên ngành didactic như: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các bạn lớp LL&PPDH Toán K19, đặc biệt là giáo viên hướng dẫn, cô TS.Vũ Như Thư Hương, đã giúp em vượt qua những khó khăn này. Qua khóa học này, bên cạnh việc học hỏi về kiến thức didactic bản thân em cũng được học hỏi rất nhiều về phong cách làm việc nghiêm túc, không mệt mỏi và sự gần gũi học viên của cô TS. Vũ Như Thư Hương. Điều này chính là nguồn động lực để giúp em hoàn thành luận văn này và cố gắng hơn nữa trong vai trò là một người giáo viên. Bên cạnh đó em cũng xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã đóng góp ý kiến và gợi mở những hướng nghiên cứu để em có thể làm tốt luận văn của mình. Người đã tạo mọi điều kiện về vật chất, thời gian cũng như tinh thần cho em trong toàn khóa học này là cô Nguyễn Thị Hiền, hiệu trưởng trường THPT Y Jut, huyện Cư Kuin, tỉnh Đăk Lăk - là ngôi trường hiện em đang công tác. Em xin gởi lời cảm ơn cô. Cuối cùng con xin cảm ơn ba mẹ và gia đình đã luôn bên con trong những lúc con thất bại cũng như lúc con thành công trong cuộc sống. Mặc dù đã cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng vẫn không tránh khỏi sai xót. Kính mong quý thầy cô, bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Nguyễn Thị Bích Phượng MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT DANH MỤC VIẾT TẮT CỦA CÁC CUỐN SÁCH MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và các câu hỏi xuất phát ......................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu ......................................... 2 3. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 2 4. Tổ chức luận văn ................................................................................................. 3 Chương 1: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ..............................4 1.1. Một số kết quả nghiên cứu liên quan đến phương pháp tọa độ .....................4 1.1.1. Bản chất của các phương pháp nghiên cứu hình sơ cấp ...........................4 1.1.2. Những con đường trình bày hình học ở trường phổ thông .......................6 1.1.3. Mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ ..................7 1.2. Một số kết quả nghiên cứu liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng ..8 1.2.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm phép biến hình ...............8 1.2.2. Đặc trưng của phép biến hình ...................................................................9 1.2.3. Phép biến hình trong mặt phẳng ở mức độ tri thức khoa học ...................9 1.2.3.1 Phép dời hình trong mặt phẳng..........................................................10 1.2.3.2 Phép đồng dạng trong mặt phẳng ......................................................17 1.3. Kết luận chương 1 ........................................................................................24 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG PHÉP BIẾN HÌNH......................................................................................................26 2.1. Phép biến hình và phương pháp tọa độ ở giai đoạn CLHN .........................26 Phép biến hình và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở giai đoạn hiện 2.2. hành 31 2.2.1. “Phép biến hình” và phương pháp tọa độ ở THCS.................................31 2.2.2. Phép biến hình và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở THPT .........33 Kết luận chương 2 ........................................................................................52 2.3. Chương 3: THỰC NGHIỆM .................................................................................55 Thực nghiệm thứ nhất ..................................................................................55 3.1. 3.1.1. Giới thiệu thực nghiệm ...........................................................................55 3.1.2. Phân tích tiên nghiệm .............................................................................57 3.1.2.1 Phân tích tiên nghiệm bài toán 1a......................................................57 3.1.2.2 Phân tích tiên nghiệm bài toán 1b .....................................................62 3.1.2.3 Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 .......................................................66 3.1.3. Phân tích hậu nghiệm..............................................................................69 3.1.3.1 Đối với giáo viên ...............................................................................70 3.1.3.2 Đối với học sinh.................................................................................78 3.1.4. Kết luận thực nghiệm 1 ...........................................................................85 Thực nghiệm thứ hai ....................................................................................86 3.2. 3.2.1. Mục đích của thực nghiệm......................................................................86 3.2.2. Nội dung của thực nghiệm ......................................................................89 3.2.2.1 Giới thiệu thực nghiệm ......................................................................89 3.2.2.2 Chuẩn bị .............................................................................................89 3.2.2.3 Phân tích tiên nghiệm ........................................................................96 3.2.2.4 Phân tích hậu nghiệm ......................................................................102 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Tên đầy đủ PBH Phép biến hình PPTĐ Phương pháp tọa độ CLHN Chỉnh lí hợp nhất THPT Trung học phổ thông THCS Trung học cơ sở SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên CB Cơ bản NC Nâng cao ĐS Đại số HH Hình học DANH MỤC VIẾT TẮT CỦA CÁC CUỐN SÁCH [A]: Sách “Các phép biến hình trong mặt phẳng” của tác giả Nguyễn Mộng Hy. [B]: Sách “Phương pháp dạy – học hình học ở trường Trung học phổ thông” của tác giả Lê Thị Hoài Châu - 1- MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và các câu hỏi xuất phát Từ năm học 2000 – 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ SGK gọi là bộ SGK CLHN thay thế cho ba bộ SGK đã được sử dụng từ năm 1990 ở ba miền. Từ năm học 2005 - 2006, bộ SGK CLHN lại được thay thế bằng hai bộ SGK, một bộ được viết theo chương trình chuẩn và một bộ được viết theo chương trình nâng cao. Chúng tôi nhận thấy có một sự khác biệt giữa SGK toán ở giai đoạn CLHN và giai đoạn hiện hành đó là thứ tự trình bày nội dung phương pháp tọa độ và phép biến hình trong mặt phẳng, cụ thể như sau: Giai đoạn CLHN Lớp 10 - Vectơ - Vectơ - Phép biến hình - Phương pháp tọa độ phẳng Lớp 11 Lớp 12 Giai đoạn hiện hành - Phép biến hình - Phương pháp tọa độ trong mặt - Phương pháp tọa độ trong phẳng và trong không gian. không gian. Như vậy thứ tự của ba nội dung: vectơ, phép biến hình (PBH) và phương pháp tọa độ (PPTĐ) trong mặt phẳng ở hai giai đoạn là: Giai đoạn CLHN: Vectơ  PBH  PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian. Giai đoạn hiện hành: Vectơ  PPTĐ (phương trình đường)  PBH. Như vậy ở giai đoạn CLHN, phương pháp tọa độ được trình bày sau nội dung phép biến hình. Đến giai đoạn hiện hành thứ tự này bị đảo ngược, có nghĩa là phương pháp tọa độ được trình bày trước nội dung phép biến hình trong mặt phẳng. - Tại sao phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lại được trình bày trước nội dung phép biến hình trong mặt phẳng? - 2- Sự xuất hiện thêm phương pháp tọa độ bên cạnh vectơ ảnh hưởng như thế nào đến nội dung trình bày phép biến hình? - Phương pháp tọa độ được đưa vào trong chương trình nhằm giải quyết bài toán gì của phép biến hình? - Làm thế nào để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm ảnh của một điểm qua phép quay khi công thức tìm ảnh của một điểm qua phép quay không được trình bày? Những thắc mắc trên đã dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu đề tài: “Vai trò của phương pháp tọa độ đối với phép biến hình trong mặt phẳng”. 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu Để trả lời cho những câu hỏi nên trên, chúng tôi lựa chọn thuyết nhân học trong didactic với những khái niệm như: chuyển hóa sư phạm, mối quan hệ cá nhân, mối quan hệ thể chế…làm công cụ lý thuyết nghiên cứu của mình. Ngoài ra trong việc thiết kế một tiểu đồ án dạy học chúng tôi sẽ chọn lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic làm công cụ lý thuyết tham chiếu. Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở mức độ tri thức khoa học, phương pháp tọa độ đóng vai trò gì đối với hình học nói chung và đối với phép biến hình nói riêng? Ở mức độ này, phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày như thế nào? Biểu thức tọa độ của các phép biến hình có được trình bày hay không? Nếu có thì được trình bày như thế nào? Q2: Phép biến hình ở giai đoạn CLHN và ở giai đoạn hiện hành khác nhau như thế nào về mặt nội dung trình bày (định nghĩa và các tính chất) cũng như các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng? Q3: Biểu thức tọa độ của phép quay và phép vị tự không được trình bày trong chương trình THPT, do đó làm thế nào để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm ảnh của một điểm qua phép quay và phép vị tự? Q4: Có hay không sự tác động của PPTĐ đối với PBH trong mặt phẳng? 3. Phương pháp nghiên cứu - Trước tiên chúng tôi sẽ tóm tắt một số kết quả nghiên cứu về phương pháp tọa độ của tác giả Lê Thị Hoài Châu được trình bày trong [A], sau đó chúng tôi sẽ tiến - 3hành trình bày một số nội dung phép biến hình có sự xuất hiện của phương pháp tọa độ ở mức độ tri thức khoa học cũng như trình bày lại một số kết quả nghiên cứu của các luận văn đã nghiên cứu về những vấn đề liên quan đến phương pháp tọa độ và phép biến hình nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. - Đối với câu hỏi Q2, chúng tôi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế đối với nội dung phép biến hình trong mặt phẳng thông qua việc đi sâu vào phân tích các tổ chức toán học của phép biến hình để thấy được phương pháp tọa độ đóng vai trò gì trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng. Đồng thời trong quá trình phân tích mối quan hệ thể chế đối với nội dung phép biến hình trong mặt phẳng chúng tôi sẽ cố gắng tìm câu trả lời cho câu hỏi Q3 và Q4. Do hạn chế về mặt thời gian nên với hai bộ sách ở giai đoạn hiện hành (chuẩn và nâng cao), chúng tôi chỉ tập trung vào phân tích SGK toán được viết theo chương trình chuẩn. 4. Tổ chức luận văn Luận văn này được trình bày trong 3 chương: - Trong chương 1 chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu liên quan đến phép biến hình và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, lịch sử hình thành và phát triển của phép biến hình, phép biến hình ở mức độ tri thức khoa học, cũng như một số kết quả nghiên cứu của các luận văn thạc sỹ đã nghiên cứu về các vấn đề liên quan đến phương pháp tọa độ và phép biến hình trong mặt phẳng. - Trong chương 2 chúng tôi tiến hành nghiên cứu phương pháp tọa độ trong việc dạy và học nội dung phép biến hình trong mặt phẳng bằng cách phân tích nội dung định nghĩa, tính chất của các phép biến hình, đặc biệt là tập trung phân tích các tổ chức toán học liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng nhằm thấy được sự hoạt động và sự ảnh hưởng của phương pháp tọa độ đối với nội dung kiến thức phép biến hình trong mặt phẳng. Từ đó có thể đưa ra một số giả thuyết nghiên cứu. - Trong chương 3, từ việc xác định được giả thuyết nghiên cứu ở chương 2 chúng tôi sẽ tiến hành xây dựng các thực nghiệm nhằm để chứng minh các giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa ra. - 4- Chương 1: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1. Một số kết quả nghiên cứu liên quan đến phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ là một trong ba phương pháp dùng để nghiên cứu hình học sơ cấp. Ba phương pháp đó là: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ và phương pháp vectơ. Để nghiên cứu vai trò của phương pháp tọa độ đối với phép biến hình trong mặt phẳng chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đi sâu vào tìm hiểu bản chất của phương pháp tọa độ, cũng như mối quan hệ của nó đối với các phương pháp khác. Trong cuốn “Phương pháp dạy – học hình học ở trường Trung học phổ thông”, chúng tôi kí hiệu cuốn sách này là [A], tác giả Lê Thị Hoài Châu có trình bày về bản chất của từng phương pháp cũng như chỉ ra các con đường trình bày hình học ở trường phổ thông. Do đó những nội dung trình bày sau đây chúng tôi sẽ tóm tắt từ cuốn sách này. 1.1.1. Bản chất của các phương pháp nghiên cứu hình sơ cấp * Phương pháp tổng hợp Là phương pháp xây dựng hình học nhờ vào một hệ tiên đề mà ở đó không thể hiện ý đồ đại số hóa hình học. Đối tượng nghiên cứu của hình học sơ cấp là các hình hình học được mô tả qua định nghĩa. Trong phương pháp tổng hợp, các hình được biểu diễn bằng những hình vẽ và được nghiên cứu bằng phương pháp suy diễn. Những hình vẽ này cho phép người ta tìm ra lời giải cho bài toán. Tuy nhiên, có những hình vẽ không thể biểu diễn hết tất cả các trường hợp của một hình hình học dẫn đến việc người ta lúng túng không biết giải bài toán đó như thế nào. Do đó, đứng trước một bài toán mới cần phải tìm ra một phương pháp mới vì không có một phương pháp giải tổng quát nào. Đây chính là mặt hạn chế của phương pháp tổng hợp. * Phương pháp giải tích - 5Quá trình giải các bài toán về những đường parabol, hyperbol, elip, đường xoáy ốc, đường hình tim…hay các bài toán về các mặt paraboloit, hyperboloit… gặp nhiều khó khăn, vì thế họ mong muốn tìm một phương pháp giải tổng quát hơn mà không phụ thuộc vào hình vẽ cũng như không phải suy đoán phức tạp nhưng vẫn có thể nhìn ra hướng giải. Trong phương pháp đại số từ những dữ kiện của bài toán, ta xác định ẩn, lập phương trình đường thì có thể thấy ngay hướng giải. Như vậy trong đại số có một phương pháp tổng quát cho phép giải các bài toán thuộc nhiều dạng khác nhau. Trong hình học, liệu có thể lập phương trình đại số mà có thể tìm một phương pháp giải tổng quát không? Câu hỏi này dẫn Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đến với phương pháp giải tích. Trong phương pháp giải tích, với một hệ tọa độ ta thay thế các đối tượng và các quan hệ hình học bằng những đối tượng và quan hệ đại số, sau đó dịch các tính chất hình học thành các tính chất đại số và quy bài toán hình học về bài toán đại số. Như vậy từ việc giải bài toán hình học dẫn đến việc giải một hay nhiều phương trình. Lời giải này do không phụ thuộc vào hình vẽ nên có khả năng khái quát cao. * Phương pháp vectơ Nhờ các công cụ và kỹ thuật của đại số, phương pháp giải tích cho phép khắc phục những yếu điểm của phương pháp tổng hợp. Tuy nhiên, trong phương pháp giải tích do đã chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số nên người ta hoàn toàn thoát ly khỏi phạm vi hình học, do đó mà không còn tận dụng được các yếu tố trực quan trong quá trình tìm ra lời giải. Lời giải bằng phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi những biến đổi đại số hình thức nên làm cái nghĩa hình học của bài toán bị che lấp. Leibniz (1646 – 1716) là người khởi xướng ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn nằm trong phạm vi hình học. Với phương pháp vectơ người ta vừa có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học vừa tận dụng được các công cụ đại số vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm ra lời giải. “Như vậy, ta thấy phương pháp giải tích và phương pháp vectơ có cùng một đặc trưng là đại số hóa hình học để tận dụng các kỹ thuật của đại số trong nghiên cứu hình học nhưng thể hiện hai quan điểm khác nhau.” (Lê Thị Hoài Châu, 2008) - 6Bằng cách đặt vectơ vào hệ tọa độ, người ta có thể chuyển các phép toán trên vectơ thành các phép toán trên số.“Chúng ta gọi phương pháp vectơ – tạo độ là cách nghiên cứu hình học với công cụ vectơ đã được gắn vào hệ tọa độ”([A], tr.60). Nó cho phép thiết lập mối liên thông giữa phương pháp giải tích và phương pháp vectơ. Qua việc tìm hiểu bản chất, khái niệm và quá trình hình thành các phương pháp nghiên cứu hình học sơ cấp ở trên ta thấy rằng việc giải toán bằng phương pháp tọa độ có những ưu điểm và những khuyết điểm như sau: + Ưu điểm: Lời giải của bài toán mang tính khái quát cao vì nó không phụ thuộc vào hình vẽ và dễ dàng tìm ra hướng giải cho bài toán. + Nhược điểm: Vì lời giải chỉ đòi hỏi những biến đổi đại số hình thức nên nghĩa hình học của bài toán bị che lấp. “Để khắc phục được nhược điểm này thì ta phải chú ý đến sự kết hợp giữa ngôn ngữ hình thức với nội dung vì nếu không chú trọng các biểu thức hình thức thì học sinh thiếu kiến thức và kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ, nhưng nếu không chú ý mặt ngữ nghĩa của nội dung thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức đại số hóa.” (Lê Thị Hoài Châu, 2008) 1.1.2. Những con đường trình bày hình học ở trường phổ thông Theo luận văn “Nghiên cứu didactic toán về mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ” (kí hiệu là [C]) của tác giả Võ Hoàng, trang 3 thì ở THPT tồn tại 3 con đường trình bày hình học như sau:  Phương pháp tổng hợpPhương pháp vectơPhương pháp giải tíchĐại số hóa hình học.  Phương pháp tổng hợpPhương pháp giải tíchPhương pháp vectơĐại số hóa hình học.  Phương pháp tổng hợpPhương pháp vectơ Phương pháp giải tích Đại số hóa hình học. Cả ba con đường trên đều dẫn đến đích cuối cùng là đại số hoá hình học. - 7“Tuy nhiên về phương diện sư phạm thì bắt đầu bằng phương pháp vectơ hay phương pháp tọa độ sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho việc học tập” ([C], Lê Thị Hoài Châu, 1997). Con đường mà Việt nam lựa chọn là: Phương pháp tổng hợp  Phương pháp vectơ  Phương pháp giải tíchĐại số hóa hình học. 1.1.3. Mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Trong [C], tác giả Võ Hoàng đã kết luận rằng: “…trong thể chế dạy học hình học ở Việt nam, phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ đã được đưa vào giảng dạy. Tuy nhiên, phương pháp vectơ thường chỉ xuất hiện với vai trò công cụ, để xây dựng các kiến thức tiếp theo trong phần lí thuyết của hình học lớp 10 cũng như các kiến thức của phương pháp tọa độ trong hình học 12….nghiên cứu này cũng cho chúng tôi thấy được mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12” Tác giả cũng đã chứng minh được giả thuyết nghiên cứu là: “Phương pháp tọa độ lấn án phương pháp vectơ đến mức học sinh không huy động được các kiến thức vectơ để giải toán, ngay cả khi gặp các bài toán mà phương pháp tọa độ “đắt giá” hơn nhiều so với phương pháp vectơ”. Kết luận: - Thuật ngữ “phương pháp tọa độ” được sử dụng nhằm để chỉ chung cho phương pháp giải tích và phương pháp vectơ – tọa độ. Từ đó thấy được mối liên hệ giữa phương pháp tọa độ và phương pháp vectơ. - Có ba con đường trình bày hình học ở phổ thông, tuy nhiên con đường mà Việt nam lựa chọn đó là: Phương pháp tổng hợpPhương pháp vectơPhương pháp giải tíchĐại số hóa hình học. Với con đường đi này thì phương pháp giải tích đóng vai trò trung gian trong việc chuyển tiếp từ phương pháp vectơ sang đại số hoá hình học. - Bên cạnh ưu điểm của phương pháp tọa độ đó là lời giải mang tính khái quát cao thì phương pháp này cũng có nhược điểm là khi giải bài toán bằng phương pháp tọa độ thì nghĩa của hình bị mất đi. - 8Để trả lời cho câu hỏi Q1, ở mức độ trị thức khoa học phương pháp tộ độ đóng vai trò gì đối phép biến hình trong mặt phẳng, chúng tôi sẽ tiến hành xem xét định nghĩa và một số tính chất của phép biến hình ở mức độ này, cũng như tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến các kiểu nhiệm vụ của các phép biến hình trong mặt phẳng nhằm thấy được sự xuất hiện của phương pháp tọa độ như thế nào cũng như vai trò của nó ra sao đối với phép biến hình trong mặt phẳng. 1.2. Một số kết quả nghiên cứu liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng 1.2.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm phép biến hình Trong luận văn thạc sĩ “Quan điểm véctơ trong dạy học phép biến hình ở trường trung học phổ thông”, tác giả Hoàng Trọng Vĩnh đã chia lịch sử hình thành và phát triển của phép biến hình thành bốn giai đoạn: Giai đoạn 1: Phép biến hình xuất hiện ngầm ẩn trong khái niệm “hình bằng nhau”. Giai đoạn 2: Phép biến hình – Công cụ nghiên cứu các đường conic. Giai đoạn 3: Phép biến hình – Đối tượng nghiên cứu của toán học. Giai đoạn 4: Phép biến hình – Phương pháp cơ bản để nghiên cứu hình học. Từ việc phân tích lịch sử ở trên, tác giả đã giới thiệu bốn cấp độ khác nhau trong việc hiểu phép biến hình trong mặt phẳng: Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc hai phần của một hình. Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng hay tổng quát hơn từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là tập hợp điểm. Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học. Cấp độ 4: Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được dùng để phân loại các lý thuyết hình học. Hai cấp độ đầu tiên, các phép biến hình gắn liền với hai quan niệm về hình: hình được xem xét trong tổng thể và hình được xem là tập hợp điểm. Cấp độ 1 gắn với quan niệm hình và cấp độ 2 gắn với quan niệm điểm. - 9Tác giả Hoàng Trọng Vĩnh đã chứng minh được giả thuyết nghiên cứu rằng: “Với cách trình bày dựa vào biểu thức tọa độ và véctơ, phép biến hình đã được hình thành ở học sinh với nghĩa là một ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm”. 1.2.2. Đặc trưng của phép biến hình Trong [A], tác giả Lê Thị Hoài Châu đã chia lịch sử hình thành và phát triển của phép biến hình trong mặt phẳng thành 2 giai đoạn: Giai đoạn 1: Phép biến hình gắn liền với liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc hai phần của một hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt). Giai đoạn 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó mà ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm (đặc trưng hàm xuất hiện). Việc chuyển từ việc xem xét hình trong tổng thể sang xem hình như một tập điểm là một sự thay đổi quan niệm không dễ đến. Để giảm bớt sự khó khăn này, tác giả Lê Thị Hoài Châu có nhận xét: “Khó khăn ấy có thể giảm bớt nếu trước khi bước vào cấp độ sau của tiến trình dạy học phép biến hình học sinh đã tiếp xúc với hình giải tích. Việc hình học giải tích đặt tương ứng mỗi điểm của mặt phẳng (không gian) với một bộ ha (ba) số thực và đặt tương ứng mỗi đường, mỗi mặt với một tập hợp điểm mà các bộ số tương ứng với nó thỏa mãn một phương trình cụ thể sẽ dẫn người ta chuyển một cách tự nhiên sang tư tưởng “điểm hóa” các hình” . ([A], tr.166) 1.2.3. Phép biến hình trong mặt phẳng ở mức độ tri thức khoa học Trong phần này chúng tôi mong muốn tìm hiểu xem ở mức độ tri thức khoa học, phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày ra sao, phương pháp tọa độ đóng vai trò gì trong định nghĩa và tính chất của các phép biến hình cũng như phương pháp tọa độ xuất hiện nhằm giải quyết kiểu nhiệm vụ gì của phép biến hình? Vì tài liệu về phép biến hình trong mặt phẳng ở mức độ tri thức khoa học ở nước ta rất hạn chế nên việc lựa chọn giáo trình để phân tích phép biến hình trong mặt phẳng ở mức độ này cũng rất khó khăn. Chúng tôi nhận thấy một số luận văn thuộc chuyên ngành didactic đã nghiên cứu về phép biến hình như: “Quan điểm - 10 véctơ trong việc dạy học phép biến hình ở trường phổ thông”, “Nghiên cứu didactic phép dời hình ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông”, “Nghiên cứu didactique – Bước chuyển từ việc dạy học phép quay ở trường THCS sang trường THPT” đều sử dụng giáo trình “Các phép biến hình trong mặt phẳng” của tác giả Nguyễn Mộng Hy, chúng tôi kí hiệu giáo trình này là [B]. Bên cạnh đó giáo trình này cũng đang được sử dụng giảng dạy cho sinh viên thuộc chuyên ngành toán hoặc toán – tin ở một số trường đại học sư phạm uy tín như: trường ĐHSP TP HCM, trường ĐH Quy Nhơn, trường ĐHSP Vinh...Do đó, chúng tôi chọn giáo trình này làm tài liệu nhằm để phân tích nội dung phép biến hình trong mặt phẳng ở mức độ tri thức khoa học, bên cạnh đó chúng tôi cũng sử dụng thêm cuốn [A]. Bởi vì nội dung kiến thức phép biến hình trong mặt phẳng ở chương trình toán THPT ở giai đoạn CLHN và giai đoạn hiện hành được trình bày thành hai nhóm: nhóm phép dời hình và nhóm phép đồng dạng, do đó chúng tôi chỉ tập trung phân tích hai nhóm này, còn phép nghịch đảo trong mặt phẳng chúng tôi không quan tâm đến. 1.2.3.1 Phép dời hình trong mặt phẳng Phép dời hình trong mặt phẳng bao gồm các phép biến hình sau: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, và phép quay. Theo Công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01 tháng 9 năm 2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo về việc Hướng dẫn thực hiện điều chỉnh nội dung dạy học môn toán cấp THPT thì phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm không được dạy trong chương trình toán THPT từ năm học 2011. Với khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tôi không thể phân tích vai trò của phương pháp tọa độ đối với tất cả các phép biến hình trong mặt phẳng. Với hai lí do trên, chúng tôi chỉ tập trung phân tích vai trò của phương pháp tọa độ đối với các phép biến hình sau đây: phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự và phép đồng dạng. Bên cạnh đó trong luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu vào tìm hiểu phép biến hình với những nội dung có sự xuất hiện của phương pháp tọa độ nhằm có thể trả lời các câu hỏi: - Phương pháp tọa độ đóng vai trò gì trong định nghĩa và tính chất của các phép biến hình? - 11 - Phương pháp tọa độ xuất hiện nhằm giải quyết kiểu nhiệm vụ gì của phép biến hình? Từ bảng trình bày định nghĩa của một số phép dời hình chúng ta có thể thấy được sự xuất hiện của phương pháp tọa độ. Ngôn ngữ diễn đạt Phép Định nghĩa dời Hình học hình Phép dời Tọa độ Một phép biến hình f: P  P được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh lần lượt của chúng là M’ = f(M), N’ = f(N) hình Vectơ × ta luôn luôn có M’N’ = MN.  Trong mặt phẳng P cho vectơ v , phép biến hình biến   Phép mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' = v gọi là tịnh phép tịnh tiến theo vectơ v và được kí hiệu là Tv .  ×  tiến Vectơ v được gọi là vectơ tịnh tiến. Ta có Tv (M) = M’. Trong mp P đã được định hướng, cho một điểm O cố Phép quay α sai khác k2 π . Một phép quay tâm O với góc quay α là một phép biến định và một góc định hướng × hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M   thành điểm M’ sao cho OM = OM’, (OM , OM ') = α . Bảng 1.1: Định nghĩa của một số phép dời hình Từ bảng trên chúng tôi nhận thấy không có bất cứ phép dời nào được định nghĩa bằng ngôn ngữ tọa độ. Tuy nhiên, cho dù các phép dời hình này được định nghĩa theo ngôn ngữ hình học hay ngôn ngữ vectơ thì việc chứng minh tính chất: phép tịnh tiến và phép quay là phép dời hình đều dựa vào ngôn ngữ vectơ. Tính chất Chứng minh Ngôn ngữ chứng minh Hình Vec Tọa học tơ độ - 12 Phép Giả sử A, B là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và qua phép tịnh tịnh tiến Tv chúng lần lượt biến thành A’, B’. Ta có AA =' BB =' v . tiến là Ta suy ra         một   × AA ' + A ' B = BB ' + A ' B = A ' B ' . Vậy AB = A ' B ' phép   dời hay AB = A ' B ' . Ta có AB = A’B’ và như vậy ta đã chứng minh hình. được phép tịnh tiến là một phép dời hình. α Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và QO là phép quay biến M, N lần lượt thành M’, N’. Nếu M (hay N) trùng với O thì M’ (hay N’) trùng với O, khi đó M’N’= MN. Giả sử M và N đều khác với O, khi đó theo định nghĩa ta có : OM = OM’ ; ON = ON’ ,     = (OM , OM ') (= ON , ON ') α và Phép   quay là một       (OM , ON ) = (OM , OM ') + (OM ', ON ') + (ON ', ON ) =     phép α + (OM ', ON ') − α = (OM ', ON ') . dời Do đó : hình.  2 ×   2  2  2   M ' N ' =(ON ' − OM ') =ON ' + OM ' − 2ON '.OM '  2  2   = ON ' + OM ' − 2ON '.OM '.cos(ON ', OM ')  2  2   = ON ' + OM ' − 2ON '.OM '.cos(ON , OM )    2 2 = (ON − OM ) = MN   Vậy MN = − M ' N ' hay M’N’ = MN và như thế ta đã chứng minh được phép quay là phép dời hình. Bảng 1.2. Tính chất và nội dung chứng minh các các tính chất của các phép dời hình Về mặt thứ tự thì phép dời hình được trình trước tiên, sau đó phép tịnh tiến và phép quay. Điều này chứng tỏ tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày từ cái tổng thể đến cái chi tiết bởi vì phép quay và phép tịnh tiến là phép dời hình. - 13 - Ở mức độ tri thức khoa học biểu thức tọa độ của các phép biến hình có được trình bày hay không? - Nếu có thì được xây dựng như thế nào? Trong [B], tác giả Nguyễn Mộng Hy có giới thiệu một hệ tọa độ afin trên mặt phẳng, tọa độ afin của một điểm, định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ và công thức đổi tọa độ afin. Sau đó tác giả giới thiệu hệ tọa độ Đề-các vuông góc, biểu thức tọa độ của phép dời hình, phép dời hình thuận và phép dời hình nghịch, và dạng lượng giác của phép dời hình. * Hệ tọa độ Đề - các vuông góc.   “Định nghĩa: Hệ tọa độ afin {O; e1 , e2 } trong mặt phẳng là hệ tọa độ Đề-các vuông góc   hoặc hệ tọa độ trực chuẩn nếu e1 , e2 là hai véctơ đơn vị và vuông góc với nhau, tức là     2 2 e= e= 1 và e1.e2 = 0 .” 1 2 ([B], tr.110) Từ định nghĩa trên ta có thể suy ra hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc là trường hợp đặc biệt của hệ trục tọa độ afin, do đó mọi hệ tọa độ Đề-các vuông góc đều có đầy đủ các tính chất của một hệ trục tọa độ afin. Cụ thể: Giả sử đối với hệ Đề-các       vuông góc {O; e1 , e2 }, hai vectơ u , v lần lượt có tọa độ là: u = (x 1 , y1 ) và v = (x 2      , y2 ) thì khi đó ta có: u.v =+ ( x1 e1 y1 e2 ).( x2 e1 + y2 e2 ) = x 1 x 2 + y1 y 2 . {   } “Định lí: Trong mặt phẳng cho hai hệ tọa độ trực chuẩn O; OE1 , OE2 và   {O '; O ' E '1, O ' E '2} . Khi đó có một phép dời hình duy nhất f : P → P’ sao cho f(O) = O’,     f(E 1 ) = E’ 1 , f(E 2 ) = E’ 2 . Ta có = OE1 OE = O= ' E '1 O ' E '2 và như vậy hai tam giác 2 vuông cân bằng nhau là OE 1 E 2 và O’E’ 1 E’ 2 xác định một phép dời hình duy nhất f biến các điểm O, E 1 , E 2 lần lượt thành các điểm O’, E’ 1 , E’ 2 . {   } Hệ quả: Phép dời hình f biến một hệ tọa độ trực chuẩn O; OE1 , OE2 thành một hệ trực {   } chuẩn O '; O ' E '1 , O ' E '2 trong đó O’ = f(O), E’ 1 = f(E 1 ), E’ 2 = f(E 2 ).” ([B], tr.116, 117) - 14 * Biểu thức tọa độ của phép dời hình   Trong mặt phẳng P, với hệ tọa độ Đề-các vuông góc {O; e1 , e2 } cho phép biến hình f: P → P’ và giả sử f biến mỗi điểm M bất kì thành điểm M’. Gọi (x , y) và (x’   , y’) lần lượt là tọa độ của điểm M và M’ đối với hệ tọa độ {O; e1 , e2 } đã cho. Ta hãy tìm sự liên hệ về tọa độ giữa (x , y) và (x’, y’). Nói cách khác ta hãy tìm biểu thức tọa độ của phép dời hình f hay người ta còn gọi là lập phương trình của phép dời hình f đó.     Giả sử OE1 = e1 , OE2 = e2 và O’ = f(O), E’ 1 = f(E 1 ), E’ 2 = f(E 2 ). Phép dời hình f hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của ba điểm O, E 1 , E 2 . Ta có   {O '; O ' E ' , O ' E ' } cũng là mộ hệ tọa độ trực chuẩn. Giả sử đã biết tọa độ điểm 1 2   O’=(x o ,y o ), e '1 = O ' E '1 =   (a , b), e '2 = O ' E '2 = (c , d). Điều đó có nghĩa là:          OO =' xo e1 + yo e2 , e= '1 ae1 + be2 , e= '2 ce1 + d e2 .   Ta đã biết tọa độ điểm M’ đối với hệ tọa độ O '; e '1 , e '2 vẫn là (x , y) còn tọa { }   độ của điểm M’ đối với hệ tọa độ{O; e1 , e2 } là (x’, y’). Vậy ta tìm được sự liên hệ  x ' = ax + cy + xo (I)  y ' = bx + dy + yo giữa (x , y) và (x’, y’) qua công thức đổi tọa độ afin như sau:  (công thức (I) được xây dựng ở phần hệ tọa độ afin của tài liệu [B], trang 115). Kiến thức cơ bản để hình thành nên công thức này là kiến thức về vectơ. Từ việc       biểu diễn OM = xe1 + ye2 , OM =+ OO ' O ' M , sau các bước biến đổi biểu thức theo   e1 , e2 và sử dụng đồng nhất thức từ đó có thể dẫn đến biểu thức (I). Bên cạnh đó biểu thức (I) có thể được viết lại như sau:  x '   a c   x   xo  =  y ' b d   y  +  y  ( I’).       o Trong biểu thức biểu thị cho phép dời hình ở trên, đối với một hệ tọa độ trực   chuẩn ta có tọa độ của vectơ e '1 là (a , b), tọa độ của vectơ e '2 là (c , d) và (x o , yo ) a 2 + b 2 = 1      2 2 2 2 1 (II). Người ta là tọa độ của điểm O’. Vì e= e= 1 , e1.e2 = 0 nên ta có c + d = 1 2 ac + bd = 0 