Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1. Show Như vậy: A.A-1= A-1.A= In 1.3 Nhận xét: 1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C 2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1 3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ. Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải. 4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch. 5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K). 1.4 Các ví dụ: Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:  Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có: 2. Tính chất: 1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1 2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T (Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé) 3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp: 3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp. 3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng. Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm: Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0 Ma trận sơ cấp dạng 1 Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j Ma trận sơ cấp dạng 2 Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j Ma trận sơ cấp dạng 3 3.3 Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương: (Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT) 3.4 Hệ quả: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương: 4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp: Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A Lập ma trận chi khối cấp n x 2n Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc. – Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B – Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán. Ma trận đơn vị cấp 2 là gì?Ma trận đơn vị cỡ 2 là ma trận vuông 2×2 2 × 2 có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không. Ma trận cốt là gì?Trong đại số tuyến tính, một vectơ cột hay ma trận cột là một ma trận cỡ m × 1, tức là ma trận chỉ gồm một cột đơn gồm m phần tử, Tập hợp các vectơ hàng tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian hàng; tương tự, tập hợp các vectơ cột tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian cột. Ma trận vuông khả nghịch khi nào?Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A−1. Ma trận có nghĩa là gì?Trong toán học, ma trận (Tiếng Anh: matrix, số nhiều: matrices) là một mảng chữ nhật, hoặc hình vuông (được gọi là ma trận vuông - số dòng bằng số cột) – các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. |
