Tóm tắt nội dung tài liệu
Page 2
YOMEDIA
Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0 Xét phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+ c = 0 07-10-2011 809 148 Download Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.
Bài tập 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y\dfrac{\partial z}{\partial x}+x\dfrac{\partial z}{\partial y}=x+y \quad (1)$$ Giải. Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y\dfrac{\partial v}{\partial x}+x\dfrac{\partial v}{\partial y}+(x+y)\dfrac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$ Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}=\dfrac{dz}{x+y} \quad (3)$$ Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$. $(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\Rightarrow xdx=ydy \Rightarrow \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{y^2}{2}+C\Rightarrow C_1=x^2-y^2 (C_1=2C)$ Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu. $(3)\Rightarrow \dfrac{dx+dy}{y+x}=\dfrac{dz}{x+y}\left(=\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\right)$. Do tính chất của tỉ lệ thức. Suy ra $d(x+y-z)=0$ hay $C_2=x+y-z$ hay $\phi_2(x,y,z)=x+y-z$ là một tích phân đầu. Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2-y^2,x+y-z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi) Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho bởi dạng hàm ẩn $\phi (x^2-y^2,z+y-z)=0$. Bài tập 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$xy\frac{\partial z}{\partial x}-x^2\frac{\partial z}{\partial y}=yz \quad (1)$$Giải. Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$xy\frac{\partial v}{\partial x}-x^2\frac{\partial v}{\partial y}+yz\frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$ Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{xy}=\frac{dy}{-x^2}=\frac{dz}{yz} \quad (3)$$ Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$. $(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{xy}=\dfrac{dy}{-x^2}\Rightarrow -xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2+y^2$. Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2+y^2$ là một tích phân đầu. $(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{xy}=\dfrac{dz}{yz}\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=\dfrac{dz}{z}\Rightarrow x=C_2z\Rightarrow C_2=\dfrac{x}{z}$. Suy ra $\phi_2 (x,y,z)=\dfrac{x}{z}$ là một tích phân đầu. Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2+y^2,\dfrac{x}{z})$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi). Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\phi (x^2+y^2,\dfrac{x}{z})=0$. Bài tập 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=x-y \quad (1)$$ Giải. Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y\frac{\partial v}{\partial x}+x\frac{\partial v}{\partial y}+(x-y)\frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$ Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{x-y} \quad (3)$$ Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$. $(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2-y^2$. Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu. $(3)\Rightarrow\dfrac{dy-dx}{x-y}=\dfrac{dz}{x-y}\Rightarrow d(x-y+z)=0\Rightarrow C_2=x-y+z$. Suy ra $\phi_2(x,y,z)=x-y+z$ là một tích phân đầu. Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2-y^2,x-y+z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi). Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\phi (x^2-y^2,x-y+z)=0$.
“An introduction to Partial Differential Equations” của Yehuda Pinchover, Jacob Rubinstein và “Giáo trình Phương trình Đạo hàm riêng” của Thầy Nguyễn Thừa Hợp sẽ được tôi dùng làm giáo trình chính để giảng về Lý thuyết Phương trình Đạo hàm riêng cho lớp K51 A2 + A3. Sinh viên K51A2+A3 có thể lấy file sách của Y. Pinchover, J. Rubinstein theo đường link http://www.box.net/shared/dx0jrk7dsc
Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát - Đưa phương trình về dạng chính tắc. - Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát. - Thay a, b bởi x, y ta được phương trình cần tìm. Bạn đang xem tài liệu "Phương trình đạo hàm riêng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: Xét phương trình đặc trưng: và * Nhận dạng phương trình chính tắc: Nếu: thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại hyperbol. thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại ellip. thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại parabol. * Tìm phương trình chính tắc: - Giải phương trình đặc trưng: Trường hợp 1. . Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và . Đặt Trường hợp 2. . Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp . Đặt Trường hợp 3. . Phương trình (*) có nghiệm kép . Đặt và chọn thỏa mãn . - Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc. II. Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát - Đưa phương trình về dạng chính tắc. - Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát. - Thay bởi x, y ta được phương trình cần tìm. Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL I. Bài toán Cauchy Phương trình nghiệm tổng quát như sau: II. Bài toán biên ban đầu Trường hợp 1. , ta có công thức nghiệm: Trong đó: ; Trường hợp 2. , ta có công thức nghiệm: Trong đó: với Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ELLIP I. Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R Bằng cách đổi tọa độ cực ta có công thức nghiệm tổng quát: trong đó: ; ; . II. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật Ta có phương trình nghiệm tổng quát: Giải hệ phương trình để tìm . Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL I. Bài toán Cauchy Ta có công thức nghiệm: II. Bài toán biên ban đầu thứ nhất Trường hợp 1. , ta có phương trình nghiệm tổng quát: Trong đó: Trường hợp 2. , ta có phương trình nghiệm tổng quát: Trong đó: với Tài liệu đính kèm:
|