Phương trình \({x^2} + 2{y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0.\) Show
Phương trình đường tròn có hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) bằng nhau và \({a^2} + {b^2} - c > 0.\) Lời giải chi tiết: +) Xét đáp án A: \({x^2} + 2{y^2} - 4x + 6y - 1 = 0\) không là phương trình đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau. +) Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\) có \(a = 2,\,\,b = 4,\,\,c = 1\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {4^2} - 1 = 19 > 0\) \( \Rightarrow \) đây là phương trình đường tròn. Bài viết Lý thuyết Phương trình đường tròn lớp 10 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Phương trình đường tròn. Lý thuyết Phương trình đường trònBài giảng: Bài 2: Phương trình đường tròn - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack) 1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Quảng cáo Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2 2. Nhận xét +) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 trong đó c = a2 + b2 – R2. +) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R. Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm Mo(xo; yo). Ta có +) Mo(xo; yo) thuộc Δ. +) \= (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ. Do đó Δ có phương trình là (xo – a).(x – xo) + (yo – b).(y – yo) = 0. Quảng cáo Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Bài viết Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính. Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kínhA. Phương pháp giảiQuảng cáo + Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu: a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R = + Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R. B. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là
Lời giải Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 Tương đương: (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a2 + b2 - c > 0. Chọn B. Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là
Lời giải Ta có: x2 + y2 - ax - by + c = 0 (1)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: - c > 0 hay a2 + b2 - 4c > 0 Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? (I) x2 + y2 – 4x + 15y - 12 = 0. (II) x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0. (III) 2x2 + 2y2 - 4x + 6y + 1 = 0 .
Lời giải Ta xét các phương án: (I) có: a2 + b2 - c = 4 + + 12 = \> 0 (II) có: a2 + b2 - c = + - 20 = - < 0 (III) tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0. phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 + - \= \> 0 Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn. Chọn D. Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? (1) Đường tròn (C1) : x2+ y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm I(; - ) bán kính R = 3.
Lời giải Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = \= 3 Vậy (1) đúng Đường tròn ( C2): a = , b = - ⇒ I( ; - ); R = \= 3 Vậy (2) đúng. Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 5. Đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
Lời giải Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0 Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R = Chọn A. Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Lời giải Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm. Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung. Chọn D. Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
Lời giải +Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0 Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4 Vậy B; C đúng. + Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng. + Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai. Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
Lời giải Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R = \= 6 Chọn A. Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
Lời giải Phương trình x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4. Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu: a2 + b2 - c > 0 hay m2 + (-2)2 - 4 > 0 ⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0 Chọn C. Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?
Lời giải Phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có: a = m; b = -2n và c = -4 Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n. ⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n). Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Chọn B. Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
Lời giải Phương trình x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có: a = -1; b = và c = 1 Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0 ⇔ 1 + - 1 > 0 ⇔ \> 0 ⇔ m ≠ 0. Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là: R = Theo đề bài ta có: R = 2 nên \= 2 ⇔ ( thỏa mãn điều kiện ) Chọn A. Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
Lời giải Xét phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 - c > 0 . + Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12 ⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0 ⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn. + Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C. + Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0. Chọn D. Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
Lời giải Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 ⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2 Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + ( 1 - m)2 - 2m2 > 0 ⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0 ⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m < Chọn A. Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
Lời giải Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 có: a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 - c > 0. ⇔ m2 + ( 2m - 4)2 - (6 - m) > 0 ⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0 ⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞) Chọn B. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
Lời giải: Đáp án: D Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0 Ta có: nên tâm I( 2; -1) . Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
Lời giải: Đáp án: C Ta xét các phương án: +Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 +Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9 ⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0 ⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn. + Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13 ⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0 ⇒ loại B. + Phương án C: 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0 Có a = 2; b = 1; c = -3 ⇒a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0 ⇒ Đây là phương trình đường tròn Câu 3: Cho đường cong (C) : x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?
Lời giải: Đáp án: C Ta có a = 4; b = - 5 và c = m. Bán kính đường tròn là: R = Để bán kính đường tròn là 7 thì: \= 7 ⇔ \= 7. ⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8 Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
Lời giải: Đáp án: D Ta có: x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1) ⇔ x2 - 2(m + 1)x + (m + 1)2 + y2 - 2(m + 2)y + (m + 2)2 - (m + 1)2 - (m + 2)2 + 6m + 7 = 0 ⇔ [x - (m + 1)]2 + [y - (m + 2)]2 = 2m2 - 2) Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔ Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
Lời giải: Đáp án: C Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0(1) ⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ (x - m)2 + (y - 2)2 = m2 - 4 Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn: m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2 Câu 6: Cho hai mệnh đề (I) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R. (II) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b). Hỏi mệnh đề nào đúng?
Lời giải: Đáp án: A (I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 - c > 0. Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng? (I) Đường tròn (C1) có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.
Lời giải: Đáp án: C Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = \= 3 Vậy (1) đúng Đường tròn ( C2): a = , b = - ⇒ I( ; - ); R = \= 3 Vậy (2) đúng. Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
Lời giải: Đáp án: D Đường tròn ( C)có: a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R = \= 4. Vậy B; C đúng. Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý). ⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng. Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý). ⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai. Câu 9: Cho đường tròn (C)2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải: Đáp án: B + Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y + \= 0 ⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = Vậy C; D sai. + Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y = Do đó ( C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai + Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y = Do đó ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
Lời giải: Đáp án: C Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0 ⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0 ⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là: R = \= 5 . Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
Lời giải: Đáp án: C Đường tròn có a = 0; b = và c = 0. ⇒ Bán kính đường tròn là : R = \= Câu 12: Đường tròn x2 + y2 + - √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
Lời giải: Đáp án: B Ta có: nên tâm I(- ; 0) . Câu 13: Đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
Lời giải: Đáp án: D Ta có ( C) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x + 2y - \= 0 ⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) . Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
Lời giải: Đáp án: C Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9. Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu: a2 + b2 - c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 - 9 > 0 ⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0 Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?
Lời giải: Đáp án: B Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có: a = 3m; b = -4n và c = -1 Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n. ⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n). Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
Lời giải: Đáp án: B Loại C vì có số hạng -2xy. Phương án A: a = b = , c = 9 ⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn. Phương án D: loại vì có – y2 . Phương án B: a = ,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn. Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?
Lời giải: Đáp án: C Phương trình : x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10 Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi: a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0 ⇔ m2 - 9 > 0 ⇔ ⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10} Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
Lời giải: Đáp án: B Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số: a = m + 1; b = - 2 và c = -1 Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0 ⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0 Vậy với mọi m ( 1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính : R = ⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min ⇔ m + 1 = 0 hay m = -1 Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Thế nào là phương trình của đường tròn?Phương trình đường tròn là một phương trình trong đó các điểm nằm trên đường tròn được xác định bằng cách cho các giá trị của hai biến độc lập là tọa độ của điểm đó vào phương trình. Phương trình đường tròn thường có dạng (x - a)² + (y - b)² = r², với (a,b) là tọa độ của tâm đường tròn và r là bán kính. C trong đường tròn là gì?- Một đường tròn có tâm O và đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn. - Khi đó, OC là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng của đường tròn. - Đường thẳng này cắt đường tròn tại điểm D. Đường tròn ký hiệu là gì?Đường kính có thể được ký hiệu bằng ký hiệu ø. Vì bán kính của hình tròn là một nửa của đường kính (r = d/2), nên ta có thể tính diện tích của hình tròn bằng cách sử dụng công thức S = π * (d/2)^2 = π * (d^2/4). Phương trình tổng quát là gì?Trả lời: Phương trình tổng quát là một phương trình đại số chứa các biến số và hệ số không cụ thể. Nó thể hiện mối quan hệ giữa các biến số mà không đưa ra giá trị cụ thể của chúng. |
