Lý thuyết So sánh phân số Toán 6 Chân trời sáng tạo ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: So sánh $\dfrac{{ - 4}}{5}$ và $\dfrac{{ - 7}}{5}$. Ta có: $ - 4 > - 7$ và $5 > 0$ nên $\dfrac{{ - 4}}{5} > \dfrac{{ - 7}}{5}$. Chú ý: Với hai phân số có cùng một mẫu nguyên âm, ta đưa chúng về hai phân số có cùng mẫu nguyên dương rồi so sánh. Ví dụ: So sánh $\dfrac{{ - 4}}{{ - 5}}$ và $\dfrac{2}{{ - 5}}$ Đưa hai phân số trên về có cùng một mẫu nguyên âm: $\dfrac{4}{5}$ và $\dfrac{{ - 2}}{5}$ Ta có: $4 > - 2$ và $5 > 0$ nên $\dfrac{4}{5} > \dfrac{{ - 2}}{5}$. II. So sánh hai phân số khác mẫuBước 1: Quy đồng mẫu hai phân số đã cho (về cùng một mẫu dương) Bước 2: So sánh tử của các phân số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{{ - 7}}{{12}}$ và $\dfrac{{ - 11}}{{18}}$. $BCNN(12;18) = 36$ nên ta có: $\dfrac{{ - 7}}{{12}} = \dfrac{{ - 7.3}}{{12.3}} = \dfrac{{ - 21}}{{36}}$ $\dfrac{{ - 11}}{{18}} = \dfrac{{ - 11.2}}{{18.2}} = \dfrac{{ - 22}}{{36}}$. Vì $ - 21 > - 22$ nên $\dfrac{{ - 21}}{{36}} > \dfrac{{ - 22}}{{36}}$. Do đó $\dfrac{{ - 7}}{{12}} > \dfrac{{ - 11}}{{18}}$. III. Áp dụng quy tắc so sánh phân sốPhân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn $0$, gọi là phân số dương. Ví dụ: $\dfrac{{ - 3}}{{ - 5}} > 0$ hoặc $\dfrac{4}{5} > 0$ Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn $0$, gọi là phân số âm. Ví dụ : $\dfrac{{ - 3}}{5} < 0$ - Ta còn có các cách so sánh phân số như sau: + Áp dụng tính chất: $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a.d < b.c{\rm{\;}}({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}},{\rm{d}} \in {\rm{Z}};{\rm{b}},{\rm{d\;}} > {\rm{\;0}})$ + Đưa về hai phân số cùng tử dương rồi so sánh mẫu (chỉ áp dụng đối với hai phân số cùng âm hoặc cùng dương) Ví dụ: $\dfrac{4}{{ - 9}} > \dfrac{4}{{ - 7}};$$\dfrac{3}{5} < \dfrac{3}{2}$ + Chọn số thứ ba làm trung gian. Ví dụ: $\dfrac{{ - 4}}{9} < 0 < \dfrac{4}{7}{\kern 1pt}$ suy ra $\dfrac{{ - 4}}{9}<\dfrac{4}{7}$ $\dfrac{{14}}{9} > 1 > \dfrac{4}{7}$ suy ra $\dfrac{{14}}{9}>\dfrac{4}{7}$ + Sử dụng tính chất so sánh: Nếu \(\dfrac{a}{b} < 1\) thì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}\) IV. Hỗn số dương Viết một phân số lớn hơn 1 thành tổng của một số nguyên dương và một phân số nhỏ hơn 1 ( với tử và mẫu dương) rồi viết chúng liền nhau thì được 1 hỗn số dương. Ví dụ: \(\frac{7}{4}= \frac{4.1+3}{4}= 1 + \frac{3}{4}=1\frac{3}{4}\)  Tải về Trả lời hoạt động khám phá 1 trang 13 SGK Toán 6 Chân trời sáng tạo Tập 2 Do dịch bệnh Covid-19, trung bình mỗi tháng trong 3 tháng đầu năm 2019, công ti A đạt lợi nhuận - 5/3 tỉ đồng, công ti B đạt lợi nhuận - 2/3 tỉ đồng. Công ti nào đạt lợi nhuận ít hơn? Cách `2`: Trong hai phân số có tử và mẫu đều dương, nếu cùng tử thì phân số nào có mẫu nhỏ hơn, phân số đó sẽ lớn hơn. Trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số ta còn có thể so sánh bằng một vài phương pháp khác. Dưới đây sẽ là một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số mà không quy đồng mẫu hoặc tử (chỉ xét các phân số có tử và mẫu dương). PHƯƠNG PHÁP `1`: Dùng số `1` làm trung gian Nếu `a/b >1` và `c/d <1` thì `a/b > c/d` Ta sử dụng phương pháp trên khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số còn lại có tử số bé hơn mẫu số Ví dụ `1`: So sánh hai phân số `(2019)/(2018)` và `(2020)/(2021)`. Vì `(2019)/(2018) >1` ; `(2020)/(2021) <1` nên `(2019)/(2018) > (2020)/(2021)`. PHƯƠNG PHÁP `2`: Dùng phân số làm trung gian Thường có `2` cách chọn phân số trung gian: Cách `1`: Chọn một phân số trung gian có cùng tử với phân số này, cùng mẫu với phân số kia Ta sử dụng cách trên nếu nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ 2 Ví dụ `2`: So sánh `(64)/(85)` và `(73)/(81)`. Để so sánh hai phân số trên, ta sẽ chọn phân số trung gian sao cho phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ `2` (hoặc ngược lại) * Cách 1: Chọn phân số `(64)/(81)` làm trung gian Vì `(64)/(85) < (64)/(81)` ; `(64)/(81) < (73)/(81)` `=> (64)/(85) < (73)/(81)` Vậy `(64)/(85) < (73)/(81)`. * Cách 2: Chọn phân số `(73)/(85)` làm trung gian Vì `(64)/(85) < (73)/(85)` ; `(73)/(85) < (73)/(81)` `=> (64)/(85) < (73)/(81)` Vậy `(64)/(85) < (73)/(81)`. Cách `2`: Chọn một phân số trung gian có mối quan hệ với hai phân số đã cho Ta sử dụng cách trên nếu nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ với một phân số nào đó. Ví dụ 3: So sánh `(12)/(47)` và `(19)/(77)`. Ta thấy hai phân số `(12)/(47)` và `(19)/(77)` đều xấp xỉ `1/4` nên ta chọn `1/4` làm trung gian Ta có: `(12)/(47) > (12)/(48) = 1/4`; `(19)/(77) < (19)/(76) = 1/4 => (12)/(47) > (19)/(76)` Vậy `(12)/(47) > (19)/(76) `. PHƯƠNG PHÁP `3`: So sánh “phần thừa” hoặc “phần thiếu” của hai phân số Cách `1`: So sánh “phần thừa” Nếu `a/b =m+A` ; `c/d = m+B`; mà `A>B` thì `a/b > c/d` `A` và `B` theo thứ tự gọi là “phần thừa” so với `m` của hai phân số `a/b` và `c/d` Ví dụ `4`: So sánh `(79)/(76)` và `(86)/(83)`. Ta có: `(79)/(76) =1 + 3/(76)` ; `(86)/(83) = 1 + 3/(83)` Vì `3/(76) > 3/(83) => (79)/(76) > (86)/(83)`. Cách `2`: So sánh “phần thiếu” Nếu `a/b =m-E` ; `c/d = m-F`; mà `E>F` thì `a/b < c/d` `E` và `F` theo thứ tự gọi là “phần thiếu” so với `m` của hai phân số `a/b` và `c/d` Ví dụ `5`: So sánh `(456)/(461)` và `(123)/(128)`. Ta có: `(456)/(461) =1 - 5/(461)` ; `(123)/(128) = 1- 5/(128)` Vì `5/(461) < 5/(128) => 1 - 5/(461) > 1- 5/(128) => (456)/(461) > (123)/(128)` Vậy `(456)/(461) > (123)/(128)`. PHƯƠNG PHÁP `4`: Viết phân số dưới dạng hỗn số Trong hai hỗn số dương: - Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. - Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phân số kèm theo lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. Ví dụ `6`: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: `(498)/(31); (466)/(29); (513)/(34)`. Ta có: `(498)/(31) = 16 2/31` ; `(466)/(29) = 16 2/29` ; `(513)/(34) = 15 3/34` Vì `15 3/34 < 16 2/31 < 16 2/29 => (513)/(34) < (498)/(31) < (466)/(29) ` Vậy `(513)/(34) < (498)/(31) < (466)/(29) `. PHƯƠNG PHÁP `5`: Cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của một phân số Với `a,b, m in NN^(**)` ta có: Nếu `a/b < 1` thì `a/b < (a+m)/(b+m)` Nếu `a/b > 1` thì `a/b > (a+m)/(b+m)` Ví dụ `7`: Cho các phân số `A= (10^(20) +2)/(10^(21) +2)` ; `B= (10^(19) +1)/(10^(20) +1)` . So sánh `A` và `B`. Dễ thấy `A= (10^(20) +2)/(10^(21) +2) <1` `=> A = (10^(20) +2)/(10^(21) +2) < ((10^(20) +2)+8)/((10^(21) +2)+8) = (10^(20) +10)/(10^(21) +10) = (10.(10^(19) +1))/(10.(10^(20) +1)) < (10^(19) +1)/(10^(20) +1)` Vậy `A < B`. Một số bài tập tự luyện Bài `1`. Không thực hiện quy đồng; hãy so sánh các phân số: `a)` `(77)/(95) ; (76)/(99)` `b)` `(59)/(101) ; (56)/(105)` `c)` `(18)/(91)` ; `(23)/(114)` `d)` `(58)/(89) ; (36)/(53)` Bài `2`. Không thực hiện quy đồng; hãy so sánh các phân số: `a)` `(2011)/(2010)` ; `(2012)/(2011)` `b)` `(2020.2021 +1)/(2020.2021)` ; `(2021.2022 +1)/(2021.2022)` `c)` `(145)/(149) ; (673)/(677)` `d)` `(53)/(57) ; (531)/(571)` Bài `3`. So sánh `A= (5.(11.13-22.26))/(22.26 -44.52)` và `B= (138^2 -690)/(137^2 -548)`. Bài `4`. `a)` Cho các phân số `A= (10^(11) -1)/(10^(12) -1)` và `B=(10^(10) +1)/(10^(11) +1)`. So sánh `A` và `B`. `b)` Cho các phân số ` C= (100^(2015) +1)/(100^(2014) +1)` và `D=(100^(2016) +1)/(100^(2015) +1)` . So sánh `C` và `D`. Bài 5. `a)` Viết các phân số sau theo thứ tự giảm dần: `(155)/9 ; (87)/5 ; (123)/8`. `b)` Viết các phân số sau theo thứ tự tăng dần: `(659)/(217) ; (1711)/(341) ; (721)/(143) ; (221)/(71)`. |
