Tan căn 2 bằng bao nhiêu

Công thức lượng giác lớp 10 là một phần kiến thức quan trọng. Để giải được phương trình lượng giác ở lớp 11 thì học sinh cần nắm vững các kiến thức:

• Cách biểu diễn một góc lượng giác, một cung lượng giác trên đường tròn đơn vị (đường tròn lượng giác).
• Cách tính các giá trị lượng giác của một cung bằng định nghĩa.
• Công thức lượng giác của các góc và cung có liên quan đặc biệt (còn gọi là cung liên kết).
• Các công thức lượng giác bao gồm công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích.

Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm

• Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
• Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

1. Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Mỗi một góc lượng giác có số đo $\alpha$ khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác sẽ tương ứng với một điểm $M$ duy nhất (xem hình vẽ).

Khi đó, hoành độ của điểm $M$ được gọi là cosin của góc lượng giác $\alpha$, tung độ của điểm $M$ được gọi là sin của góc $\alpha$.

2. Công thức lượng giác cơ bản

• \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)
• \(1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in { Z }\)
• \(1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}, \alpha \neq k \pi, k \in Z\)
• \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1, \alpha \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z\)

3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Để dễ nhớ, chúng ta có câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang”

3.1. Giá trị lượng giác của các cung hơn nhau số chẵn lần \(\pi\)

• \(\sin (\alpha\pm k2\pi)=\sin \alpha\)
• \(\cos (\alpha\pm k2\pi)=\cos \alpha\)
• \(\tan (\alpha\pm k2\pi)=\tan \alpha\)
• \(\cot (\alpha\pm k2\pi)=\cot \alpha\)

Vì các điểm hơn kém nhau chẵn lần \(\pi\) thì có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác nên các giá trị lượng giác của chúng là như nhau.

1. Định nghĩa

Với mỗi góc $\alpha $ (${0^0} \leqslant \alpha  \leqslant {180^0}$) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $ và giả sử điểm M có toạ độ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Khi đó ta định nghĩa :

* sin của góc $\alpha $ là ${y_0}$, kí hiệu $\sin \alpha  = {y_0}$;

* côsin của góc $\alpha $ là ${x_0}$, kí hiệu $\cos \alpha  = {x_0}$;

* tang của góc $\alpha $ là $\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\left( {{x_0} \ne 0} \right)$, kí hiệu $\tan \alpha  = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$;

* côtang của góc $\alpha $ là $\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\left( {{y_0} \ne 0} \right)$, kí hiệu $\cot \alpha  = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$.

Các số sin$\alpha $, cos$\alpha $, tan$\alpha $, cot$\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $\alpha $.

Chú ý

* Nếu $\alpha $ là góc tù thì cos$\alpha $< 0, tan$\alpha $< 0, cot$\alpha $< 0.

* tan$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, cot$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha  \ne k\pi ,k \in Z.$

2. Tính chất

Ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat {xOM} = \alpha $ thì $\widehat {xON} = {180^0} - \alpha $. 

Ta có ${y_M} = {y_N} = {y_0};{x_M} =  - {x_N} = {x_0}$. Do đó:

$\begin{gathered}   \sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\   \cos \alpha  =  - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\   \tan \alpha  =  - \tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\   \cot \alpha  =  - \cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\ \end{gathered} $

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trong bảng, kí hiệu $\parallel $ để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý

Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn:

$\begin{gathered}   \sin {120^0} = \sin \left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\   \cos {135^0} = \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) =  - \cos {45^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} $

4. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b $ . Góc $\widehat {AOB}$ với số đo từ ${0^0}$ đến ${180^0}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là ($\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $). Nếu ($\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $) $ = {90^0}$ thì ta nói rằng $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b $ hoặc $\overrightarrow b  \bot \overrightarrow a $.

b) Chú ý

Từ định nghĩa ta có ($\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $) = ($\overrightarrow b $, $\overrightarrow a $).

5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc

Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :