VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q): Phương pháp giải. Phương pháp. VTPT của (P), (Q) lần lượt là mi, t. Lúc này ta được VTCP của đường thẳng d là ai, n. Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + g – 32 – 1 = 0 và (Q) : -2c + g – 4z + 1 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là Ti = (1; 1; -3) và n = (-2; 1; -4). Vì d song song với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là Ti = [i, n] = (-1; 10; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và có một véc tơ chỉ phương là x = (-1; 10; 3), nên dù có phương trình tham số là x = 1 – 7 y = -1 + 10t z = 1 + 3t. Ví dụ 11. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với hai mặt phẳng (P): x – y + 2x + 1 = 0 và (Q): 3x – 2y + 47 – 2018 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là mi = (1;-1; 2) và m = (3; –2; 4). Vì d song song Với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là mi = i, m = (0; 2; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và có một véc tơ chỉ phương là ti = (0; 2; 1), nên d có phương trình tham số là x = 1 y = 2 + 2t 12= 3 + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 12. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và song song với hai mặt phẳng (P): -2x + 3y – z = 0 và mp (Org). Mặt phẳng (Ocg) có phương trình là 3 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến là (0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và có một véc tơ chỉ phương là m = (3; 2; 0), nên d có phương trình tham số là x = 3t y = 1 + 2t. Bài 13. Viết phương trình đường thẳng d. Biết d đi qua giao điểm của hai đường thẳng A: y + 2, Z: x – 3 y + 5. Ta có (P), (Q) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là mi = (7; -10; 5), m = (3; 6; -2). Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng A và A’ là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(3; –5; 1) và có véc tơ chỉ phương í = mị, m phương trình tham số là x = 1 + 5t. Bài 14. Cho đường thẳng A: 4 = 2 – 6t và ba mặt phẳng (P): 2 + 2x – 32 – 16 = 0, (Q): 12= -7 + t + y + z + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của A. và (P), đồng thời song song với hai mặt phẳng (Q), (R). Ta có (2), (R) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là T =(1; 1; 1), m =(-1; 2; -1). Lại có, tọa độ giao điểm A của đường thẳng A và mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(0; -4; -6) và có véc tơ chỉ phương n, m phương trình tham số là x = 6 – 3t, y = -4. Bài 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD. Biết A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), D(3; 1; 0), A(1; 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B’ và song song với (ABCD) và (ACC’A’). Ta có B = (0; 2; 2) và véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AACC) lần lượt là A4 = (0; 0; 2), B = (3; -1; 0). Suy ra AN, BD = (2; 6; 0) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2t y = 2 + 6t z = 2.
Bài 16. Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (2 – 1)3 = 9 và mặt phẳng (P): 2 + 32 + 1= 0, và mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm A(0; 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và song song với mặt phẳng (P), (Q). Ta có mặt phẳng (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu (S) tại điếp điểm A(0; 2; -1), nên IA = (2; 1; 2) là véc tơ pháp tuyến của (Q). Do đó (Q) có phương trình 2x + y + 2x = 0. Vậy đường thẳng d đi qua tâm I(-2; 1; -3) và có véc tơ chỉ phương n = (-1; -8; 5).
10:11:2527/02/2019
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.
• xem thêm: Các dạng toán về phương trình đường trònI. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ
* Nhận xét: Nếu
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a2 + b2 ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy
- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox
- (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng).
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ
* Nhận xét: Nếu
b) Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng:
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).
- Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng:
d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) có dạng:
+ Nếu:
+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔
+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VTPT
* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT
⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là
⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:
a) đi qua M(3;2) và //Δ:
b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ PT đường thẳng (d) là:
b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là
⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):
a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là
vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒
⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP
b) Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
* Lời giải:
- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là:
⇒ Phương trình tham số của (d) là:
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0
Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x0) + y0
⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5.
Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)
* Lời giải:
- (d) vuông góc với AB nên nhận
- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ: xi = (xA+xB)/2 = (3+5)/2 = 4; yi = (yA+yB)/2 = (-1+3)/2 = 1; ⇒ toạ độ của I(4;1)
⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là: 2(x-4) + 4(y-1) = 0 ⇔ 2x + 4y -12 = 0 ⇔ x + 2y - 6 = 0.
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước
- (d) đi qua M(x0;y0) và tạo với Ox 1 góc ∝ (00 < ∝ < 900) có dạng: y = k(x-x0) + y0 (với k = ±tan∝
Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 450.
* Lời giải:
- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức k = tan∝ = tan(450) = 1.
⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.(x+1) + 2 ⇔ y = x + 3
Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng
* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:
- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).
- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').
Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0
* Lời giải:
- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)
- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là:
- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒
- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là:
- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:
Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1
⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.
Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng
* Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:
- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).
- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M').
Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0
* Lời giải:
- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)
- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(xM';yM'), ta có:
⇒ xM' = 2xH - xM = 2.4 - 3 = 5
⇒ yM' = 2yH - yM = 2.1 - (-1) = 3
⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)
Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0; ta giải hệ phương trình:
_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1 // d2
_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2
_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d1 cắt d2 và nghiệm là toạ độ giao điểm.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng
a) d1: x + y - 2 = 0; d2: 2x + y - 3 = 0
b) d1: x + 2y - 5 = 0; d2:
* Lời giải:
a) Số giao điểm của d1 và d2 là số nghiệm của hệ phương trình
- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.
b) Từ PTĐT d2 ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d1 ta được:
(1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vô số nghiệm).
Hy vọng với bài viết tổng hợp một số dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!