Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm AB và tiếp xúc với đường thẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Lập phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Lập phương trình đường tròn: Lập phương trình đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Tìm toạ độ tâm I [a; b] của đường tròn [C]. Tìm bán kính R của đường tròn [C]. Viết phương trình của [C] theo dạng [x − a]2 + [y − b]2 = R2. Cách 2. Giả sử phương trình đường tròn [C] là: x2 + y2 −2ax − 2by + c = 0 [hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0]. Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn [C]. Chú ý: Cho đường tròn [C] có tâm I và bán kính R. A ∈ [C] ⇔ IA = R. [C] tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d [I; ∆] = R. [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d [I; ∆1] = d [I; ∆2] = R. [C] cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ [d [I; ∆3]]2 + a2 = R2. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I[3; −5] bán kính R = 2. Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là [x − 3]2 + [y + 5]2 = 22 ⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0. Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A [1; 6], B [−3; 2]. Đường tròn đường kính AB có: Tâm I [−1; 4] là trung điểm AB. Bán kính R = AB = 2√2. Do đó phương trình đường tròn là: [x + 1]2 + [y − 4]2 = 2√2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 8y + 9 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm I [−1; 2] và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + 7 = 0. Bán kính đường tròn [C] chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên R = d [I; ∆] = |−1 − 4 − 7| √1 + 4 = 2√5. Vậy phương trình đường tròn [C] là: [x + 1]2 + [y − 2]2 = 4. Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn tâm I [−2; 1], cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2. Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có: h = d [I, ∆] = |−2 − 2 + 3|. Gọi R là bán kính đường tròn. Vậy phương trình đường tròn là: [x + 2]2 + [y − 1]2 = 6. Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M [−2; 4], N [5; 5], P [6; −2]. Lời giải. Cách 1. Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = 0, 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0, 36 + 4 − 12a + 4b + c = 0 ⇔ a = 2, b = 1, c = −20. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0. Cách 2. Gọi I [x; y] và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra: IM = IN = IP ⇔ IM2 = IN2, IM2 = IP2 nên ta có hệ [x + 2]2 + [y − 4]2 = [x − 5]2 + [y − 5]2, [x + 2]2 + [y − 4]2 = [x − 6]2 + [y + 2]2 ⇔ x = 2, y = 1. Suy ra I[2; 1], bán kính IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm [C] : [x − 2]2 + [y − 1]2 = 25. Ví dụ 6. Cho hai điểm A [8; 0] và B [0; 6]. a] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b] Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Lời giải. a] Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I [4; 3] và bán kính R = IA = p [8 − 4]2 + [0 − 3]2 = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: [x − 4]2 + [y − 3]2 = 25. b] Ta có OA = 8; OB = 6; AB = √2 + 62 = 10. Mặt khác OA.OB = pr[vì cùng bằng diện tích tam giác ABC]. Suy ra r = OA.OB OA + OB + AB = 2. Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là [2; 2]. Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là [x − 2]2 + [y − 2]2 = 4. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A [1; 2], B [4; 1]. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B. Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của [C]. Do I ∈ d nên I [t; 2t − 5]. Hai điểm A, B cùng thuộc [C] nên IA = IB ⇔ [1 − t]2 + [7 − 2t]2 = [4 − t]2 + [6 − 2t]2 ⇔ t = 1. Suy ra I[1; −3] và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: [C]: [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Cách 2. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB = [3; −1] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x − y − 6 = 0. Tọa độ tâm I của [C] là nghiệm của hệ 2x − y − 5 = 0, 3x − y − 6 = 0 ⇒ I[1; −3]. Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm [C] : [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A [−2; 1]. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2. Gọi I là tâm của [C]. Do I ∈ d1 nên I [−3t − 8; t]. Theo giả thiết bài toán, ta có: d [I, d2] = IA ⇔ |3 [−3t − 8] − 4t + 10| √2 + 42 = [−3t − 8 + 2]2 + [t − 1]2 ⇔ t = −3. Suy ra I[1; −3] và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là [C]: [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Ví dụ 9. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0. Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K [6a + 10; a] Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra |3[6a + 10] + 4a + 5| = |4[6a + 10] − 3a − 5| ⇔ |22a + 35| = |21a + 35| ⇔ a = 0, a = −70. Với a = 0 thì K [10; 0] và R = 7 suy ra [C]: [x − 10]2 + y2 = 49. Với a = −70 thì K và R. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là [C]: [x − 10]2 + y2 = 49. Ví dụ 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x − y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2√3. Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I [a; a + 1]. a = 1, a = −9. Với a = 1 ta có I [1; 2], phương trình đường tròn là: [x − 1]2 + [y − 2]2 = 4. Với a = −9 ta có I [−9; −8], phương trình đường tròn là: [x + 9]2 + [y + 8]2 = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A [−1; 3], B [1; 4], C [3; 2]. Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A [−1; 1], B [3; 3] và đường thẳng d: 3x − 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d. Đường trung trực ∆ đi qua M [1; 2] là trung điểm AB và nhận AB = [4; 2] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 2x + y − 4 = 0. Do [C] đi qua hai điểm A, B nên tâm I của [C] thuộc trung trực ∆ nên I [t; 4 − 2t]. Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0 và ∆: x + 3y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] có bán kính bằng 2√10, có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0. và d2: √3x − y = 0. Gọi [C] là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của [C], biết tam giác ABC có diện tích bằng √3 và điểm A có hoành độ dương.Bài 6. Cho ba đường thẳng d1: x−y + 1 = 0, d2: 3x−4y = 0, d3: 4x−3y −3 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2 tại hai điểm A, B và cắt đường thẳng d3 tại hai điểm C, D sao cho AB = CD = 2√3.

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Viết phương trình đường thẳng [Delta ‘] đi qua B và [perp Delta]
• Xác định tâm I là giao điểm của d và [Delta ‘]
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6,0] và đi qua điểm B[9,9]

Giải: Gọi I[a,b] là tâm đường tròn [C]

Vì [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6;0] nên [I epsilon d: x = 6]

Mặt khác B nằm trên đường tròn [C] nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I[6;5], R = 5

Vậy phương trình đường tròn [C]: [[x-6]^{2} + [y – 5]^{2} = 25]

• Tâm I của [C] thỏa mãn: [left{begin{matrix} d[I,Delta _{1}] = d[I,Delta _{2}]& d[I,Delta _{1}] = IA & end{matrix}right.]
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M [1,2].

Giải: Gọi I[x,y] là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên [frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}] [1]

và [frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}] [2]

Giải hệ gồm 2 phương trình [1] và [2] ta được

• TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = [20sqrt{2}]

Phương trình đường tròn có dạng [[x-29]^2+[y+2]^2=800]

• TH2: x = – 6, y = 3 => R = [5sqrt{2}]

Phương trình đường tròn có dạng [[x+6]^2+[y-2]^2=50]

• Tâm I của [C] thỏa mãn [left{begin{matrix} d[I,Delta _{1}] = d[I,Delta _{2}]& Iepsilon d & end{matrix}right.]

• Bán kính [R = d[I,Delta _{1}]]

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A[2,-1] và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I[a,b] là tâm của đường tròn [C]

Do [C] tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A[2, -1] thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I[a, -a], bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn [C] có dạng [[x-a]^2 + [y+a]^2 = a^2]

Do A [-2;1] thuộc đường tròn [C] nên thay tọa độ của A vào phương trình [C] ta được: [[2-a]^2 + [1+a]^2 = a^2]

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

• Với a = 1 ta có phương trình [C] [[x-1]^2 + [y+1]^2 = 1]

• Với a = 5 ta có phương trình [C] [[x-5]^2 + [y+5]^2 = 5^2]

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼[3;−1]I[3;−1], bán kính 𝑅=2R=2.

Giải. Phương trình đường tròn tâm 𝐼[3;−1]I[3;−1], bán kính 𝑅=2R=2 là [𝑥−3]2+[𝑦+1]2=4[x−3]2+[y+1]2=4.

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼[0;3]I[0;3] và đi qua 𝐴[3;−2]A[3;−2].

Giải. Ta có 𝐼𝐴→=[3;−5]IA→=[3;−5]. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐼𝐴=9+25−−−−−−√=34−−−√R=IA=9+25=34. Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+[𝑦−3]2=34x2+[y−3]2=34.

Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận 𝐴𝐵AB làm đường kính biết 𝐴[1;6]A[1;6] và 𝐵[4;5]B[4;5].

Giải. Gọi 𝐼I là tâm của đường tròn, ta có 𝐼I là trung điểm 𝐴𝐵AB nên 𝐼[52;112]I[52;112]. Ta có 𝐴𝐵=[3;−1]AB→=[3;−1] suy ra 𝐴𝐵=9+1−−−−−√=10−−−√AB=9+1=10. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐴𝐵2=10−−−√2R=AB2=102. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

[𝑥−52]2+[𝑦−112]2=52[x−52]2+[y−112]2=52

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 𝐴[4;1]A[4;1], 𝐵[3;4]B[3;4], 𝐶[1;0]C[1;0].

Giải. Phương trình đường tròn có dạng 𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑥−2𝑏𝑦+𝑐=0x2+y2−2ax−2by+c=0. Vì đường tròn này đi qua các điểm 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C nên ta có hệ phương trình

⎧⎩⎨17−8𝑎−2𝑏+𝑐=025−6𝑎−8𝑏+𝑐=01−2𝑎+𝑐=0⇔⎧⎩⎨𝑎=2𝑏=2𝑐=3{17−8a−2b+c=025−6a−8b+c=01−2a+c=0⇔{a=2b=2c=3

Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+𝑦2−4𝑥−4𝑦+3=0.x2+y2−4x−4y+3=0.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn 𝑥2+𝑦2−4𝑦−4=0x2+y2−4y−4=0 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 𝑑:𝑥+7𝑦+6=0d:x+7y+6=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼[0;2]I[0;2], bán kính 𝑅=0+4+4−−−−−−−−−√=22−−√R=0+4+4=22. Vì tiếp tuyến ΔΔ song song với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 𝑥+7𝑦+𝑚=0x+7y+m=0 [với 𝑚≠6m≠6]. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

⇔⇔⇔⇔𝑑[𝐼,Δ]=𝑅|14+𝑚|1+49−−−−−−√=22−−√|14+𝑚|=20[𝑚+14=20𝑚+14=−20[𝑚=6[loại]𝑚=−34d[I,Δ]=R⇔|14+m|1+49=22⇔|14+m|=20⇔[m+14=20m+14=−20⇔[m=6[loại]m=−34

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình 𝑥+7𝑦−34=0.x+7y−34=0.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn [𝑥−3]2+[𝑦+2]2=13[x−3]2+[y+2]2=13 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 𝑑:3𝑥−2𝑦+1=0d:3x−2y+1=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼[3;−2]I[3;−2], bán kính 𝑅=13−−−√R=13. Vì tiếp tuyến ΔΔ vuông góc với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 2𝑥+3𝑦+𝑚=02x+3y+m=0. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

⇔⇔⇔𝑑[𝐼,Δ]=𝑅|6−6+𝑚|4+9−−−−−√=13−−−√|𝑚|=13𝑚=±13d[I,Δ]=R⇔|6−6+m|4+9=13⇔|m|=13⇔m=±13

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình 2𝑥+3𝑦±13=0.

Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm vững phần kiến thức về phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Còn rất nhiều phần kiến thức hữu ích khác đang chờ bạn khám phá tại PUD. hãy luôn cập nhật để dõi theo nhé !

• Xem thêm: Hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất