\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {1; - 4;0} \right)\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: LG a Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\); Phương pháp giải: MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] \) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),\)\(\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\). Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \)\(= - 5\left( {2;1;1} \right)\). Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\) LG b Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\) và song song với trục Oz ; Phương pháp giải: MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\) Lời giải chi tiết: Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{ (P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình: \(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\) Cách khác: Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2+ B2 0 Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + D = 0\\5A + 2B + D = 0\end{array} \right.\) 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại) Vậy A 0, ta chọn A = 1 B = -4, và D = 3 Vậy phương trình mặt phẳng là: x 4y + 3 = 0 LG c Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x 5y + z = 0; Lời giải chi tiết: Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5;1} \right)\). \(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến . Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\) Cách khác: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có: 3 - 5.2 + (-1) + D = 0 D = 8 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0 LG d Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x y + z 1 = 0 ; Phương pháp giải: MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc \(\left( \alpha \right)\) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right]\) làm VTPT. Lời giải chi tiết: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) \(Mp\left( \alpha \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; - 1;1} \right)\). \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\) Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\) LG e Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; Lời giải chi tiết: Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\)song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\) Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y b = 0. LG g Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; Lời giải chi tiết: Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3\) \( \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\) Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\). LG h Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Lời giải chi tiết: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\)khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\). Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình : \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\) Cách khác: Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c). Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {CH} = \left( {2;1;1 - c} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {AH} = \left( {2 - a;1;1} \right)\end{array}\) Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH} = 0\\\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = c = 2a\) Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a\) Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có: 2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0
|
