Bài 4 trang 70 sgk hình học 10 nâng cao

LG a

\(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh các đường thẳng vuông góc, ta thực hiện nhân vô hướng các véc tơ và kiểm tra tích đó bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vì I là trung điểm BB' và J là trung điểm CC' nên:

\(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} )\)

\(\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} \cr&= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\)nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} = 0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} } \right)\)

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC}\cr} \)

Do ABC, ABC vuông cân tại A nên AC=AC,AB=AB

Lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC'} = \widehat {BAB'} + \widehat {B'AC'} = \widehat {BAB'} + {90^0}\\\widehat {B'AC} = \widehat {B'AB} + \widehat {BAC} = \widehat {B'AB} + {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAC'} = \widehat {B'AC}\\ \Rightarrow \cos \widehat {BAC'} = \cos \widehat {B'AC}\end{array}\)

Do đó,

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'} = 0 \Leftrightarrow AI \bot CC'\)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} \)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} )\cr
& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0\cr&\Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)

LG b

\(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} \cr&= (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr
& = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)

\( = \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} \)

(vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'} = 0\))

\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}}\)\( = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)

\(= - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} \)\(= - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} = 0\)

Suy ra \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).