Trong bài viết trước chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về Giải bài tập trang 15, 16 SGK Toán 9 Tập 2 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, bài ngày hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu về giải Toán lớp 9: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Tài liệu Giải Toán lớp 9 bài giải hệ phương trình bằng phương pháp thế giúp các bạn học sinh tìm hiểu chi tiết hơn về các bài giải toán cùng với những hướng dẫn làm bài chi tiết đảm bảo đáp ứng được nhu cầu học tập và trau dồi kiến thức hiệu quả. Bài viết liên quan
 Bên cạnh nội dung đã học, các em có thể chuẩn bị và tìm hiểu nội dung phần Giải bài tập trang 40, 41 SGK Toán 9 để nắm vững những kiến thức trong chương trình Toán 9. Hình học lớp 9 Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông là bài học quan trọng trong Chương I. Cùng xem gợi ý Giải bài tập trang 88, 89 SGK Toán 9 Tập 1 để nắm rõ kiến thức tốt hơn). Với tài liệu Giải bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế cũng tương tự với những bài giải toán 9 khác đều được hệ thống tổng hợp những bài giải có trong chương trình sách giáo khoa Toán 9 từ cơ bản đến nâng cao. Tất cả những bài tập đều được hướng dẫn chi tiết giúp các em học sinh làm bài ở nhà và việc giải bài tập trang 15, 16 sgk toán lớp 9 được trình bày đúng theo thứ tự các bạn học sinh không phải lo lắng và dễ dàng tiến hành làm bài, học tập, ôn luyện củng cố kiến thức nhanh chóng. Để học tốt Toán lớp 9 các bạn học sinh cần chăm chỉ rèn luyện và nắm vững kiến thức bên cạnh đó có thể tham khảo thêm tài liệu giải toán lớp 9 để việc học trở nên đơn giản hơn. Bài học hôm nay chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về giải Toán lớp 9: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế bài tiếp theo chúng ta sẽ học về kiến thức giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, mời các bạn cùng theo dõi. https://thuthuat.taimienphi.vn/giai-toan-lop-9-giai-he-phuong-trinh-bang-phuong-phap-the-30097n.aspx
Giải
\(\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2(1) \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2(1') \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: \(0x + 0y = -3\) Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. Minh họa hình học kết quả tìm được: - Vẽ đồ thị hàm số \(2x + 5y = 2\). Cho \(y = 0 ⇒ x = 1\). Ta xác định được điểm \(A(1; 0)\) Cho \(y = 1 ⇒ x = -1,5\). Ta xác định được điểm \(B(-1,5; 1)\). Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B -Vẽ đồ thị hàm số \({2 \over 5}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\) Cho \(x = 0 ⇒ y = 1\). Ta xác định được điểm \(C(0; 1)\) Cho \(y = 2 ⇒ x = -2,5\). Ta xác định được điểm \(D(-2,5; 2)\) Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.
\(\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3(1) \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3(1') \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được \(x = 2\) Thế \(x = 2\) vào (2), ta được: \(6 + y = 5 ⇔ y = -1\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x = 2; y = -1)\) Minh họa hình học: - Đồ thị hàm số \(0,2x + 0,1y = 0,3\) là một đường thẳng đi qua hai điểm: \(A(x = 0; y = 3)\) và \(B(x = 1,5; y = 0)\) - Đồ thị hàm số \(3x + y = 5\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(C(x = 0; y = 5)\) và \(D(x = 1; y = 2)\) - Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \(M(x = 2; y = -1)\). Vậy \((2; -1)\) là một nghiệm của hệ phương trình.
\(\left\{ \matrix{ {3 \over 2}x - y = {1 \over 2}(1) \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1(1') \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: \(0x + 0y = 0\). Phương trình này có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát là \(\left( {x;{3 \over 2}x - {1 \over 2}} \right)\) với \(x ∈ R\) Minh họa hình học - Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; - {1 \over 2})\) và \(B(1;1)\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm. Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Giải các hệ phương trình sau: \(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Giải: \(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\) Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Từ (1) ta có \(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\) Thế (3) vào (2), ta được: \(\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \) Thế y vừa tìm được vào (3), ta được: \(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right) + 1} \over {\sqrt 5 }}\) hay \(x = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)\) b)Giải hệ phương trình: (I) \(\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \(u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\) Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(u\) và \(v\) ta được: \(\left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (1') \hfill \cr u + 3v = - 1(2') \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\) Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \( - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) Thay \(v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được: \(2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\) \(\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\) Với giá trị của \(u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(x, y\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr y \ne - 1 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right){{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)} \over 5} \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right)\) thỏa mãn điều kiện Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
Giải: (I) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m(1) \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 (2) \hfill \cr} \right.\) Ta có (1) ⇔ \(y = 2x – m\) (3) Thế (3) vào (2), ta có: \(4{\rm{x}} - {m^2}\left( {2{\rm{x}} - m} \right) = 2\sqrt 2\) \( \Leftrightarrow 2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 - {m^3}(*)\)
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 4\sqrt{2}\) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 0\) Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.
\(2.(2-1)x = 2\sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2 - 1\) \(\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2 - 1} \over 2}\) Thay \(x\) vừa tìm được vào (3), ta có: \(y = 2\sqrt{2} – 2\) Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: \(\left( {{{2\sqrt 2 - 1} \over 2};2\sqrt 2 - 2} \right)\) Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Giải: Gọi \(x\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ A và \(y\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ B. Điều kiện: \(x > 0; y > 0\) - Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét. Ta có phương trình: \({{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1)\) - Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m. Ta có phương trình \({{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2)\) Ta có hệ phương trình: (I) \(\left\{ \matrix{{{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1) \hfill \cr {{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2) \hfill \cr} \right.\) Đặt \(u = {{100} \over x}\) và \(v = {{100} \over y}\) . Thay vào (I), ta được: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{20u = 16v \hfill \cr 18u + 6 = 18v \hfill \cr} \right.\) |
