Ví dụ, tìm hàm ngược của hàm số y = 2 x + 3 , ta rút x theo y thì được x = y− 2 3 , sau đó đổi vai trò của x và y để được hàm ngược là y = x− 2 3. Tuy nhiên, cũng có nhiều khi hàm số không phải là đơn ánh trên toàn trục số R, khi đó chúng ta phải xét hàm số trên các khoảng mà hàm số đó là đơn ánh và tìm hàm ngược trên các khoảng tương ứng. Định lý 1. Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a, b) thì tồn tại hàm số ngược f − 1 của f trên khoảng đó. 3 Hàm số sơ cấpNăm loại hàm số sơ cấp cơ bản 1. Hàm lũy thừa y = xα. TXĐ của hàm số này phụ thuộc vào α.
√x, thì hàm số xác định trên R≥ 0 ,
√x, thì hàm số xác định trên R,
x y Oy = sin x π 2 − π 2 10 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
x y Oy = cos x, 0 ≤ x ≤ π
x y O− π 2 π 2
x y − π 2 O π 2 π 12 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
x x cos x arccos x π 2 − π 2 π 0
(− π 2 , π 2 )x 7 → y = arctan x ⇔ x = tan y Hàm số y = arctan x xác định trên R, nhận giá trị trên (− π 2 , π 2 )và là một hàm số đơn điệu tăng. x tan x x arctan x π 2 − π 2 0
Hàm số y = arccotx xác định trên R, nhận giá trị trên (0, π) và là một hàm số đơn điệu giảm. x x cot x arccot x π 2 − π 2 π 0 Hàm số sơ cấp Người ta gọi hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Các hàm số sơ cấp được chia thành hai loại.
3 Bài tậpTìm TXĐ, MGT của hàm số Bài tập 1. Tìm TXĐ của hàm số
√lg(tan x),
√x sin πx , d) y = arccos(2 sin x). [Đáp số]
Bài tập 1. Tìm miền giá trị của hàm số
√1 − x 2 ) c) f (x) = sin x + cos x [Đáp số]
Ví dụ 3 (Giữa kì, K61). Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng
Xét tính tuần hoàn của hàm số Bài tập 1. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có)
Chứng minh. a) Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho. Khi đó f (x + T) = f (x)∀x ∈ R ⇔A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R ⇔A[cos λx − cos λ(x + T)] + B[sin λx − sin λ(x + T)] = 0 ∀x ∈ R ⇔2 sin −λT 2 [A sin(λx + λT 2 ) + B cos(λx + λT 2 )] = 0 ∀x ∈ R ⇔ sin λT 2 \= 0⇔T =∣∣∣∣ 2 kπ λ ∣∣∣∣.Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2 π |λ|. b) Theo câu a) thì hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2 π, hàm số sin 2x tuần hoàn với chu kì π, hàm số sin 3x tuần hoàn với chu kì 2 π 3 . Vậy f (x) = sin x + 1 2 sin 2 x + 1 3 sin 3 x tuần hoàn với chu kì T = 2 π 16 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
tuần hoàn với chu kì T = π
sin(x + T) 2 = sin(x 2 )∀x. (a) Cho x = 0 ⇒T = √kπ, k ∈ Z, k > 0. (b) Cho x = √π⇒k là số chính phương. Giả sử k = l 2 , l ∈ Z, l > 0. (c) Cho x = √π 2 ta suy ra điều mâu thuẫn. Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. Nhận xét: Muốn chứng minh một hàm số không tuần hoàn, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng như đã trình bày ở trên. Giả sử hàm số đó tuần hoàn với chu kì p > 0 sau đó cho một vài giá trị đặc biệt của x để suy ra điều mâu thuẫn. Ngoài phương pháp phản chứng thì chúng ta cũng có thể sử dụng một số tính chất của hàm số tuần hoàn để chứng minh. Chẳng hạn như:
Bài tập 1. Chứng minh các hàm số sau không tuần hoàn (a) y = cos x + cos x √2 ,(b) y = sin x + sin x √2 ,(c) y = sin x 2 , (d) y = cos x 2 , (e) y = sin √x, (f) y = cos √x. Chứng minh. a) Giả sử hàm số y = cos x + cos x √2 tuần hoàn với chu kì T > 0. Khi đó, cos x + cos x √2 = cos(x + T) + cos(x + T) √2 ∀x ∈ R. Cho x = 0 ta được 2 = cos T + cos T √
√2 ≤ 1 nên 2 = cos T + cos T √2 ⇔cos T = 1, cos T √2 = 1.⇒T = k 2 π, 0 6 = k ∈ N T √2 = l 2 π, 0 6 = l ∈ N. Khi đó √2 = l k ∈ Q, điều này là vô lý vì √2 là một số vô tỉ. Như vậy, chúng ta đã trả lời một câu hỏi trong Mục 3, rằng tổng của hai hàm số tuần hoàn có thể không phải là |
