CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC 1. Tính giá trị của biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 3 ) 4 H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = ; P( 1 3 ) P(-5,1289) = 4 = Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345 H.Dẫn: - Áp dụng hằng đẳng thức: an - b n = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = ( x  1)(1  x  x 2  ...  x9 ) x10  1  x 1 x 1 Từ đó tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = x 2 x9  1 x 1 Từ đó tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho: + Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x) + Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b 1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:  a1  b1  c1  d1  e1  1  0 16a  8b  4c  2d  e  4  0 1 1 1 1  1  a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81a1  27b1  9c1  3d1  e1  9  0  256a  64b  16c  4d  e  16  0 1 1 1 1 1  625a1  125b1  25c1  5d1  e1  25  0 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 1 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số 5 của x bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; 10. Tính A  P(4) = P(5)  2P (6) ? P (7) H.Dẫn: - Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A x( x  1) . Từ đó tính được: 2 P(5)  2 P(6)  P(7) Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k  Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số. H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 1999 a  b  2000  0  a  1  g(x) = f(x) - x - 1      2000 a  b  2001  0 b   1 * Tính giá trị của f(x): - Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)  f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1. Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số. 2 Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0  a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: a  b  c  3  0  9a  3b  c  11  0  25a  5b  c  27  0  a  1   bằng MTBT ta giải được:  b  0 c  2   g(x) = f(x) - x2 - 2 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0)  f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2. Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1. Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:  d  10  a  b  c  d  12   8a  4b  2c  d  4  27a  9b  3c  d  1 lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, 5 25 c trên MTBT cho ta kết quả: a  ; b   ; c  12; d  10 2 2  f ( x)  5 3 25 2 x  x  12 x  10  f (10)  2 2 Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18 - Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ đó tính được f(2005) = 3 Bài 10: Cho đa thức P( x)  1 9 1 7 13 5 82 3 32 x  x  x  x  x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0 b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên P(x)  1 ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x ( x  1)( x  2)( x  3( x  4) 2.5.7.9 Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: ( x  4)( x  3)( x  2)( x 1) x( x 1)( x  2)( x  3( x  4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên. Bài 11: Cho hàm số f ( x )  4x . Hãy tính các tổng sau: 4x  2 a)  1   2   2001  S1  f   f    ...  f    2002   2002   2002  b)   2   2 S 2  f  sin 2   f  sin 20 02  2 00 2     2 20 01    ...  f  sin  2 00 2    H.Dẫn: * Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1 * Áp dụng bổ đề trên, ta có: a) S 1   f  1     10 0 0    20 01    1 0 02    1 0 01   f     ...   f   f    f   2 0 02 20 0 2 2 0 02 20 0 2         2 00 2     1  ...  1  1 1 f  2   2 b) Ta có sin 2  2002 1   1    f     100 0   1000, 5 2   2   sin 2 2001 1000 1002 , ..., sin 2  sin 2 2002 2002 2002 . Do đó:     2     2 2 1 0 0 0   2 1 0 0 1  S 2  2  f  sin 2   f  sin   ...  f  sin    f  sin  2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2002            2      f  sin 2  2002   1000     2 500   f  sin 2    ...   f  sin  2002   2002     501     f  sin 2   2002       f  sin 2  2            2 2 500  2 500     2   f  sin 2   f  cos    ...   f  sin   f  cos    f (1) 2002 2002 2002 2002              2 1  1  ...  1   4 2 2  10 00   1 00 0 6 3 3 4 2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:  b  b  b  - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r  P     0.Q     r  r = P    a  a  a  Bài 12: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5) Giải: 5 5 5 5 - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r  P    0.Q    r  r  P    r = P   2 2 2 2 5 Tính trên máy ta được: r = P   = 2 Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: 1 0 -2 -3 -5 1 -5 23 -118 * Tính trên máy tính các giá trị trên như sau: () 5 SHIFT 0 0 1 -1 590 -2950 14751 -73756 M STO 1  ANPHA M + 0 = (-5) : ghi ra giấy  ANPHA M + (23) : ghi ra giấy  ANPHA M - 3 = (-118) : ghi ra giấy -118  ANPHA M + 0 = (590) : ghi ra giấy  ANPHA M + 0 = (-2950) :  ANPHA M + 1 = (14751) : ghi ra giấy 14751  ANPHA M - (-73756) : ghi ra giấy -73756 - 2 = 1 = -5 23 590 ghi ra giấy -2950 x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải như bài toán 1 5 - Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa b 1 thức P(x) cho (x + ) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm. a a Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) Giải: 1  - Thực hiện phép chia P(x) cho  x   , ta được: 2  1  5 7 1  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 =  x    x 2  x    . Từ đó ta phân tích: 2  2 4 8  1 1  5 7 1  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.  x   . .  x 2  x    2 2  2 4 8  5 7 1 1 = (2x - 1).  x 2  x    4 8 8 2 Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)  2  2 Ta có: P1     m  0  m   P1     3  3 Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại x   2 ta được m = 3 Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung x0  1 2 H.Dẫn: x0  1 1 là nghiệm của P(x) thì m =  P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5 2 2 x0  1 1 là nghiệm của Q(x) thì n = Q1   , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7. 2 2 1 Tính trên máy ta được: m =  P1   = 2 1 ;n = Q1   = 2 Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n. a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) 6 b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm. H.Dẫn: a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n = b) P(x)  (x - 2) và Q(x)  (x - 2)  R(x)  (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2. Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q 2(x) dư r2. Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q 1(x), q2(x) và các số dư r1, r2 : 1 0 0 0 0 0 0 0  1 2 1  1 2 1 4  1 8 1 16  1 32 1 64   1 2 1 -1 3 4  1 2 5 16  3 16 7 64  Vậy: r2   1 16 7 1 128 1 16 0 1 256 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học. Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số: 1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n  N* trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước. Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A - Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : - Lặp dấu bằng: A = A + 1 = ... = ... Giải thích: 1 SHIFT f(A) : STO A A = A : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A + 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai). * Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu = 8 Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: n n 1  1  5   1  5    un      ; n  1, 2,3... 5  2   2     Giải: - Ta lập quy trình tính un như sau: 1 SHIFT STO A ( 1  1 = 5 ) 5 ) ANPHA ( (  2 ) ( 1 +  ANPHA 5 )  2 ) A ) ANPHA  : ANPHA A ANPHA - ( ( A ANPHA + 1= A - Lặp lại phím: = ... = ... Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u 5 = 5, u6 = 8, u 7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u 10 = 55. 2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:  u1 = a   un+1 = f(un ) ; n  N* trong đó f(un) là biểu thức của un cho trước. Cách lập quy trình: - Nhập giá trị của số hạng u1: a = - Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này - Khi nhập biểu thức f(u n) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u 1) và lại lưu kết quả này. - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4... Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 9  u1  1  un  2   u n 1  u  1 , n  N * n  Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: (u1) 1 = ANS + 2 ) (  ( ANS + 1 ) = (u2) = ... = - Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:  u1  3 3  3 3  u n 1   u n  , n  N * Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để u n là số nguyên. Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: 3 SHIFT ANS = =  3 = (u1) SHIFT 3 (u2) 3 = (u4 = 3) Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên. 3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:  u1 = a, u2  b   un+2 = Au n+1+ Bu n + C ; n  N* 10