Công thức nghịch đảo bình phương đường cao

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

Tính $x$ trong hình vẽ sau:

Để dễ tìm hiểu về các hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, bạn hãy áp dụng phương pháp đồng dạng đối với các tam giác vuông hình thành bởi đường cao của tam giác vuông và tam giác vuông đó.

Giả sử có tam giác vuông có các cạnh góc vuông là b và c, cạnh huyền là a, đường cao là h, đường cao h chia cạnh huyền a thành hai phần : m ứng với b và n tương ứng với c ta sẽ có một số hệ thức về đường cao như sau :

h bình phương = m x n ( bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền ).

a x h = b x c.( tích cạnh huyền với đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông )

1 / h bình = 1 / b bình + 1 / c bình ( nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền thì bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông )

Tất cả các hệ thức trên đều do tính chất tỉ số đồng dạng của các tam giác vuông hình thành bởi tam giác vuông chính và hai tam giác vuông tạo thành bởi đường cao và cạnh huyền của tam giác vuông chính. Bạn tự xây dựng tỉ số đồng dạng bạn sẽ thấy ngay điều cần tìm hiểu thôi mà. Chúc bạn học thật tốt môn toán nha.

Giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông có nhiều hệ thức cũng như định lý khác nhau. Các bạn tham khảo những định lý quan trọng nhất nha.

Hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Trong tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng

Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương 2 cạnh góc vuông.

Trong tam giác vuông bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

* Công thức: b2 = ab', c2 = ac'

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

 * Công thức: h2 = b'c'

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

 * Công thức: bc = ah

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

 * Công thức:  

Bổ sung: Định lí Py-ta-go:  

* Công thức: a2 = b2 + c2

1. Các công thức

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Ta có các đẳng thức sau đây

\[\begin{array}{l}BC^2=AB^2+AC^2 \\ AB^2=BH.BC; \quad AC^2=CH.BC \\ AH^2=BH.CH \\ AB.AC=BC.AH \\ \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\end{array}\]

2. Phát biểu bằng lời

• Định lí Pitago: \[BC^2=AB^2+AC^2\] 
• Bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu vuông góc của nó lên cạnh huyền \[AB^2=BH.BC; \quad AC^2=CH.BC\]
• Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền \[AH^2=BH.CH\]
• Tích 2 cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng: \[AB.AC=BC.AH\]
• Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông \[\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\] 

3. Chứng minh

Các công thức trên được chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng. Chẳng hạn ta đi chứng minh công thức \(AB^2=BH.BC\)

Hai tam giác vuông \(BHA\) và \(BAC\) có góc nhọn \(\widehat{B}\) chung nên đồng dạng. Từ đó ta có \[\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\] Suy ra \(AB^2=BH.BC.\)

Cho tam giác vuông ở (hình vẽ). Khi đó, theo định lý Pythagore (Pi-ta-go) .

Hệ thức (1. 1) nói lên mối liên hệ giữa các trọng một tam giác vuông và đã được học trong chương trình Toán 7. Một hệ thức (lượng) cơ bản nhất của tam giác vuông. Trong chương này chúng ta sẽ học thêm một số ệ thức khác như vậy. Bài đầu tiên nói về hệ thức liên hệ giữa các cạnh và đường cao (ứng với cạnh huyền) trong một tam giác vuông. Các hệ thức này đều là hệ quả trực tiếp của các cặp tam giác đồng dạng.

   Để cho tiện, ta đưa ra một số thuật ngữ: Cho tam giác vuông ở , với đường cao . Khi đó được gọi là hình chiếu của cạnh góc vuông lên cạnh huyền . Tương tự, được gọi là hình chiếu của cạnh góc vuông , lên cạnh huyền .

Sau đây là bốn hệ thức cơ bản trong tam giác vuông, nói về mối quan hệ giữa cạnh góc vuông, đường cao, và các hình chiếu.

Hệ thức 1. Trong một tam giác vuông bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với hình chiếu của cạnh đó lên cạnh huyền.

Hệ thức 2. Trong tam giác vuông bình phương độ dài đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền

Hệ thức 3. Trong tam giác vuông bình phương tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với đường cao.

Hệ thức 4. Trong tam giác vuông bình phương nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

Phát biểu thành lời là vậy, nhưng dĩ nhiên chúng ta nên vẽ hình ra và mô tả lại bằng các công thức: Với tam giác vuông ở và đường cao , ta có

1. và .

2. .

3. .

4. .

Chứng minh bốn hệ thức trên thế nào? Ngoài hệ thức 3 chính là hệ quả của công thức diện tích, các hệ thức còn lại đều được suy ra trực tiếp từ sử dụng tam giác đồng dạng. Chú ý rằng ba tam giác sau đôi một đồng dạng với nhau: , , . Riêng hệ thức 4, sử dụng thêm định lý Pythagore.