Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, được viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0. Show
Định nghĩa trên đôi khi được tổng quát hoá cho nhiều số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của a1,..., an là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của a1,..., an. Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b). Ký hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của a1,..., an. Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]Bội của 4 là: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,... (thêm 4 để được bội số tiếp theo). Bội của 6 là: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,... (thêm 6 để được bội số tiếp theo). Bội chung của 4 và 6 là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên (không tính số 0): 12, 24, 36, 48,... Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12 Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]Khi cộng, trừ hoặc so sánh các phân số, nó đặc biệt có ích khi tìm bội số chung của mẫu số, thường gọi là mẫu số chung nhỏ nhất (hay mẫu chung nhỏ nhất).
mẫu số 42 được sử dụng bởi vì nó là bội chung nhỏ nhất của 21 và 6. Tính bội số chung nhỏ nhất[sửa | sửa mã nguồn]Tính qua ước số chung lớn nhất[sửa | sửa mã nguồn]Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính ước số chung lớn nhất (GCD):
Có một thuật toán nhanh để tìm GCD mà không yêu cầu phân tích ra thừa số nguyên tố, đó là thuật toán Euclid. Ví dụ: Điều này làm giảm kích thước đầu vào, giảm bộ nhớ cho các giá trị trung gian. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:
Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5. Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm BCNN của một tập hợp các số. Ví dụ: Tìm giá trị của BCNN(8,9,21). Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.
Với mỗi số nguyên tố, nâng lũy thừa bậc cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. Bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và 71. Do đó,
Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu quả để phân tích số nguyên, nhưng nó hiệu quả trong việc minh họa khái niệm. Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common divisor (GCD), greatest common factor (GCF), highest common factor (HCF), greatest common measure (GCM), hay highest common divisor (HCD). Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của các số đó. Nếu trong các số đó có ít nhất một số bằng 0 và ít nhất một số khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của các số khác 0. Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]Ước chung lớn nhất của a0, a1, a2,... an được ký hiệu là ƯCLN(a0, a1, a2,... an) Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45? Ta có:
Những số nằm trong cả hai danh sách được gọi là những ước chung của 27 và 45: Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN(27,45)=9 Số nguyên tố cùng nhau[sửa | sửa mã nguồn]Các số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là hai số nguyên tố cùng nhau. Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN(42, 56)=14, do đó,
Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]
Tính toán[sửa | sửa mã nguồn]Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:
Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5. Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm ƯCLN của một tập hợp các số. Ví dụ: Tìm giá trị của ƯCLN(12, 32, 60). Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.
Với mỗi thừa số nguyên tố có chung trong tất cả các số, nâng lũy thừa bậc thấp nhất, tích của chúng cho ta giá trị ƯCLN cần tìm. Thừa số 2 có ở cả ba số, có bậc thấp nhất là 22. Do đó:
Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ. Việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian. Để tìm ƯCLN của 2 số tự nhiên thì phương pháp hiệu quả là giải thuật Euclid dựa trên dãy liên tiếp các phép chia có dư. Tính qua bội số chung nhỏ nhất[sửa | sửa mã nguồn]Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thể tính qua bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b: Ước chung lớn nhất bằng 1 khi nào?Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1. Ước chung lớn nhất dùng để làm gì?Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Bội chung nhỏ nhất kí hiệu là gì?Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b). Ước chung lớn nhất của 56 và 140 là bao nhiêu?– Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7. ⇒ ƯCLN (56, 140) = 22 . 7 = 28 (số mũ của 2 nhỏ nhất là 2; số mũ của 7 đều bằng 1). |
