Các bài toán liên quan tới đẳng thức năm 2024

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những phần kiến thức Toán học quan trọng mà bất kỳ học sinh nào cũng cần nắm vững. Việc ghi nhớ và áp dụng thành thạo các hằng đẳng thức không chỉ nâng cao kỹ năng giải Toán đại số của học sinh mà còn tăng cường sự hiểu biết về quan hệ số học. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết cách tiếp cận chuyên đề này một cách chính xác và hiệu quả. Vì vậy, trong bài viết này, Trường Việt Anh sẽ tổng hợp chi tiết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và những mẹo ghi nhớ hiệu quả, dễ áp dụng.

Hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?

Trong toán học sơ cấp, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà học sinh cần ghi nhớ và nắm vững khi học môn Toán. Hằng đẳng thức gồm hai vế được ngăn cách bởi dấu “=”, một bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên còn lại là tích hoặc lũy thừa. Các hằng đẳng thức đáng nhớ được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ nằm trong nhóm các hằng đẳng thức đại số cơ bản. Tuy nhiên, đây cũng là chuyên đề khá khó bởi vì chúng được “biến tấu” thành nhiều dạng bài tập phức tạp. Do đó, cách duy nhất để nắm vững các hằng đẳng thức này là luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức trong suốt chương trình Toán THCS, THPT thậm chí Đại học. Bằng cách học thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh có thể tự tin giải các bài toán yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử một cách dễ dàng và nhanh chóng.

Công thức cụ thể của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Việc ghi nhớ công thức và thực hành giải bài tập thường xuyên 7 hằng đẳng thức sẽ giúp học sinh giải nhanh các dạng bài tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức và giải hệ phương trình đối xứng. Nhìn chung, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ có định nghĩa và công thức cụ thể như sau:

Công thứcĐịnh nghĩa(A + B)² = A² + 2AB + B² Bình phương của một tổng (A + B)² sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất A² cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².(A – B)² = A² – 2AB + B²Bình phương của một hiệu (A – B)² sẽ bằng bình phương của số thứ nhất A² trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².A² – B² = (A – B)(A + B)Hiệu của hai bình phương của hai số A² – B² sẽ bằng hiệu của hai số đó A – B nhân với tổng của hai số đó A + B.(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3Lập phương của một tổng của hai số (A + B)3 sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai B3.(A – B)3 = A3 – 3A2B +3AB2 – B3Lập phương của một hiệu của hai số (A – B)3 sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai B3.A3 + B3 = (A + B)(A2 -AB + B2)Tổng của hai lập phương của hai số A3 + B3 sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai A + B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 -AB + B2.A3 – B3 = (A – B)(A2 +AB + B2)Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai A – B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 +AB + B2.

Hằng đẳng thức bình phương của một tổng (A + B)²

Hằng đẳng thức bình phương của một tổng (A + B)² là một công thức cơ bản nhưng không kém phần quan trọng giúp học sinh dễ dàng tính biểu thức chứa phép nhân hai số hữu tỉ.

Định nghĩa: Bình phương của một tổng (A + B)² sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất A² cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Công thức này có dạng:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu (A – B)²

Để tính nhanh các giá trị của các biểu thức chứa bình phương hiệu hai số, ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu (A – B)².

Định nghĩa: Bình phương của một hiệu (A – B)² sẽ bằng bình phương của số thứ nhất A² trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Công thức này có dạng:

(A – B)² = A² – 2AB + B²

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương A² – B²

Hằng đẳng thức A² – B² thường được áp dụng để tính nhanh hiệu hai bình phương.

Định nghĩa: Hiệu của hai bình phương của hai số A² – B² sẽ bằng hiệu của hai số đó A – B nhân với tổng của hai số đó A + B.

Công thức được biểu diễn dưới dạng:

A² – B² = (A – B)(A + B)

Hằng đẳng thức lập phương của một tổng (A + B)³

Đây là một trong 7 hằng đẳng thức giúp học sinh tính nhanh lập phương của tổng hai số hữu tỉ mà không cần phải tính lập phương bằng cách nhân ba lần tổng đó.

Định nghĩa: Lập phương của một tổng của hai số (A + B)³ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai B3.

Công thức được biểu diễn dưới dạng:

(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3

Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu (A – B)³

Ở hằng đẳng thức đáng nhớ này, học sinh có thể tìm ra hiệu hai lập phương hiệu hai số hữu tỉ một cách nhanh chóng, chính xác.

Định nghĩa: Lập phương của một hiệu của hai số (A – B)3 sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai B3.

Công thức được biểu diễn dưới dạng:

(A – B)3 = A3 – 3A2B +3AB2 – B3

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương A³ + B³

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương là một công thức toán học quan trọng, thường được sử dụng để mở rộng hoặc phân tích các biểu thức trong đại số.

Định nghĩa: Tổng của hai lập phương của hai số A3 + B3 sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai A + B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 – AB + B2.

Công thức của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là:

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương A³ – B³

Khi muốn tính giá trị hoặc mở rộng hiệu của hai lập phương, học sinh nên dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương A³ – B³.

Định nghĩa: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai A – B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 +AB + B2.

Công thức được biểu diễn dưới dạng:

A3 – B3 = (A – B)(A2 +AB + B2)

Các hằng đẳng thức mở rộng

Bên cạnh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản phía trên, các hằng đẳng thức mở rộng bậc hai, bậc ba, tổng quát cũng được áp dụng linh hoạt để giải quyết các dạng toán đại số và hình học nâng cao.

Hằng đẳng thức mở rộng bậc hai

Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng là một công thức nâng cao của công thức bình phương tổng hai số (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Hằng đẳng thức này cho phép tính bình phương của tổng ba số hữu tỉ bất kỳ.

Công thức có hai dạng tương ứng với tổng và hiệu ba số:

1. (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
2. (a – b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 – 2ab – 2bc + 2ac

Trong đó a, b, c là bất kỳ số hữu tỉ nào.

Để dễ hình dung, chúng ta hãy lấy ví dụ cụ thể với a = 2, b = 3, c = 4:

Do đó, ta có:

(2 + 3 + 4)^2

\= 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(23) + 2(34) + 2(4*2)

\= 4 + 9 + 16 + 12 + 24 + 16

\= 81

Như vậy, bình phương của tổng 2 + 3 + 4 bằng 81. Nhờ áp dụng công thức trên mà chúng ta tính được kết quả nhanh chóng, dễ dàng hơn nhiều so với phương pháp nhân ba dấu ngoặc đóng mở.

Hằng đẳng thức mở rộng bậc ba

Hằng đẳng thức bậc ba hay còn gọi là công thức đa thức bậc 3. Nếu biết cách áp dụng nhuần nhuyễn các hằng đẳng thức mở rộng bậc ba này, các bạn học sinh có thể giải quyết các bài toán đại số, tổ hợp học và lý thuyết số phức tạp hơn. Dưới đây là các dạng hằng đẳng thức mở rộng bậc 3 cơ bản:

• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( a + c )( b + c )
• a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a + b + c )( a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc )
• a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab( a + b )
• a3 – b3 = ( a – b )3 + 3ab( a – b )

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

Hằng đẳng thức bình phương của n số hạng là một công thức toán học mở rộng có tính chất tổng quát, áp dụng cho mọi số nguyên n lớn hơn 2. Công thức này được viết dưới dạng:

a^n = a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + a^2b^(n-3) + ab^(n-2) + b^(n-1)

Ở đây, a và b là hai số nguyên bất kỳ. Công thức này có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc thông qua phân tích nhân tử của công thức tổng quát.

Ví dụ, khi n=3, hằng đẳng thức bình phương của 3 số hạng là:

a^3 = a^2 + ab + b^2

Khi n=4, công thức sẽ trở thành:

a^4 = a^3 + a^2b + ab^2 + b^3

Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi n = 2, công thức này trở thành:

a^2 = a + b

Cách ghi nhớ 7 hằng đẳng thức một cách hiệu quả

Để ghi nhớ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán học một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng một số phương pháp sau:

• Áp dụng những câu thơ hoặc sử dụng các câu “thần chú” để thuộc lòng các hằng đẳng thức một cách logic nhất.
• Hiểu được cốt lõi, công dụng của từng hằng đẳng thức sẽ giúp các bạn học sinh dễ ghi nhớ và giải toán nhanh hơn.
• Tìm cách liên hệ các công thức với những ví dụ thực tế, các tình huống trong cuộc sống để kiến thức được ghi nhớ lâu hơn.
• Sử dụng phương pháp ghi nhớ bằng thị giác (Visual Memory) bằng cách sử dụng Mindmap hoặc hình ảnh minh họa cho các hằng đẳng thức sẽ giúp não bộ ghi nhớ hiệu quả hơn so với việc chỉ đọc lý thuyết.
• Thay vì đọc nhẩm công thức nhiều lần như phương pháp truyền thống thì học sinh nên đọc to công thức, giúp tai và mắt đều tiếp nhận thông tin cùng lúc.
• Thực hành 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào nhiều dạng bài tập sẽ giúp quá trình ghi nhớ được lâu hơn.
• Khi viết, đặt những hằng đẳng thức tương tự nhau hoặc có liên quan gần nhau để dễ dàng liên tưởng và ghi nhớ hơn.
• Chia sẻ, giải thích các công thức cho bạn bè hoặc người xung quanh bởi điều này sẽ khiến bạn nhớ sâu hơn những điều mà mình đã giảng giải.
  
  Rèn luyện phát triển tư duy toán học logic cho học sinh

  Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2 đơn giản kèm theo File bài tập

Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Để giúp các bạn thực hành và vận dụng khéo léo các 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã học, Trường Việt Anh xin giới thiệu đến bạn các bạn học sinh một số dạng toán thường áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hay xuất hiện trong các bài kiểm tra như sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất cho biểu thức – áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Khi giải các bài toán đại số, học sinh thường gặp bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với biến số cho trước. Để giải quyết dạng bài này, ta có thể áp dụng phương pháp biến đổi sử dụng các hằng đẳng thức đã học để rút gọn biểu thức về dạng tổng của một hằng số và một đa thức bậc nhất hoặc bậc hai không âm.

Cụ thể, với biểu thức A(x), ta cố gắng biến đổi về dạng: A(x) = n + Q(x) ≥ n

Trong đó:

• n là một hằng số
• Q(x) ≥ 0 với mọi x

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của A(x) chính là n, và được đạt khi Q(x) = 0.

Để minh họa, chúng ta cùng xét ví dụ sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 – 2x + 5

Cách giải như sau:

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương hiệu, ta biến đổi được:

P = x^2 – 2x + 5 = (x – 1)^2 + 4

Vì (x – 1)^2 ≥ 0 với mọi x, nên (x – 1)^2 + 4 ≥ 4

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của P là 4, đạt được khi (x – 1)^2 = 0 <=> x = 1

Tìm giá trị lớn nhất cho biểu thức

Tương tự như tìm giá trị nhỏ nhất, để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức đa thức A(x), ta cần biến đổi biểu thức đó về dạng hiệu của một hằng số m và một đa thức bậc cao không dương:

A(x) = m – Q(x) ≤ m Trong đó:

• m là một hằng số
• Q(x) ≥ 0 với mọi x

Như vậy, giá trị lớn nhất của A(x) chính là m, đạt được khi Q(x) = 0.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x – x^2 + 3

Cách giải:

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, ta biến đổi được:

A = 4x – x^2 + 3 = 7 – (x^2 – 4x + 4) = 7 – (x – 2)^2

Vì (x – 2)^2 ≥ 0 với mọi x, nên A = 7 – (x – 2)^2 ≤ 7

Suy ra, giá trị lớn nhất của A là 7, đạt được khi (x – 2)^2 = 0 <=> x = 2

Tính giá trị của biểu thức

Đối với dạng bài tập tính giá trị biểu thức, ta có thể áp dụng phương pháp như sau:

• Biến đổi biểu thức đã cho thành dạng phù hợp với các hằng đẳng thức đã học để áp dụng.
• Sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn, biến đổi biểu thức thành dạng liên quan tới các giá trị đã cho trong đề bài.
• Thay các giá trị đã cho vào biểu thức đã biến đổi để tính được giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức A = x^3 + 3xy + y^2

Cách giải:

Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta biến đổi:

A = x^3 + 3xy + y^2

\= (x + y)(x^2 – xy + y^2) + 3xy

\= (x + y)((x + y)^2 – 3xy) + 3xy

\= (1)((1)^2 – 3xy) + 3xy (vì x + y = 1)

\= 1 – 3xy + 3xy = 1

Như vậy, giá trị của biểu thức A với x + y = 1 là 1.

Để giải quyết tốt dạng bài này, học sinh cần:

• Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để vận dụng linh hoạt.
• Biết cách biến đổi, rút gọn biểu thức đa thức thành nhiều dạng khác nhau.
• Thao tác nhuần nhuyễn việc thay giá trị và tính toán.

Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Để làm dạng bài chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến thuộc chuyên đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, ta cần thu gọn biểu thức sao cho biểu thức không còn biến x. Sau đó ta có thể kết luận rằng biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc biến x:

( x − 2 )( x + 1 ) − ( x + 2 )( x − 3 )

Lời giải chi tiết:

( x − 2 ) ( x + 1 ) − ( x + 2 ) ( x − 3 )

\= (x2 + x − 2 x − 2)− (x2 − 3x + 2x − 6)

\= x2 + x − 2x − 2 − x2 + 3x − 2x + 6

\= (x2 − x2) + (x − 2x + 3x − 2x) + (6 − 2)

\= 4

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Khi làm các bài toán đại số liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, thường có yêu cầu chứng minh hai biểu thức đã cho là tương đương hay bằng nhau. Để giải được dạng bài này, chúng ta cần biến đổi sao cho cả hai vế của đẳng thức về cùng một dạng biểu thức.

Cụ thể, các bạn học sinh có thể áp dụng các quy tắc nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức để biến đổi từng vế.

Ví dụ minh họa:

Chứng minh: (x^2 – xy – y)(x + y) + xy(y + 1) = x^3 – y^2

Cách giải như sau:

Biến đổi vế trái:

VT = (x^2 – xy – y)(x + y) + xy(y + 1)

\= x^3 + x^2y – x^2y – xy^2 -xy – y^2 + xy^2 + xy

\= x^3 – y^2

Như vậy, vế trái đã bằng vế phải. Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức ban đầu là đúng.

Để giải quyết tốt dạng bài này, học sinh cần:

• Thành thạo phép nhân đa thức, khai triển đa thức.
• Rèn luyện kỹ năng biến đổi, rút gọn biểu thức.
• Có khả năng suy luận logic, tổng quát hóa vấn đề.

Chứng minh bất đẳng thức

Đây là một trong những dạng toán gây khó khăn cho học sinh trung học cơ sở bởi độ phức tạp, kỹ năng biến đổi, suy luận logic cao. Chứng minh bất đẳng thức nghĩa là ta phải chứng tỏ một bất đẳng thức luôn đúng với tất cả các giá trị thỏa mãn điều kiện đã cho. Điều quan trọng là các bạn học sinh phải hiểu rõ ý nghĩa của các dấu bất đẳng >, <, ≥, ≤. Sau đó, ta sẽ biến đổi hai vế của bất đẳng thức bằng cách sử dụng các phép tính đại số và các tính chất của đẳng thức. Cuối cùng, so sánh hai vế đã biến đổi để kết luận xem bất đẳng thức ban đầu có đúng hay không.

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y thỏa mãn bất đẳng thức sau: (x^3 + y^3) / (x + y) ≥ (xy)^(3/2)

Lời giải:

• Bước 1: Nhận diện điều kiện đã cho là x, y là số thực dương.
• Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng – Trung bình nhân) cho x^3 và y^3 với trọng số 1 và 1: (x^3 + y^3)/2 ≥ (x^3 * y^3)^{(1/2) (Sử dụng tính chất a^n * b^n = (a*b)^n) <=> (x^3 + y^3)/2 ≥ (xy)}(3/2)
• Bước 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức trên cho 2/(x + y) 2(x^3 + y^3)/(x + y) ≥ 2(xy)^(3/2)/(x + y)
• Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM lần nữa cho x và y với trọng số 3 và 3: (3x + 3y)/6 ≥ (x*y)^{(1/2) <=> (x + y)/2 ≥ (xy)}(1/2)
• Bước 5: Nhân hai vế của bất đẳng thức trên cho (xy) (x^2 + y^2)/2 ≥ (xy)^(3/2)
• Bước 6: So sánh hai bất đẳng thức ở bước 3 và bước 5, ta thấy bất đẳng thức ở bước 3 mạnh hơn. Do đó, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Phân tích đa thức thành nhân tử – bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử yêu cầu biểu diễn một đa thức dưới dạng tích của các nhân tử đơn giản hơn. Để làm được điều này, học sinh cần vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản liên quan đến phép nhân, lũy thừa và căn thức.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1. 10y + 8y2
2. 6p2 − 2p − 9pq + 3q

Cách giải:

1. 10y + 8y2 = 2y. (5) + 2y.(4y) = 2y(5 + 4y)
2. 6p2 − 2p − 9pq + 3q

\= ( 6p2 − 2p) − ( 9pq − 3q )

\= 2 p (p − 3) − 3qp − 3)

\= (p – 3)(2p – 3q)

Tìm giá trị của x

Cuối cùng trong danh sách bài tập áp dụng của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các bạn học sinh cần chú ý là dạng toán tìm giá trị của x. Để làm được dạng toán này, học sinh cần hiểu và biết cách áp dụng hợp lý các kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ, đồng thời sử dụng linh hoạt kỹ năng tư duy một cách logic.

Ví dụ:

Tìm x biết: ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.

Cách giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức (a – b)( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3.

( a – b )( a + b ) = a2 – b2.

Khi đó ta có: ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0

⇔ x3 – 33 + x( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x( 4 – x2 ) = 0

⇔ x3 – x3 + 4x – 27 = 0

⇔ 4x – 27 = 0 ⇔ x = 27/4

Vậy giá trị x cần tìm là x= 27/4.

Bài tập có đáp án về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức trọng tâm thường xuất hiện trong nhiều bài kiểm tra Toán. Do đó, việc ôn luyện kỹ phần kiến thức này là điều không bao giờ thừa. Với mỗi bài tập được cho bên dưới, các bạn học sinh hãy tìm cách áp dụng những hằng đẳng thức đã được học để rút gọn biểu thức, tính toán nhanh gọn kết quả một cách chính xác nhất.

Bài 1: Biến đổi các biểu thức sau bằng việc áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

d, (x – 1)2

e, (3 – y)2

f, (x – 1/2)2

Bài 2: Rút gọn biểu thức – Bài tập ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau trên cơ sở áp dụng các hằng đẳng thức đã học

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 97

Bài 4: Chứng minh rằng:

(a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

Bài 5: Chứng minh công thức sau:

Chứng minh rằng 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức sau:

M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Sau khi giải xong, đừng quên tham khảo đáp án và lời giải để đối chiếu, củng cố kiến thức nhé!

Đáp án

Đáp án bài 1:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

d, (x – 1)2 = x2 – 2x + 1

e, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

f, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Đáp án bài 2:

a, (x + y)2 + (x – y)2

\= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

\= 2×2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

\= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

\= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

\= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Đáp án bài 3:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

\= (87 + 13)(87 – 13)

\= 100.74 = 7400

b, Ta có: x3 + 9×2 + 27x + 27

\= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

\= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Đáp án bài 4:

Trả lời:

Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)

\= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Như vậy, vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Đáp án bài 5:

Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –( x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 – 1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Đáp án bài 6:

Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

\= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Trên đây là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã được trình bày chi tiết về công thức cũng như cách ghi nhớ nhanh. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nhanh chóng nắm vững và làm chủ kiến thức nền tảng quan trọng này. Có thể thấy, việc thực hành thường xuyên, áp dụng kiến thức linh hoạt vào các dạng bài tập đa dạng sẽ giúp bạn phát triển tư duy toán học một cách vững chắc. Chính vì vậy, Trường Việt Anh đặc biệt chú trọng đào tạo môn Toán theo phương pháp hiện đại, tạo môi trường học tập thú vị và hiệu quả để khuyến khích sự phát triển toàn diện cho học sinh. Nếu các bậc phụ huynh đang tìm kiếm một môi trường giáo dục giáo dục tiên tiến, chú trọng phát triển tư duy và kỹ năng thực hành cho con em mình, hãy liên hệ với Trường Việt Anh ngay hôm nay.