Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ chia sẻ với bạn không chỉ lý thuyết mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm phương pháp luôn có ví dụ kèm lời giải chi tiết. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với hy vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta bắt đầu Show
Mục Lục
1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phứca) Căn bậc hai của số phứcCho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w b) Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a,\,b,\,c\in \mathbb{R};\,a\ne 0 \right)$. Xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, ta có
Chú ý.
2. Các dạng bài tập giải phương trình số phứcDạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|. Lời giải Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=-12$ Căn bậc hai của là $\pm i\sqrt{12}$ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${{z}_{1}}=\frac{2+i\sqrt{12}}{2}$ và ${{z}_{1}}=\frac{2-i\sqrt{12}}{2}$ Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện KVí dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện a) (2 i)x + (2 + y)i = 2 + 2i b) $\frac{{x 2}}{{1 + i}} + \frac{{y 3}}{{1 i}} = i$ Lời giải Dạng 3. Tính giá trị của biểu thứcPhương pháp giải Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện đã cho để tìm số phức z Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}\ne 0,$ ${{z}_{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)}^{4}}$ Lời giải Chuẩn hóa ${{z}_{1}}=1,$ đặt ${{z}_{2}}=a+bi,\left( a,b\in R \right),$ khi đó $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phứcPhương pháp giải Các bất đẳng thức cổ điển Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z| Lời giải Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| Lời giải Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướngPhương pháp giải Ví dụ . Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2| Lời giải Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giaoPhương pháp giải Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y R) thỏa mãn |z + 2 2i | = |z 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|. Lời giải 3. Bài tập phương trình số phứcCâu 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là: A. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right)$ B. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$ C. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$ D. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right)$ Lời giải Ta có: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.2.1=-7=7{{i}^{2}}<0$ nên phương trình có hai nghiệm phức là: ${{x}_{1,2}}==\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{4}$ Câu 2. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $\left| z \right|+z=2+4i$ có nghiệm là: A. $z=-3+4i$ B. $z=-2+4i$ C. $z=-4+4i$ D. $z=-5+4i$ Lời giải Đặt $z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$. Thay vào phương trình: $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi=2+4i$ Suy ra $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 3 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Ta chọn đáp án A. Câu 3. Hai giá trị ${{x}_{1}}=a+bi\,;\,{{x}_{2}}=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình: A. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$ B. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ C. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$ D. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ Lời giải Áp dụng định lý đảo Viet : $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = 2a \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Do đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-Sx+P=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$ Ta chọn đáp án A. Câu 4. Trong $\mathbb{C}$, nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{5}=0$ là: A. $\left[ \begin{gathered} z = \sqrt 5 \hfill \\ z = \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ B. $\left[ \begin{gathered} z = \sqrt[4]{5}i \hfill \\ z = \sqrt[4]{5}i \hfill \\ \end{gathered} \right.$ C. $\sqrt{5}i$ D. $-\sqrt{5}i$ Lời giải ${{z}^{2}}+\sqrt{5}=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}=-\sqrt{5}\Leftrightarrow z=\pm i\sqrt[4]{5}$ Ta chọn đáp án A. Câu 5. Trong $\mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-6{{z}^{2}}+25=0$ có nghiệm là: A. $\pm 8 & \,;\,\pm 5i$ B. $\pm 3\,;\,\pm 4i$ C. $\pm 5 & \,;\,\pm 2i$ D. $\pm \left( 2+i \right) & \,;\,\pm \left( 2-i \right)$ Lời giải $\begin{gathered} {z^4} 6{z^2} + 25 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{z^2} 3} \right)^2} + 16 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {z^2} 3 = \pm 4i \hfill \\ \Leftrightarrow {z^2} = 3 \pm 4i \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = \pm \left( {2 + i} \right) \hfill \\ z = \pm \left( {2 i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $ Ta chọn đáp án A. Câu 6. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}=|z{{|}^{2}}+\overline{z}$? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Gọi $z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có: $\begin{gathered} {z^2} = |z{|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a bi \hfill \\ \Leftrightarrow a + 2{b^2} bi 2abi = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + 2{b^2}} \right) + \left( { b 2ab} \right)i = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 \hfill \\ b + 2ab = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} b = 0 \hfill \\ a = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = \pm \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $ Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta chọn đáp án A. Câu 7. Phương trình $\left( 2+i \right){{z}^{2}}+az+b=0\,\left( a,b\in \mathbb{C} \right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$ A. -9-2i B. 15+5i C. 9+2i D. 15-5i Lời giải Theo Viet, ta có: $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{a}{2+i}=4-i\Leftrightarrow a=\left( i-4 \right)\left( i+2 \right)\Leftrightarrow a=-9-2i$ Ta chọn đáp án A. Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. $I\left( 1;1 \right)$ B. $I\left( -1;0 \right)$ C. $I\left( 0;1 \right)$ D. $I\left( 1;0 \right)$ Lời giải ${{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}+4=0\Leftrightarrow z=1\pm 2i$ $\Rightarrow A\left( 1;2 \right);\,B\left( 1;-2 \right)$ Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $I\left( 1;0 \right)$. Ta chọn đáp án A. Câu 9. Phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là: A. $2\pm i\sqrt{2}$hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$ B. $2\pm i\sqrt{2}$hoặc $1\pm 2i\sqrt{2}$ C. $1\pm 2i\sqrt{2}$ hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$ D. $-1\pm 2i\sqrt{2}$ hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$ Lời giải $\begin{gathered} {x^4} + 2{x^2} 24x + 72 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} 4x + 6} \right)\left( {{x^2} + 4x + 12} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} 4x + 6 = 0 \hfill \\ {x^2} + 4x + 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\left( {x 2} \right)^2} + 2 = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} \right)^2} + 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \pm \sqrt 2 i \hfill \\ x = 2 \pm 2\sqrt 2 i \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $ Ta chọn đáp án A. Câu 10. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+7=0$. Khi đó $A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$ có giá trị là: A. 23 B. $\sqrt{23}$ C. 13 D. $\sqrt{13}$ Lời giải Theo Viet, ta có: $\left\{ \begin{gathered} S = {z_1} + {z_2} = \frac{b}{a} = \sqrt 3 \hfill \\ P = {z_1}.{z_2} = \frac{c}{a} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\begin{gathered} A = z_1^4 + z_2^4 \hfill \\ = {\left( {{S^2} 2P} \right)^2} 2{P^2} \hfill \\ = {\left( {3 2.7} \right)^2} 2.49 \hfill \\ = 23 \hfill \\ \end{gathered} $ Ta chọn đáp án A. |
