- 1. A. CÂU HỎI.......................................................................................................................................................... 2 Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ............................................................................................................. 2 Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton.......................................................................................... 3 Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức............................................................................................................................. 3 Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ...............................................................................................3 Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k......................................................................................................4 Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ............................5 Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)................................................................................8 Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức....................................................................................................................11 Dạng 2.2.1 Dạng 1 2 ... n ka a a ...........................................................................................................11 Dạng 2.2.2 Tổng 1 1 2 2 ... n m h k ka b a b a b .........................................................................12 Dạng 2.2.3 Tích 1 1.. . ... m l n na a b b ...........................................................................................12 Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng.....................................................................................................13 Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán............................................................................................................13 Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO................................................................................................................................. 14 Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ...........................................................................................................14 Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton........................................................................................16 Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức...........................................................................................................................16 Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng .............................................................................................16 Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k....................................................................................................18 Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ..........................20 Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)..............................................................................27 Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức....................................................................................................................31 Dạng 2.2.1 Dạng 1 2 ... n ka a a ...........................................................................................................31 Dạng 2.2.2 Tổng 1 1 2 2 ... n m h k ka b a b a b .........................................................................33 Dạng 2.2.3 Tích 1 1.. . ... m l n na a b b ...........................................................................................35 Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng.....................................................................................................35 Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán............................................................................................................36 NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
- 2. HỎI Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton Câu 1. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển 50 2x là A. 49 . B. 50. C. 52. D. 51. Câu 2. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức 2018 2 3x A. 2019 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2020 . Câu 3. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn 5 x y . A. 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5x x y x y x y xy y . B. 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5x x y x y x y xy y . C. 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5x x y x y x y xy y . D. 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5x x y x y x y xy y . Câu 4. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2019 (3 2 )x có bao nhiêu số hạng? A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021. Câu 5. Từ khai triển biểu thức 10 1x thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 . Câu 6. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức 10 1x thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 . Câu 7. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong khai triển 2018 1 2x . A. 1 . B. 1. C. 2018 . D. 2018 . Câu 8. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển 1244 ( 5 7) . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30. B. 31. C. 32. D. 33. Câu 9. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của 20183 ( ) ( 2 3)P x x thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương? A. 673. B. 675. C. 674. D. 672. Câu 10. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển 20 2 20 0 1 2 201 2 ... .x a a x a x a x Giá trị của 0 1 2a a a bằng A. 801. B. 800. C. 1. D. 721. Câu 11. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức 2019 3 5 3 5 ? A. 136. B. 403. C. 135. D. 134.
- 3. Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của 20191 1 1 1 15 3 3 5 x y x y , số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển? A. 1348. B. 1346. C. 1345. D. 1347 . Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển 20 2 0 1 2 20 201 2x a a x a x a x . Giá trị của 0 1 2 20a a a a bằng: A. 1. B. 20 3 . C. 0 . D. 1 . Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng Câu 14. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển nhị thức 12 2 x x x (với 0x ) là: A. 376. B. 264 . C. 264. D. 260. Câu 15. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển nhị thức 13 1 x x , (với 0x ). A. 1716. B. 68. C. 176. D. 286. Câu 16. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của 31 x trong khai triển 40 2 1 , 0x x x là. A. 4 40C . B. 2 40C . C. 3 40C . D. 5 40C . Câu 17. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển 4 1 3 4 4 x A. 27 128 . B. 9 32 . C. 27 32 . D. 27 64 . Câu 18. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của 2 x trong khai triển 1 2 n x bằng 180.Tìm n . A. 8n . B. 12n . C. 14n . D. 10n . Câu 19. (HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển 10 1 x . A. 90. B. 720 . C. 120. D. 45 . Câu 20. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa 5 x trong khai triển 7 2 2 x x . A. 84h . B. 672h . C. 560h . D. 280h .
- 4. Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa 6 x trong khai triển Newton 15 2 2 x x là A. 3640 . B. 3640. C. 455. D. 1863680 Câu 22. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của 25 10 x y trong khai triển 153 .x xy A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005. Câu 23. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển 6 2 x x với 0x . Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển trên A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . Câu 24. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển 6 2 x x với 0x . Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển trên A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . Câu 25. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của 2 x trong khai triển của 1 3 n x là 90. Tìm n. A. 7n . B. 6n . C. 8n . D. 5n . Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k Câu 26. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển 15 2 x bằng? A. 13 3640x . B. 12 3640x . C. 12 420x . D. 3640. Câu 27. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa trong khai triển 9 1 2 x x . A. 3 3 9 1 8 C x . B. 3 3 9 1 8 C x . C. 3 3 9C x . D. 3 3 9C x . Câu 28. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa 7 x trong khai triển 13 1 x x . A. 3 13C . B. 3 7 13C x . C. 4 7 13C x . D. 4 13C . Câu 29. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa 31 x trong khai triển 40 2 1 x x ? A. 4 31 40 C x . B. 37 31 40 C x . C. 37 31 40 C x . D. 3 31 40 C x . Câu 30. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa 34 x trong khai triển 40 1 x x là 3 x
- 5. x . B. 3 34 40C x . C. 2 34 40C x . D. 4 34 40C x . Câu 31. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa 2 x trong khai triển 1 4 n x là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu? A. 28 . B. 26 . C. 24 . D. 20 . Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của 2 x trong khai triển của 1 3 n x là 90. Tìm n . A. 5n . B. 8n . C. 6n . D. 7n . Câu 33. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của 2 x trong khai triển 1 2 n x bằng 180 . Tìm n . A. 12n . B. 14n . C. 8n . D. 10n . Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển của biểu thức 5 3 2 2 3x x . A. 810 . B. 826 . C. 810 . D. 421. Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa 31 x trong khai triển 40 2 1 x x . A. 37 40C . B. 31 40C . C. 4 40C . D. 2 40C . Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển 6 2 x x , hệ số của 3 0x x là: A. 80. B. 160. C. 240 . D. 60 . Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n Câu 37. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 2 2. 2 . ... 2 . 59049n n n n n nC C C C . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của 2 3 n x x có giá trị bằng 81 2 n . Khi đó giá trị của x bằng A. 1 B. 2 . C. 1 D. 2 . Câu 38. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2 3 1 2 n x x , trong đó số nguyên dương n thỏa mãn 3 72nA n . Tìm số hạng chứa 5 x trong khai triển. A. 6 4 5 102 C x . B. 5 5 5 102 C x . C. 7 3 5 102 C x . D. 6 7 5 102 C x . Câu 39. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 3 2 n x x 0x , biết rằng 1 2 3 1. 2. 3. ... . 256n n n n nC C C n C n ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 489888 B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 .
- 6. HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho khai triển 1 0 11 3 ... n n nx a a x a x trong đó *n và các hệ số thỏa mãn hệ thức 1 0 ... 4096 3 3 n n aa a . Tìm hệ số ia lớn nhất. A. 1732104. B. 3897234. C. 4330260. D. 3247695. Câu 41. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của 6 x trong khai triển 3 1 31 n x x với 0,x biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1 23 4 .n nC nP A A. 6 210 .x B. 210. C. 6 120 .x D. 120. Câu 42. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa 6 x trong khai triển 2 3 2 n x x 0x , biết rằng 2 3 2 14 1 3n nC C n k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 326592. B. 3265922 C. 3265592 D. 32692. Câu 43. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa 26 x trong khai triển 7 4 1 n x x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 1 2 20 2 1 2 1 2 1... 2 1 n n n nC C C . A. 325. B. 210 . C. 200 . D. 152 . Câu 44. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn 6 2 4 454n n nC nA , hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 32 n x x ( với 0x ) bằng A. 1972. B. 786 . C. 1692. D. 1792 . Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 13n nC C n , hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển của biểu thức 2 3 1 n x x bằng. A. 120. B. 252 . C. 45 . D. 210 . Câu 46. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1 4 6n n nA C C n . Hệ số của số hạng chứa 9 x của khai triển biểu thức 2 3 n P x x x bằng: A. 18564. B. 64152 . C. 192456. D. 194265. Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 78n n n nC C , số hạng chứa 8 x trong khai triển 3 2 n x x là A. 8 101376x . B. 101376 . C. 112640 . D. 8 101376x . Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 13 3 52 1n nC A n . Trong khai triển biểu thức 3 2 2 n x y , gọi kT là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của kT là A. 54912 . B. 1287 . C. 2574 . D. 41184 .
- 7. GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 5 5n nC C . Tìm hệ số a của 4 x trong khai triển của biểu thức 2 1 2 n x x . A. 11520a . B. 256a . C. 45a . D. 3360a . Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3 3 40n n nA C . Hệ số của 6 x trong khai triển 2 1 2 n x x là A. 1024. B. 1024 . C. 1042 . D. 1042. Câu 51. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với n là số nguyên dương thoả mãn 2 1 3 120n nA C , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 4 3 n x x bằng A. 295245 . B. 245295 . C. 292545 . D. 259254 . Câu 52. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 , 0 , 2 2 n n x x x biết số nguyên dương n thỏa mãn 3 2 50.n nC A A. 97 12 . B. 29 51 . C. 297 512 . D. 279 215 . Câu 53. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 3 2 n x x 0x , biết rằng 1 2 3 1. 2. 3. ... 256n n n n nC C C nC n ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 489888 . B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 . Câu 54. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Giả sử có khai triển 2 0 1 21 2 ... n n nx a a x a x a x . Tìm 5a biết 0 1 2 71.a a a A. 672 . B. 672 . C. 627 . D. 627 . Câu 55. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3 10n nA C , tìm hệ số 5a của số hạng chứa 5 x trong khai triển 2 3 2 n x x với 0x . A. 5 10a . B. 5 5 10a x . C. 5 5 10a x . D. 5 10a . Câu 56. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển 2 1 3 n x biết 3 2 2 100n nA A A. 61236 . B. 63216 . C. 61326 . D. 66321. Câu 57. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1 1 2 2 3 3 3 ..... 1 2048 nn n n n n n n nC C C C . Hệ số của 10 x trong khai triển 2 n x là: A. 11264. B. 22 . C. 220 . D. 24 .
- 8. VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển 2 1 3 n x x biết hệ số của 3 x là 4 5 3 nC . Giá trị n có thể nhận là A. 9 . B. 12. C. 15. D. 16. Câu 59. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 5 3 1 ; 0 n x x x biết 1 4 3 7 3n n n nC C n là A. 1303. B. 313. C. 495 . D. 13129. Câu 60. (CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của 4 x trong khai triển nhị thức Newton 5 1 2 n x x với 0x , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn 5 4 218n nA A . A. 8064 . B. 3360. C. 13440. D. 15360. Câu 61. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 1 n x x biết 2 2 105n nA C . A. 3003 . B. 5005 . C. 5005. D. 3003. Câu 62. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển thành đa thức của 2 2 3 n x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 0 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1... 1024n n n n nC C C C . A. 2099529 . B. 2099520 . C. 1959552 . D. 1959552. Câu 63. [HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 78n n n nC C , số hạng chứa 8 x trong khai triển 3 2 n x x là A. 8 101376x . B. 101376 . C. 112640 . D. 8 101376x . Câu 64. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Tìm số hạng chứa 5 x trong khai triển 2 , n x x biết n là số tự nhiên thỏa mãn 3 24 2 3 n nC n C A. 134 B. 144 C. 115 D. 141 Câu 65. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 3 2 n x x , biết n là sô nguyên dương thỏa mãn 1 2 78n n n nC C . A. 112640. B. 112643. C. 112640 . D. 112643 . Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) Câu 66. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong khai triển 9 2 8 x x , số hạng không chứa x là A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84.
- 9. Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng độc lập với x trong khai triển 8 3 2 x x là A. 1792. B. 792 . C. 972. D. 1972. Câu 68. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 12 3 1 x x . A. 220 . B. 220 . C. 924. D. 924 . Câu 69. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 30 2 x x là A. 20 2 . B. 20 10 302 C . C. 10 20 302 C . D. 20 30C . Câu 70. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 45 2 1 x x là A. 5 45C . B. 5 45C . C. 15 45C . D. 15 45C . Câu 71. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 10 2 x x là A. 5 10C . B. 5 5 10.2C . C. 5 10C . D. 5 5 10.2C . Câu 72. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 7 3 4 1 x x là: A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. Câu 73. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 6 2 1 2x x , 0x . A. 240. B. 15. C. 240 . D. 15 . Câu 74. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức 12 21 A x x là A. 924 . B. 495 . C. 495 . D. 924. Câu 75. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển 45 2 1 x x là A. 15 45C . B. 30 45C . C. 5 45C . D. 15 45C . Câu 76. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 5 2 3 1 x x . A. 10. B. 20. C. 5. D. 1.
- 10. Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 7 3 4 1 x x là A. 5. B. 35. C. 45. D. 7. Câu 78. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 30 2 x x là A. 20 2 . B. 20 10 302 .C . C. 10 20 302 .C . D. 20 30C . Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho biểu thức 10 3 2 3 1 1 1 x x P x xx x với 0x , 1x . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P . A. 200. B. 160. C. 210. D. 100. Câu 80. (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển 9 2 2 ,f x x x 0x bằng A. 5376. B. 5376 . C. 672 . D. 672 . Câu 81. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển của 14 3 4 2 x x với 0x là: A. 6 8 142 C . B. 6 6 142 C . C. 8 8 142 C . D. 8 8 142 C . Câu 82. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 11 11 5 1 x x x với 0x . A. 485 . B. 238 . C. 165. D. 525. Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 55n nC C , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 3 2 2 n x x bằng A. 13440 B. 3360 C. 80640 D. 322560 Câu 84. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 4 1 n x x x với 0x , nếu biết rằngn là số nguyên dương thỏa mãn 2 1 44n n C C . A. 485. B. 525. C. 165. D. 238 Câu 85. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 4 1 n x x x , với 0x , nếu biết rằng 2 1 44n nC C . A. 165. B. 238 . C. 485 . D. 525.
- 11. PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển 2 3 3 2 n x x với 0x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 12n nC n A là: A. 12 4 12 16 .2 .3C . B. 0 16 16.2C . C. 12 4 12 16 .2 .3C . D. 16 0 16 .2C . Câu 87. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn 2 27nC n , trong khai triển 2 2 n x x số hạng không chứa x là A. 84. B. 672 . C. 8 . D. 5376. Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức Dạng 2.2.1 Dạng 1 2 ... n ka a a Câu 88. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho khai triển 20172 2 4034 0 1 2 40341 3 2 ...x x a a x a x a x . Tìm 2a . A. 9136578 B. 16269122. C. 8132544. D. 18302258. Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển 103 1 3 2f x x x thành đa thức. A. 204120 . B. 262440 . C. 4320 . D. 62640 . Câu 90. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho khai triển 92 18 17 16 0 1 2 183 2 ... .x x a x a x a x a Giá trị 15a bằng A. 218700 . B. 489888 . C. 804816 . D. 174960 . Câu 91. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của 3 x sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của 9 21 2x x x , 0x . A. 2940 . B. 3210. C. 2940 . D. 3210 . Câu 92. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển 62 3 2x x bằng A. 6432 . B. 4032 . C. 1632 . D. 5418 . Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển 102 3 1 x x x . A. 582. B. 1902. C. 7752 . D. 252 . Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 3 4 5 ... ( 3) 3840n n n n nC C C n C .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển 2 3 (1 )n x x x là A. 10 4 . B. 9 4 . C. 10 2 . D. 9 2 . Câu 95. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Giả sử 112 3 10 2 3 110 0 1 2 3 1101 ... ...x x x x a a x a x a x a x với 0a , 1a , 2a ,…, 110a là các hệ số. Giá trị của tổng 0 1 2 3 10 11 11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0...T C a C a C a C a C a C a bằng A. 11T . B. 11T . C. 0T . D. 1T .
- 12. 1 1 2 2 ... n m h k ka b a b a b Câu 96. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì 18 12 2 1 ( ) (1 )P x x x x có tất cả bao nhiêu số hạng A. 27. B. 28. C. 30. D. 25 Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức 2017 2018 2 3 2P x x x 2018 2017 2018 2017 1 0...a x a x a x a . Khi đó 2018 2017 1 0...S a a a a bằng A. 0 . B. 1. C. 2018 . D. 2017 . Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức 12 21 2 3 2 3 1 2f x x x x x thì f x có bao nhiêu số hạng? A. 30. B. 32. C. 29 . D. 35. Câu 99. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển 6 7 12 1 1 ... 1P x x x x . A. 1716. B. 1715. C. 1287 . D. 1711. Câu 100. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho đa thức: 8 9 10 11 12 1 1 1 1 1P x x x x x x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức: 2 12 0 1 2 12...P x a a x a x a x . Tìm hệ số 8a . A. 720 . B. 700 . C. 715. D. 730 . Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho đa thức 8 9 10 11 12 1 1 1 1 1P x x x x x x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức 12 0 1 12...P x a a x a x . Tính tổng các hệ số ia , 0;i 1; 2; ...; 12. A. 5 . B. 7936 . C. 0 . D. 7920 . Dạng 2.2.3 Tích 1 1.. . ... m l n na a b b Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa 9 x trong khai triển nhị thức Newton 11 1 2 3x x . A. 4620 . B. 1380. C. 9405. D. 2890 . Câu 103. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho khai triển 210 2 2 14 0 1 2 141 2 3 4 4x x x a x a x a x a x . Tìm giá trị của 6a . A. 482496 . B. 529536. C. 278016 . D. 453504 . Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hệ số của 6 x trong khai triển 4 6 2 1 2 1 4 x x x thành đa thức là A. 6 14 1 2 C . B. 6 14 1 4 C . C. 6 14C . D. 8 144C .
- 13. kết hợp tích và tổng Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 8 2 1 3x x x bằng A. 1752 B. 1272 C. 1272 D. 1752 Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của 5 x trong khai triển 6 8 3 1 2 1x x x bằng A. 3007 B. 577 C. 3007 D. 577 Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 8 ( 2) (3 1)x x x bằng A. 13548 B. 13668 C. 13668 D. 13548 Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 8 2 1 3 1x x x bằng A. 13848 B. 13368 C. 13848 D. 13368 Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của 5 x trong khai triển 6 8 2 3 1x x x bằng A. 13548 . B. 13548. C. 13668 . D. 13668. Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển đa thức 5 10 2 1 1 2 .f x x x x x A. 965. B. 263. C. 632. D. 956. Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển 5 102 1 2 1 3P x x x x x . A. 3240. B. 3320. C. 80. D. 259200 . Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán Câu 112. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho biểu thức 19 0 18 1 17 2 20 20 20 20 20 1 3 3 3 ... 3 S C C C C . Giá trị 3S là A. 20 4 . B. 19 4 3 . C. 18 4 3 . D. 21 4 3 . Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017...C C C C bằng. A. 2017 2 1 . B. 2017 2 1 . C. 2017 2 . D. 2017 4 . Câu 114. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng 1 2 2018 2018 2018 2018...C C C bằng A. 2018 2 . B. 2018 2 1 . C. 2018 2 1 . D. 2016 4 . Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tổng 1 3 5 2017 2017 2017 2017 2017...T C C C C bằng: A. 2017 2 1 . B. 2016 2 . C. 2017 2 . D. 2016 2 1 . Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng 0 1 2 2 5 5 5 5 5 52 2 ... 2S C C C C bằng: A. 324. B. 435. C. 243. D. 342.
- 14. Văn An-2017) Tính tổng 0 1 2 2 10 10 10 10 10 102 2 2S C C C C . A. 59050S . B. 59049S . C. 1025S . D. 1024S . Câu 118. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng 0 1 2 2 3 3 10 10 10 10 10 10 102 2 2 2 .S C C C C C A. 59050.S B. 1024.S C. 59049.S D. 1025.S Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng 1 2 3 2016 2016 2016 2016 2016...C C C C bằng A. 2016 2 . B. 2016 4 . C. 2016 2 1 . D. 2016 2 1 . Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1 2 2 4 4 ... 4 15625n n n n n nC C C C . Tìm n. A. 3n . B. 5n . C. 6n . D. 4n . Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng 1 2 2018 2019 2019 2019 2019 20192 3 ... 2019 2020S C C C C tương ứng bằng: A. 2019 2020.2 . B. 2018 2019.2 . C. 2018 2021.2 1 . D. 2019 2020.2 1 . Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng 12 13 20 21 22 22 22 22 22 22....S C C C C C . A. 21 11 222S C . B. 11 21 22 2 2 C S . C. 11 21 22 2 2 C S . D. 21 11 222S C . Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử 0 ; ,k n k n tính tổng sau: 0 1 2 2017 2018 2018 2018 2018 2018 20182 3 ... 2018 2019S C C C C C A. 2016 1009.2 . B. 2018 1006.2 . C. 2018 1010.2 . D. 2018 1007 2 14. . Câu 124. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Biểu thức 2 1010 9 8 1 1 1 . . ... 10! 9! 1! 8! 2! 10! x x xx x x bằng A. 10!. B. 20!. C. 1 10! . D. 1 100! . Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 12 ... ... ... n n n n n n n nS C C C C C C C C C là một số có 1000 chữ số? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1024 ..... 1! 1 ! 3! 3 ! 5! 5 ! 1 !1! !n n n n n Tìm mệnh đề đúng. A. n là số chia hết cho 10. B. n là số nguyên tố. C. n là số chia hết cho 3 . D. n là số chia hết cho 4 . Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton Câu 1. Số số hạng trong khai triển là: 1 50 1 51n . Câu 2. Trong khai triển nhị thức n a b thì số các số hạng là 1n nên trong khai triển 2018 2 3x có 2019 số hạng.
- 15. có: 55 1 2 3 4 50 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 5 5 5 5 5 5x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y Hay 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5x y x x y x y x y xy y . Câu 4. Chọn C Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn ( )n a b có 1n số hạng. Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2019 (3 2 )x có 2020 số hạng. Câu 5. Chọn C Xét khai triển 10 10 10 0 ( ) 1 .k k k f x x C x . Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có 10 10 (1) 1 1 2 1024S f . Câu 6. Chọn C Xét khai triển 10 10 10 0 ( ) 1 .k k k f x x C x . Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có 10 10 (1) 1 1 2 1024S f . Câu 7. Xét khai triển 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018(1 2x) 2 . ( 2 ) . ( 2 ) . ... ( 2 ) .C x C x C x C x C Tổng các hệ số trong khai triển là: 0 1 2 2 3 3 2018 2018 2018 2018 2018 2018 20182. ( 2) . ( 2) . ... ( 2) .S C C C C C Cho 1x ta có: 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018(1 2.1) 2.1. ( 2.1) . ( 2.1) .C ... ( 2.1) .CC C C 2018 1 1S S Câu 8. Ta có 124124 1244 2 4 124 0 ( 5 7) . 1 .5 .7 k k kk k C Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 124 2 4 k k 0;4;8;12;...;124k . Vậy số các giá trị k là: 124 0 1 32 4 . Câu 9. Chọn A 20182018 20182018 2018 20183 3 3 0 0 ( ) ( 2 3) 2 3 2 .3 kk k k k k k P x x x x Để hệ số nguyên dương thì 2018 3 2018 3 2018 3k k t k t ,do 0 2018k nên ta có 2018 0 2018 3 2018 0 672,6 3 t t vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị Câu 10. Chọn A Ta có 20 20 20 0 1 2 2 , kk k k x C x k Z 0 0 20 ,a C 1 1 202. ,a C 2 2 2 2 20 202 4 .a C C Vậy 0 1 2 0 1 2 20 20 202 4 801.a a a C C C Câu 11. Chọn C
- 16. 20192019 20192019 2019 3 5 3 5 3 5 2019 2019 0 0 3 5 . 3 . 5 .3 .5 k k k k k k k k C C . Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì 0 2019 0 2019 2019 673 3 3 5 5 k k k k k k k k 0 2019 15 k k k . Ta có 15 15k k m mà 0 2019 0 15 2019 0 134,6k m m . Suy ra có 135 số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức. Câu 12. Chọn D Ta có số hạng thứ 1k là : 20191 1 1 1 15 3 3 5 2019 k k k C x y x y 2019 4 2019 2 15 15 3 15 2019 k k k C x y Theo đề bài ta có; 2019 4 2019 2 15 15 3 15 k k 1346k Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 . Câu15. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho khai triển 20 2 20 0 1 2 20(2 1) ....x a a x a x a x . Tìm 1a A. 20. B. 40. C. -40. D. -760. Chọn C Ta có: 1a là hệ số của x Hạng tử chứa x trong khai triển là: 19 20 12 40C x a Câu 13. 20 2 0 1 2 20 201 2x a a x a x a x 1 . Thay 1x vào 1 ta có: 20 0 1 2 20 1 1a a a a . Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng Câu 14. Chọn C Số hạng tổng quát của khai triển 12 2 x x x (với 0x ) là 12 1 12 2 . . k k k kT C x x x 3 12 2 122 . . . k k k k C x x 5 12 2 122 . . k k k C x . Số hạng trên chứa 7 x suy ra 5 12 7 2 2 k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển trên là 2 2 122 . 264C .
- 17. D Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức 13 1 x x . 13 13 2 1 13 13 1 k k k k k kT C x C x x . 1kT chứa 7 13 2 7 3x k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển nhị thức 13 1 x x bằng: 3 13 286C . Câu 16. Chọn C 40 40 40 40 2 40 3 40 402 0 0 1 .k k k k k k k x C x x C x x Theo giả thiết: 40 3 31 3k k . Vậy hệ số của 31 x là 3 40 9880C . Câu 17. Chọn D Ta có 4 44 4 0 1 3 1 3 . . 4 4 4 4 k k k k x C 2 3 41 3 27 27 81 256 64 128 64 256 x x x x Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là 27 64 . Câu 18. Chọn D Ta có: 1 .2 .k k k k nT C x . Hệ số của 2 x trong khai triển bằng 180 2 2 2 2 10! .2 180 .2 180 1 90 90 0 92 .2 n nn C n n n n n ln Câu 19. Chọn D Số hạng tổng quát là: 1 10.k k kT C x . Số hạng chứa 7 x trong khai triển 10 1 x là: 8 7 8 10.T C x nên hệ số là 45. Câu 20. Chọn D Ta có: 7 77 7 2 2 7 3 7 7 7 0 0 2 2 .2 . . k kk k k k k k x C x C x x x Cần tìm k sao cho 3 7 5k , suy ra 4.k Vậy hệ số h của số hạng chứa 5 x trong khai triển 7 2 2 x x là 4 3 7 .2 280.h C Câu 21. Chọn A 15 15 15 15 15 15 2 15 3 15 15 152 2 0 0 0 2 2 2 2 k kk kk k k k k k k k k x C x C x x C x x x Số hạng tổng quát của khái triển 15 3 1 15 2 kk k kT C x Số của số hạng chứa 6 x : 15 3 6 3k k . Hệ số của số hạng chứa 6 x 33 15 152 2 3640 kk C C Câu 22. Chọn C
- 18. quát của khai triển đã cho là 153 45 2 15 15. . . . , k kk k k k C x xy C x y với 0 15k , k . Số hạng này chứa 25 10 x y khi và chỉ khi 10k (thỏa mãn). Vậy hệ số của 25 10 x y trong khai triển 153 x xy là 10 15 3003.C Câu 23. Chọn D Ta có: 6 36 6 6 6 2 6 6 0 0 2 2 2 k k k k k k k k x C x C x x x . Số hạng chứa 3 x ứng với 3 6 3 2 2 k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 3 x bằng 2 2 62 . 60C . Câu 24. Chọn D Ta có: 6 36 6 6 6 2 6 6 0 0 2 2 2 k k k k k k k k x C x C x x x . Số hạng chứa 3 x ứng với 3 6 3 2 2 k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 3 x bằng 2 2 62 . 60C . Câu 25. Chọn D Số hạng thứ 1k trong khai triển của 1 3 n x là: 1 3 kk k k nT C x . Số hạng chứa 2 x ứng với 2k . Ta có: 22 3 90nC 2 10nC (với 2n ; n ) ! 10 2! 2 ! n n 1 20n n 5 4 n n L . Vậy 5n . Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k Câu 26. Chọn B Ta có 15 15 15 15 0 2 .2 . kk k k x C x Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với 12k . 1212 15 12 12 15 .2 . 3640C x x . Câu 27. Chọn A Số hạng thứ 1k trong khai triển là: 9 9 2 1 9 9 1 1 2 2 k k k k k kT C x C x x . Số hạng chứa 3 x có giá trị k thỏa mãn: 9 2 3 3k k . Vậy số hạng chứa 3 x trong khai triển là: 3 3 9 1 8 C x . Câu 28. Chọn B Ta có công thức của số hạng tổng quát: 13 13 13 2 1 13 13 13 1 . 1 . 1 k k kk k k k k k k kT C x C x x C x x Số hạng chứa 7 x khi và chỉ khi 13 2 7 3k k . Vậy số hạng chứa 7 x trong khai triển là 3 7 13C x . Câu 29. Chọn D Ta có khai triển: 40 40 40 40 2 40 3 40 402 0 0 1 k k k k k k k x x x x x C C
- 19. quát trong khai triển: 40 3 40 k k C x Số hạng chứa 31 x ứng với: 40 3 31 3 k k Vậy số hạng chứa 31 x là: 3 31 40C x Câu 30. Chọn B Số hạng thứ 1k trong khai triển 40 1 x x là: 40 40 40 2 1 40 40 40 1 . k k k k k k k k ka C x C x x C x x . Số hạng chứa 34 x trong khai triển 40 1 x x tương ứng với: 40 2 34 3k k . Vậy số hạng chứa 34 x trong khai triển 40 1 x x là: 3 34 40C x . Câu 31. Chọn D Ta có: 0 0 1 4 4 4 n n n kk k k k n n k k x C x C x . Hệ số của số hạng chứa 2 x là: 2 2 4nC . Giả thiết suy ra 2 2 2 2 20 t/m1 4 3040 190 190 380 0 2 19 loai n n nn n C C n n n . Câu 32. Số hạng tổng quát thứ 1k là 1 3 3 k kk k k k n nT C x C x . Vì hệ số của 2 x nên cho 2k . Khi đó ta có 22 3 90nC 2 51 10 10 2 4 n n nn n C n l . Vậy 5n . Câu 33. Ta có 20 1 2 1 2 .2 . 2 ... 2 n nn n n n nx C C x C x C x . Hệ số của 2 x bằng 2 180 4. 180nC ! 4 180 2! 2 ! n n 1 90n n 2 90 0n n 9 10 n l n . Vậy 10n . Câu 34. Ta có 5 5 553 3 5 15 5 5 52 2 0 0 2 2 3 1 . . 3 . 1 . .3 .2 k kk kk k k k k k k x C x C x x x . Số hạng chứa 10 x ứng với 15 5 10 1k k . Hệ số của số hạng chứa 10 x là 1 1 4 1 51 .3 .2 810C . Câu 35. Ta có: 40 40 40 40 40 3 40 402 2 0 0 1 1 . . . k k k k k k k x C x C x x x . Số hạng tổng quát của khai triển là: 40 3 1 40.k k kT C x . Số hạng chứa 31 x trong khai triển tương ứng với 40 3 31 3k k .
- 20. cần tìm là: 3 37 40 40C C (theo tính chất của tổ hợp: k n k n nC C ). Câu 36. Ta có: 66 1 2 2 2x x x x 16 6 2 6 0 2 k kk k C x x 16 6 2 6 0 .2 2 k kk k k C x x 36 6 2 6 0 .2 k k k k C x Theo đề bài, 3 6 32 k x x 3 6 3 2 k 2k Hệ số của 3 0x x là: 2 2 6 .2 60C . Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n Câu 37. Chọn C Ta có: 0 1 2 2 10 2. 2 . ... 2 . 59049 2 1 59049 3 3 10 nn n n n n n nC C C C n . Ta được nhị thức 10 2 3 x x . Số hạng thứ ba của khai triển là 2 82 2 14 3 10 3 . . 405T C x x x . Theo giả thiết ta có: 14 81 405 2 x n 14 405 405x 14 1x 1x . Câu 38. Chọn C Ta có: 3 ! 72 72 1 2 72 3 ! n n A n n n n n n n 10n . Xét khai triển: 10 10 10 10102 2 10 20 2 3 10 20 5 10 10 103 3 0 0 0 1 1 2 2 .2 . .2 k kk k k k k k k k k k k x C x C x x C x x x . Số hạng chứa 5 x trong khai triển tương đương với: 20 5 5 3k k . Suy ra số hạng chứa 5 x trong khai triển là: 7 3 5 102 C x . Câu 39. Chọn A Tìm .n Trước hết ta chứng minh công thức 1 1 k k n n k C C n với 1 k n và 2.n Thật vậy, 1 1 ! ( 1)! . . !( )! ( 1)!( )! k k n n k k n n C C n n k n k k n k (đpcm) Áp dụng công thức trên ta có 1 2 3 1 2 31 2 3 1. 2. 3. ... . . . . ... .n n n n n n n n n n n C C C n C n C C C C n n n n 0 1 2 1 1 1 1 1 1... 2n n n n n nn C C C C n Theo đề 1 2 3 1 1 1. 2. 3. ... . 256 2 256 2 256 9.n n n n n n nC C C n C n n n n Chọn A. Câu 40. Chọn C Xét khai triển 1 0 11 3 ... n n nx a a x a x .
- 21. được 1 0 1 1 1 3. ... 2 4096 12. 3 3 3 n nn n aa a n Khi đó 12 12 12 0 1 3 .3 .k k k k x C x . Ta có hệ số 12 12! 3 3 . !. 12 ! k k k ka C k k Hệ số ka lớn nhất nên 1 1 11 12! 12! 3 . 3 . !. 12 ! 1 !. 12 1 ! 12! 12! 3 . 3 . !. 12 ! 1 !. 12 1 ! k k k k k kk k k k k ka a a a k k k k 3 1 39 39 313 4 1 3 1 36 3 35 12 1 4 k k kk k k k k k k Vì k nên nhận 9.k Vậy hệ số lớn nhất 9 9 9 123 . 4330260.a C Câu 41. Chọn B Đk: 2, .n n 2 2 1 23 4n nC nP A 1 ! ! 3 2! 4 1 !2! 2 ! n n n n n 3 1 2 4 1 2 n n n n n 2 05 15 0 2 2 3 n L n n n Với 3n , nhị thức trở thành 10 31 .x x Số hạng tổng quát là 10 3 4 10 10 10 1 . . . k kk k k C x C x x Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4 10 6 4.k k Vậy hệ số của số hạng chứa 6 x là 4 10 210.C Câu 42. Chọn A Xét phương trình 2 3 2 14 1 3n nC C n 1 Điều kiện: 3,n n 2. 2 !.2! 14 3 !.3! 1 4 28 1 1 ! 3. ! 1 1 2 n n n n n n n n n n n 2 94 28 1 4 2 28 1 2 7 18 0 21 1 2 n n n n n n n ln n n
- 22. ta có: 9 9 9 92 2 9 18 3 9 9 0 0 3 3 2 . 2 . .2 . 3 . k k kk k k k k k x C x C x x x Số hạng tổng quát của khai triển là 9 18 3 9 .2 . 3 . kk k k C x Cho 18 3 6 4k k hệ số của số hạng chứa 6 x trong khai triển là 44 5 9 .2 . 3 326592C . Câu 43. Chọn B Từ giả thiết ta suy ra 0 1 2 20 2 1 2 1 2 1 2 1... 2 n n n n nC C C C . Mặt khác: 2 1 2 1 2 1 , ,0 2 1 k n k n nC C k k n nên ta có: 2 10 1 2 0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ... ... 1 1 2 2 2 nn n n n n n n n n n nC C C C C C C C . Suy ra: 2 20 2 2 10 n n . Số hạng tổng quát trong khai triển 10 7 4 1 x x là: 10 7 11 40 1 10 104 1 k kk k k kT C x C x x . Hệ số của 26 x là 10 k C với k thỏa mãn: 11 40 26 6 k k . Vậy hệ số của 26 x là 6 10 210C . Câu 44. Điều kiện 6n và n . 6 2 4 454n n nC nA 4 ! ! 454 6 !2! 2 ! n n n n n 25 4 1 2 n n n n 454 3 2 2 9 888 0n n n 8n (Vì n ). Khi đó ta có khai triển: 8 32 x x . Số hạng tổng quát của khai triển là 8 3 8 4 8 8 8 2 1 2 k k kk k k k C x C x x . Hệ số của số hạng chứa 4 x ứng với k thỏa mãn: 4 8 4 3k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 4 x là: 33 5 8 1 2 1792C . Câu 45. 1 3 21 2! 13 13 13 6 3 2 78 3! 3 ! 6 n n n n nn C C n n n n n n n n . 2 7 3 70 0 10 n n n n . Vì n là số nguyên dương nên 10n . Ta có khai triển: 10 2 3 1 x x . Số hạng tổng quát của khai triển: 2 10 20 5 1 10 103 1 . k kk k k kT C x C x x . Số hạng chứa 5 x ứng với 20 5 5 3k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 3 10 120C . Câu 46. 2 2 1 4 6n n nA C C n ! ! ! 4 6 2 ! 2 !.2! 1 !.1! n n n n n n n 1 1 4 6 2 n n n n n n 2 11 12 0n n 1 12 n l n n .
- 23. 12 2 3 P x x x . Công thức số hạng tổng quát: 122 1 12 3 . . k kk kT C x x 24 3 12.3 .k k k C x . Số hạng chứa 9 x 24 3 9 5k k . Vậy hệ số của số hạng chứa 9 x trong khai triển là 5 5 12.3 192456C . Câu 47. Ta có: 1 2 78n n n nC C ! ! 78 1 !.1! 2 !.2! n n n n 1 78 2 n n n 2 156 0n n 12 13 n n 12n (vì n là số nguyên dương). Số hạng tổng quát trong khai triển 12 3 2 x x là: 123 12 2 1 k kk k C x x 36 4 121 .2 . k k k k C x . Cho 36 4 8k 7k . Vậy số hạng chứa 8 x trong khai triển 12 3 2 x x là 7 7 8 12.2 .C x 8 101376x . Câu 48. Điều kiện: 2n , * n . Ta có 3 2 13 3 52 1n nC A n 1 ! ! 3. 3 52 1 3! 2 ! 2 ! n n n n n 1 1 3 1 52 1 2 n n n n n n 2 6 104n n n 2 5 104 0n n 13 8 n n 13n . 133 2 2x y 13 133 2 13 0 2 k kk C x y 13 39 3 2 13 0 2k k k k C x y . Ta có: 39 3 2 34k k 5k . Vậy hệ số 5 5 13 2C 41184 . Câu 49. Điều kiện n , 2n . Có 1 2 1 5 5 5 5 2 n n n n C C n 2 1 11 10 0 10 n n n n Do 2 10n n . Xét khai triển: 10 10 10 10 10 10 3 10 102 2 0 0 1 1 2 2 . 2 k kk k k k k k x C x C x x x Hệ số a của 4 x trong khai triển tương ứng với 10 3 4 2k k . Vậy hệ số cần tìm là 2 8 10.2 11520a C . Câu 50. Điều kiện 3,n n . Ta có 2 3 ! ! 3 1 3 40 3 40 ! 40 2! 3! 3 ! 2 6 3 ! n n n n n A C n n n . Vì 3 1 1 2 6 3 !n nên ! 40n . Lần lượt thử các giá trị 3,4n ta có 4n thỏa mãn.
- 24. , số hạng tổng quát trong khai triển 8 1 2x x là 8 8 8 2 8 8 1 2 2 1 k k kk k k k C x C x x . Số hạng chứa 6 x tương ứng với 8 2 6 1k k . Do đó hệ số cần tìm là 11 8 1 8 2 1 1024C . Câu 51. Giải phương trình: 2 1 3 120n nA C , Đk: 2,n n . 2 1 3 120 1 3 120n nA C n n n 10 12 n n l Có 4 3 n x x 10 40 5 10 0 3 kk k k C x . Số hạng không chứa x khi 40 5 0 8k k . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 88 10. 3 295245C . Câu 52. điều kiện , 3.n N n 3 2 ! ! 50 50 3! 3 ! 2 ! n n n n C A n n 1 2 6 1 300 0n n n n n 3 2 3 4 300 0 6n n n n . Ta có nhị thức 12 3 2 x x . Số hạng tổng quát 12 12 2 1212 12 .33 . . 2 2 k k k k k k k Cx C x x Cho 2 12 8 10.k k Hệ số cần tìm là 10 2 12 10 .3 297 . 2 512 C Câu 53. Xét khai triển 0 1 2 2 3 3 1 ... n n n n n n n nx C C x C x C x C x 1 Đạo hàm hai vế của 1 ta được: 1 1 2 3 2 1 1 2 3 ... n n n n n n nn x C C x C x nC x 2 Trong công thức 2 ta cho 1x ta được: 1 1 2 3 2 2. 3. ...n n n n n nn C C C nC 1 .2 256n n n 1 2 256n 9n . Khi đó, 2 3 2 n x x 9 2 3 2x x 9 9 18 3 9 0 3 2 . kk k k n C x . Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 9 2 3 2x x nếu 18 3 0k hay 6k . Suy ra số hạng cần tìm là 66 3 9 3 2 489888C . Câu 54. Ta có 0 1 2 2 n n kk n k x C x . Vậy 0 1a ; 1 1 2 na C ; 2 2 4 na C . Theo bài ra 0 1 2 71a a a nên ta có: 1 2 1 2 4 71n nC C ! ! 1 2 4 71 1! 1 ! 2! 2 ! n n n n 1 2 2 1 71n n n 2 2 4 70 0n n 2 2 35 0n n 7n (thỏa mãn) hoặc 5n (loại). Từ đó ta có 55 5 7 2 672a C .
- 25. có 2 3 10n nA C ! ! 10 2 ! 3! 3 ! n n n n , , 3n n 1 1 1 2 10 6 n n n n n 3 2 2 1 3 4 10 0 6 6 2 3 5 n n n n n n . So điều kiện nhận 6n hay 5n . Khi 6n , ta có 6 6 2 62 63 3 0 2 2 k kk k x C x x x 6 12 5 6 0 2 kk k k C x . Để có 5 x thì 7 12 5 5 5 k k (loại). Khi 5n , ta có 5 5 2 52 53 3 0 2 2 k kk k x C x x x 5 10 5 5 0 2 kk k k C x . Để có 5 x thì 10 5 5 1k k . Vậy 1 5 5 2 10a C . Câu 56. Ta có: 3 2 2 100n nA A ! ! 2 100 3 ! 2 ! n n n n 1 2 2 1 100n n n n n 3 2 100 0n n 5n . Ta có: 2 1 3 n x 10 1 3x 10 10 0 3 kk k C x . Hệ số 5 x sẽ là 5 5 103 61236C . Câu 57. Ta có 0 1 1 2 2 3 1 3 3 3 ..... 1 n nn n n n n n n nC C C C 2 2048n 11 2 2n 11n . Xét khai triển 11 11 11 11 0 2 .2k k k k x C x Tìm hệ số của 10 x tìm 11k k thỏa mãn 11 10 1k k . Vậy hệ số của 10 x trong khai triển 11 2x là 1 11.2 22C . Câu 58. Ta có 2 2 2 3 0 0 1 1 3 3 3 n kn n n kk k n k n k n n k k x C x C x x x . Biết hệ số của 3 x là 4 5 3 nC nên 2 3 3 4 5 5 9 0 , , n k n k k k n k n k n N . Vậy 9n . Câu 59. Điều kiện: n Ta có 1 4 3 4 ! 3 ! 7 3 7 3 1 !3! !3! n n n n n n C C n n n n
- 26. 4 3 2 3 2 1 7 3 6 6 n n n n n n n 3 36 12n n . Xét khai triển 12 12 12 5 5 123 3 0 1 1 k k k k x C x x x 0 12,k k 60 1112 2 12 0 k k k C x . Để số hạng chứa 8 x thì 60 11 8 4 2 k k . Vậy hệ số chứa 8 x trong khai triển trên là 4 12 495C . Câu 60. Điều kiện: 6n n Khi đó 5 4 218n nA A 2 !! 18. 5 ! 6 ! nn n n 1 2 3 4 18 2 3 4 5n n n n n n n n n 1 18 5n n n 2 19 90 0n n 9 10n max 10n n . Số hạng tổng quát trong khai triển 10 5 1 2x x là 10 1 10 5 1 . 2 . k kk kT C x x 10 10 5 10.2 . . k k k k C x x 50 6 10 5 10.2 . k k k C x . Tìm k sao cho 50 6 4 5 k 5k . Vậy hệ số của số hạng chứa 4 x là 5 10 5 10.2 8064.C Câu 61. Ta có: 2 2 105n nA C ! ! 105 2 ! 2! 2 ! n n n n 1 1 105 2 n n 2 210 0n n 15 14 n n L . Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: 152 1 15 1 . . k kk kT C x x 30 3 15. 1 . kk k C x . Tìm 30 3 0 10k k . Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: 1010 15 . 1 3003C . Câu 62. Ta có 2 1 0 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 . . ... . n n n n n n n n nx C x C x C x C 1 Thay 1x vào 1 : 2 1 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ...n n n n n n nC C C C 2 Thay 1x vào 1 : 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 ... n n n n n nC C C C 3 Phương trình 2 trừ 3 theo vế: 2 1 0 2 2 2 1 2 1 2 12 2 ...n n n n nC C C
- 27. có 2 1 2 2.1024 5n n Số hạng tổng quát của khai triển 10 2 3x : 10 10 1 10 10.2 . 3 .2 . 3 . k kk k k k k kT C x C x Theo giả thiết ta có 5k . Vậy hệ số cần tìm 55 5 10.2 . 3 1959552C . Câu 63. Ta có: 1 2 78n n n nC C ! ! 78 1 !.1! 2 !.2! n n n n 1 78 2 n n n 2 156 0n n 12 13 n n 12n (vì n là số nguyên dương). Số hạng tổng quát trong khai triển 12 3 2 x x là: 123 12 2 1 k kk k C x x 36 4 121 .2 . k k k k C x . Cho 36 4 8k 7k . Vậy số hạng chứa 8 x trong khai triển 12 3 2 x x là 7 7 8 12.2 .C x 8 101376x . Câu 64. Điều kiện : 3,n n . Ta có 3 24 ! 4 ! 2 1 2 8 6 1 3 3! 3 ! 3 2 ! n n n n C n C n n n n n n n n n 2 2 0 3 2 8 6 6 9 0 9 n n n n n n n . Đối chiếu điều kiện ta được 9n . Số hạng tổng quát của khai triển 9 2 ,x x là : 9 9 2 9 9 2 . 2 k kk k k k k C x C x x Số hạng này chứa 5 x ứng với 9 2 5 2k k . Vậy hệ số của số hạng đó là 2 94. 144C . Câu 65. 1 2 78n n n nC C 1 78 2 n n n 12 13 n n l . 12 3 32 2 n x x x x 12 123 12 0 1 2 k k kk k C x x 12 36 4 12 0 2 kk k k C x . Số hạng không chứa x ứng với 36 4 0 9k k là 99 12 2 112640C . Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) Câu 66. Chọn B Số hạng tổng quát 9 3 1 9 .8 . ,0 9k k k kT C x k . Số hạng không chứa x ứng với 9 3 0 3k k . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 3 3 4 9 .8 43008T C . Câu 67. Chọn A Ta có số hạng thứ 1k trong khai triển là 83 24 4 1 8 8 2 . . 2 k k kk k k kT C x C x x . Do tìm số hạng độc lập với x suy ra 24 4 0 6k k 66 7 8 . 2 1792T C . Câu 68. Chọn A
- 28. hạng thứ 1k của khai triển 12 3 1 x x là: 123 36 4 12 12 1 1 . 1 ,0 12, kk kk k k k k T C x C x k k x . Số hạng không chứa x ứng với 36 4 0 9k k (thỏa mãn). Suy ra 99 7 12 1 220T C . Câu 69. Chọn B Ta có 3030 1 1 330 30 30 302 2 2 30 30 0 0 2 2 2 2 k k k k k k k k x x x C x x C x x Số hạng tổng quát thứ 1k trong khai triển là 3 30 2 1 30 2 k k k kT C x . Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 3 30 0 20 2 k k . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 20 20 20 10 21 30 302 2T C C . Câu 70. Chọn D Số hạng tổng quát trong khai triển là 45 45 3 1 45 452 1 . . . 1 k kk k k k kT C x C x x Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 3 0 15k k . Vậy số hạng cần tìm là 1515 15 45 45. 1C C . Câu 71. Chọn D Số hạng tổng quát trong khai triển 10 2 x x là: 10 10 2 1 10 10 2 . .2 k k k k k k kT C x C x x (với ; 10k k ) Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 2 0 5k k (thỏa mãn). Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 5 5 10.2C . Câu 72. Chọn B Ta có: 7 3 4 1 x x 7 7 3 7 4 0 1 k k k k C x x 7 77 3 12 7 0 . k k k C x Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 7 7 0 3 12 0 7, k k k 4. k Số hạng không chứa x trong khai triển 7 3 4 1 x x là: 4 7 35.C Câu 73. Chọn A Ta có: 6 66 6 6 6 3 6 62 2 0 0 1 1 2 . 2 . 1 .2 . 1 . kk k kk k k k k k x C x C x x x Số hạng không chứa x xảy ra khi: 6 3 0 2k k Số hạng đó là 22 4 6 .2 . 1 240C Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là 240
- 29. B Số hạng tổng quát trong khai triển là 12 2 1 12 1 k kk kT C x x 3 12 12 1 kk k C x . Theo đề bài ta có 3 12 0 4k k . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 44 12 1 495C . Câu 75. Chọn D Có 45 45 45 452 2 0 1 1 . . k k k k x C x x x 45 45 3 45 0 1 . k k k k C x . Tìm số hạng không chứa x thì 45 3 0k 15k . Vậy số hạng không không chứa x là 15 45C . Câu 76. Chọn A Số hạng tổng quát trong khai trển 5 2 3 1 x x là: 52 10 5 5 53 1 . . k kk k k kT C x C x x Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 5 0 2.k k Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 2 2 5 10.T C Câu 77. Chọn B Ta có: 7 3 4 1 x x 7 7 3 7 4 0 1 k k k k C x x 7 77 3 12 7 0 . k k k C x Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 7 7 0 3 12 0 7, k k k 4. k Số hạng không chứa x trong khai triển 7 3 4 1 x x là: 4 7 35.C Câu 78. Chọn B Ta có 30 30 30 60 3 30 2 30 30 0 0 2 2 2 k k k kk k k k x C x C x x x . Số hạng không chứa x tương ứng 60 3 0 20 2 k k . Vậy số hạng không chứa xlà: 20 20 20 10 30 302 . 2 .C C . Câu 79. Ta có 3 3 3 2 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x xx x . Nên 10 10 3 3 2 3 1 1 1 1 x x P x x x xx x . Số hạng tổng quát của khai triển là: 10 20 5 3 6 10 10 1 . 1 kk k kk k C x C x x . Khi 4k thì số hạng không chứa x là 4 4 101 210C . Câu 80. Ta có 9 992 2 9 2 9 9 9 0 0 2 2 2 k kk k k k k k k f x x x C x x C x x
- 30. 9 9 2 9 9 3 9 9 0 0 2 2 k kk k k k k k k C x C x Số hạng không chứa x của khai triển f x ứng với9 3 0k 3k Vậy hệ số không chứa x là 33 9 . 2 672C . Câu 81. Số hạng tổng quát trong khai triển là: 56 714 3 12 14 144 2 1 . . 1 .2 . k kkk kk k k C x C x x Cho 56 7 0 8 12 k k . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 8 8 142 C . Câu 82. Ta có 11 11 5 1 x x x 1111 11 52 11 0 . . k k k k x C x x 33 1111 2 11 0 . k k k C x . Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 11 0 3k k . Số hạng cần tìm là 3 11 165C . Câu 83. Chọn A Ta có: 1 2 55n nC C 2 101! ! 55 55 110 0 10 111! 1 ! 2! 2 ! 2 nn nn n n n n n nn n Với 10n thì ta có: 3 2 2 n x x = 10 1010 10 10 3 3 3 10 2 20 10 5 20 10 10 102 2 0 0 0 2 2 . . . .2 . .2 . k k k k k k k k k k k k k x C x C x x C x x x Để có số hạng không chứa x thì 5 20 0 4k k . Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: 4 6 10.2 13440C . Câu 84. Chọn C Điều kiện: , 2n n 2 1 1 11 ( ) 44 44 82n n n n n tm C C n n Ta có 11 33 1111 1111 2 11 114 4 0 0 1 1 k kk k k k k x x C x x C x x x Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 11 0 3 2 k k Vậy số hạng không chứa x trong khai triểnlà 3 11 165C . Câu 85. ĐK: 2n n * . Ta có 2 1 1 44 44 11 2 n n n n C C n n hoặc 8n (loại). Với 11n , số hạng thứ 1k trong khai triển nhị thức 11 4 1 x x x là 33 1111 2 2 11 114 1 k k k k k C x x C x x .
- 31. ta có 33 11 0 2 2 k hay 3k . Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là 3 11 165C . Câu 86. Với điều kiện 3n , n , ta có 3 2 12n nC n A 1 2 2 1 3! n n n n n n 1 2 12 6 1n n n 2 1( ) 9 8 0 8( ) n n n n loaïi thoûa . Với 8n , ta có số hạng thứ 1k trong khai triển 16 3 3 2x x là 16 16 3 3 2 k kk C x x 4 16 16 3 16 2 3 kkk k C x . Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 4 16 0 3 k 12k . Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là 12 4 12 16 .2 .3C . Câu 87. 2 1! 27 27 27 2! 2 ! 2 n n nn C n n n n 2 9 3 54 0 6 n TM n n n L Xét khai triển 9 2 2 x x có số hạng tổng quát 9 9 3 1 9 92 2 . .2 k k k k k k kT C x C x x Số hạng không chứa x nên 9 3 0 3k k . Vậy số hạng không chứa x là: 3 3 4 9 .2 672T C . Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức Dạng 2.2.1 Dạng 1 2 ... n ka a a Câu 88. Chọn D Ta có 2017 20172 2 1 3 2 1 3 2A x x x x 2 20172017 2016 20150 1 2 2 2 2017 2 2017 2017 2017 20171 3 1 3 2 1 3 2 ... 2A C x C x x C x x C x . Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng 20170 2017 1 3C x , 20161 2 2017 1 3 2C x x xuất hiện biểu thức chứa 2 x 2017 2 3 20170 0 0 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 20171 3 3 3 3 ... 3C x C C C x C x C x C x Hệ số chứa 2 x trong số hạng 20170 2017 1 3C x là: 20 2 2017 2017 3C C 2016 2 20161 2 1 2 0 1 2 2016 2017 2017 2016 2016 2016 20161 3 2 2 3 3 ... 3C x x C x C C x C x C x Hệ số chứa 2 x trong số hạng 20161 2 2017 1 3 2C x x là: 1 0 2017 20162C C . Vậy hệ số 20 2 1 0 2 2017 2017 2017 20163 2 18302258a C C C C
- 32. 10 10 1010 103 3 3 10 10 10 0 0 0 1 3 2 1 3 . 2 3 . 2 kk kk ik k i k k k i f x x x C x x C C x x . 10 10 3 10 10 0 0 3 .2 . k ik i k i k k k i C C x , ,0 10,0 10i k k i k . Số hạng chứa 7 x ứng với 3 7i k . Vậy hệ số của 7 x là: 4 72 1 2 1 4 0 7 10 8 10 9 10 10. . 3 .2 . . 3 .2 . . 3 62640C C C C C C . Câu 90. Ta có: 9 992 18 2 18 2 9 9 0 0 0 3 2 . . 3 2 . .3 2 k k ik k k k i k i k k k i x x C x x C x C x 0 9i k Giá trị 15a ứng với: 1 3 18 2 3 8 9 i i k i k k . Vậy: 1 38 1 7 9 3 6 15 9 8 9 9. .3 . 2 . .3 . 2 804816.a C C C C Câu 91. Ta có 9 9 21 1 2 2 1x x x x x x 99 9 0 1 . . 2 1 k kk k k C x x x 9 2 9 9 0 0 1 2 . k k ii k i k i k k i C C x . Theo yêu cầu bài toán ta có 2 9 3k i 2 12k i ; 0 9i k ; ,i k Ta có các cặp ;i k thỏa mãn là: 0;6 , 2;5 , 4;4 . Từ đó hệ số của 3 x là : 6 0 5 2 4 40 6 0 2 5 2 4 4 4 6 9 5 9 4 91 .2 1 .2 1 .2C C C C C C 2940 . Câu 92. 6 6 62 3 2 1 2x x x x Số hạng tổng quát trong khai triển 6 1x là 6 6 . 1 kk k C x với 0;1;2...;6k . Số hạng tổng quát trong khai triển 6 2x là 6 6. 2 ii i C x với 0;1;2...;6i . Số hạng tổng quát trong khai triển 6 6 62 3 2 1 2x x x x là 6 6 6 61 . 2 k ik k i i C x C x 12 6 6 6 1 . 2 i k ik i i k C C x Số hạng chứa 7 x ứng với 7i k . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 1 6i k hệ số là 5 56 1 6 6 1 . 2 192C C 2 5i k hệ số là 5 45 2 6 6 1 . 2 1440C C 3 4i k hệ số là 5 34 3 6 6 1 . 2 2400C C 4 3i k hệ số là 5 23 4 6 6 1 . 2 1200C C 5 2i k hệ số là 5 12 5 6 6 1 . 2 180C C 6 1i k hệ số là 5 01 6 6 6 1 . 2 6C C Vậy hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển 62 3 2x x bằng 5418 Cách 2.
- 33. 6 62 2 3 2 3 2x x x x Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 62 6 . 3 2 k kk C x x với 0;1;2...;6k . Số hạng tổng quát trong khai triển 3 2 k x là .2 3 ii k i kC x với 0 i k . Số hạng tổng quát trong khai triển 62 3 2x x là 62 6 . .2 3 k ik i k i kC x C x 12 2 6 .2 3 . ik i k i k i kC C x Số hạng chứa 7 x ứng với 12 2 7k i 2 5k i . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 3 1k i hệ số là 13 1 2 6 3 2 3 720C C 4 3k i hệ số là 3 14 3 6 4 3 . 2 3240C C 5 5k i hệ số là 0 55 5 6 5 2 . 3 1458C C Vậy hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển 62 3 2x x bằng 5418 . Câu 93. Ta có: 102 3 1 x x x 10 102 1 1x x 10 10 2 10 10 0 0 . . .k k i i k i C x C x 10 10 2 10 10 0 0 . .k i k i k i C C x Hệ số của số hạng chứa 5 x nên 2 5k i . Trường hợp 1: 0k , 5i nên hệ số chứa 5 x là 0 5 10 10.C C . Trường hợp 2: 1k , 3i nên hệ số chứa 5 x là 1 3 10 10.C C . Trường hợp 3: 2k , 1i nên hệ số chứa 5 x là 2 1 10 10.C C . Vậy hệ số của số hạng chứa 5 x là 0 5 1 3 2 1 10 10 10 10 10 10. . . 1902C C C C C C . Câu 94. 0 1 2 3 4 5 ... ( 3) 3840n n n n nC C C n C 0 1 2 0 3 1 3 2 3 ... 3 3840n n n n nC C C n C 1 2 0 1 2 2 ... 3 ... 3840n n n n n n n n nC C nC C C C C 1 .2 3.2 3840n n n 9n Cho 1x 92 3 9 2 3 9 (1 ) 1 1 1 1 2x x x . Câu 95. Ta có: 11 11112 3 10 11 1 ... 1 1A x x x x x A x 11 110 11 11 11 11 0 0 0 . mkk i m i k i m P Q C x a x C x . Hệ số của 11 x trong P là: 0 1 2 3 10 11 11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0...C a C a C a C a C a C a T Hệ số của 11 x trong Q là: 1 11C Vậy 1 11 11T C . Dạng 2.2.2 Tổng 1 1 2 2 ... n m h k ka b a b a b Câu 96. Chọn A Đặt 12 1A x ; 18 2 1 B x x Ta có khai triển 12 12 121 k k k A x C x có 13 số hạng.
- 34. 18 2 36 3 18 0 1 l l l B x C x x có 19 số hạng. Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển ( )P x , ta phải có : 36 3 3 36 (1)l k k l Phương trình (1) cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn (k;l) {(0;12),(3;11),(6;10),(9;9),(12;8)} tương ứng với 5 số hạng. Vậy sau khi khai triển và rút gọn ( )P x ta có 13 19 5 27 số hạng. Câu 97. Ta có 2018 2017 2018 2017 1 0...P x a x a x a x a Cho 1x 1P 2018 2017 1 0...a a a a 2017 2018 1 2 3 2.1 0 . Câu 98. 12 2 3 x x 12 122 12 0 3 k kk k C x x 12 24 3 12 0 3k k k k C x 21 3 2 1 2x x 21 213 21 2 0 1 2 k kk k C x x 21 21 63 5 21 0 2k k k k C x Ta cho k chạy từ 0 đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau. Với khai triển 12 2 3 x x ta có 13 số hạng; Với khai triển 21 3 2 1 2x x ta có 22 số hạng. Vậy tổng số hạng là: 35. Câu 99. Xét nhị thức 1 1 n n x x có số hạng tổng quát là k k nC x . Ta có: Hệ số của 5 x trong 6 1 x là 5 6C . Hệ số của 5 x trong 7 1 x là 5 7C Hệ số của 5 x trong 12 1 x là 5 12C . Vậy hệ số của 5 x trong khai triển P x là 5 5 5 6 7 12... 1715C C C . Câu 100. Ta có 8 0 1 8 8 8 8 81 ...x C C x C x suy ra hệ số chứa 8 x là 8 8C . Lại có 9 0 1 8 8 9 9 9 9 9 91 ...x C C x C x C x suy ra hệ số của 8 x là 8 9C . Tương tự trong khai triển 10 1 x có hệ số của 8 x là 8 10C . 11 1 x có hệ số của 8 x là 8 11C . 12 1 x có hệ số của 8 x là 8 12C . Suy ra hệ số của 8 x trong P x là 8 8 8 8 8 8 8 9 10 11 12 715a C C C C C . Câu 101. Ta có 8 9 10 11 12 1 1 1 1 1P x x x x x x . Áp dụng khai triển 0 1 2 2 1 ... n n n n n n nx C C x C x C x . Cho 1x , ta có 0 1 2 ... 2n n n n n nC C C C . Do đó ta có tổng hệ số của P x là: 8 9 10 11 12 8 8 2 2 2 2 2 2 1 2 4 8 16 31.2 7936S .
- 35. 1 1.. . ... m l n na a b b Câu 102. 11 1 2 3x x 11 11 3 2 3x x x 11 11 11 11 11 11 0 0 .3 . 2 .3 .k k k k k k k k C x x C x 11 11 11 11 1 11 11 0 0 .3 . .2.3 .k k k k k k k k C x C x Suy ra hệ số của 9 x khi triển khai nhị thức trên là: 9 2 8 3 11 11.3 .2.3 9045C C . Câu 103. Ta có: 10210 2 4 3 2 10 0 1 2 3 4 4 .2 . . 16 32 40 24 9k k k k x x x C x x x x x Do đó 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 10 10 10 10 10.2 .16 .2 .32 .2 .40 .2 .24 .2 .9 482496a C C C C C . Câu 104. Xét khai triển 6 6 6 6 6 0 0 2 1 1 2 1 2 2 n n kk k k k k k k x x C x C x 84 8 8 8 2 8 0 1 1 1 1 4 2 2 2 j j j j x x x x C x Vậy 8 84 8 8 6 2 6 8 6 8 0 0 0 0 1 1 1 2 1 2 . 2 . 4 2 2 n nj j k k k J j k k J j k k j k j x x x C x C x C C x Số hạng của khai triển chứa 6 x khi 6j k Xét bảng: Vậy hệ số 6 x trong khai triển 4 6 2 1 2 1 4 x x x thành đa thức là 6 14 3003 1 4 4 C . Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng Câu 105. Chọn B Hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 2 1x x là 24 4 6 2 1 240C . Hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 8 3x là 35 8 3 1512C . Suy ra hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 8 2 1 3x x x là 240 1512 1272 . Câu 106. Chọn B 6 8 3 1 2 1x x x 6 8 6 8 6 8 0 0 . 3 1 . 2 1 k k m kk m k m x C x C x 6 8 6 81 6 8 0 0 .3 1 .2 1 k kk k k m m m k m C x C x .
- 36. ứng với 4k ; 5m . Hệ số cần tìm là 2 34 4 5 5 6 8.3 1 .2 1 577C C . Câu 107. Chọn A Hệ số của 4 x trong khai triển nhị thức 6 ( 2)x là 4 2 6 2 60C . Hệ số của 5 x trong khai triển nhị thức 8 (3 1)x là 5 5 8 ( 3) 13608C . Vậy hệ số của 5 x trong khai triển biểu thức 6 8 ( 2) (3 1)x x x bằng 13608 60 13548. Câu 108. Chọn D Ta có 6 8 6 8 6 8 6 8 0 0 2 1 3 1 . 2 1 3 1 k k m mk m k m x x x x C x C x 6 8 6 87 8 6 8 0 0 2 1 . 3 1 . k k m mk k m m k m C x C x Để có số hạng của 5 x trong khai triển thì 2; 3k m Do đó hệ số của 5 x trong khai triển bằng: 5 32 4 3 6 8.2 . 3 1 13368.C C Câu 109. Chọn A Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng: 6 8 6 81 6 8 6 8. . 2 . 3 . 1 . 2 .3 . 1 . k m m k kk k m k k m m m x C x C x C x C x . Để tìm hệ số của 5 x ta cần tìm ,k m sao cho 1 5 4 5 5 k k m m . Hệ số của 5 x cần tìm bằng: 2 34 5 5 6 8. 2 .3 . 1 13548C C . Câu 110. Chọn A Hệ số của 5 x là 4 4 1 3 7 3 5 10 .1. 1 .1 .2 965.C C Câu 111. Khải triển P x có số hạng tổng quát 5 2 kk xC x 2 10 3 mm x C x 1 52 k k k C x 2 103m m m C x ( k , 5k , m , 10m ) Hệ số của 5 x ứng với k , m thỏa hệ 1 5 2 5 k m 4 3 k m . Vậy hệ số cần tìm là 4 4 52 C 3 3 103 3320C . Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán Câu 112. Chọn A. Ta có: 19 0 18 1 17 2 20 20 20 20 20 1 3 3 3 ... 3 S C C C C 20 0 19 1 18 2 20 20 20 20 20 3 3 3 3 ...S C C C C Xét khai triển: 20 0 20 0 1 19 1 2 18 2 20 0 20 20 20 20 20 3 1 3 1 3 1 3 1 ... 3 1C C C C 20 0 20 1 19 2 18 20 20 20 20 20 3 1 3 3 3 ...C C C C 20 3 4S Câu 113. Chọn A Ta có 2017 2017 2017 0 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 0 1 1 1 1 ...k k k k C C C C C C . Vậy 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017 2017... 2 1C C C C .
- 37. C Ta có 2018 2018 0 1 2 2018 2018 2018 2018 2018 2018 0 1 1 ...i i C C C C C Suy ra 1 2 2018 2018 2018 2018 2018... 2 1C C C . Câu 115. Xét hai khai triển: + 20172017 0 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017 20172 1 1 ... 1C C C C C . + 2017 0 1 2 3 2017 2017 2017 2017 2017 20170 1 1 ... 2C C C C C Lấy 1 2 theo vế ta được: 2017 1 3 5 2017 2016 2017 2017 2017 20172 2 ... 2C C C C T . Câu 116. Chọn C Xét tổng 5 0 1 2 2 5 5 5 5 5 51 ...x C xC x C x C Thay 2x ta được: 50 1 2 2 5 5 5 5 5 5 52 2 ... 2 1 2 3 243S C C C C Câu 117. Chọn B Ta có 10 10 10 0 1 .k k k x C x Chọn 2x ta có 10 10 10 0 2 1 .2k k k C 10 3 49049S . Câu 118. Xét khai triển 10 0 1 2 2 3 3 10 10 10 10 10 10 101 . . . .x C C x C x C x C x . Với 2x ta có 10 0 1 2 2 3 3 10 10 10 10 10 10 101 2 2 2 2 2 .C C C C C Vậy 10 3S 59049 . Câu 119. Ta có: 2016 0 1 2 2 2016 2016 2016 2016 2016 20161 ...x C C x C x C x . Chọn 1x , ta có: 2016 0 1 2 2016 2016 2016 2016 20162 ...C C C C hay 1 2 2016 2016 2016 2016 2016... 2 1C C C . Câu 120. Chọn C Xét khai triển 0 1 2 2 1 ... n n n n n n nx C C x C x C x . Cho 4x ta có: 0 1 2 2 5 4 4 ... 4n n n n n n nC C C C . Suy ra: 15625 5n 6 5 5 6n n . Câu 121. Chọn C Ta có: 2019 2019 0 1 2018 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 0 . 1 . . ... k k k x x x C x x C C x C x C x . 0 1 2 2018 2019 2019 2020 2019 2019 2019 2019... C x C x C x C x . Đạo hàm 2 vế theo biến x ta được. 2019 2018 0 1 2018 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019(1 ) 2019 (1 ) .2 ... .2019 .2020x x x C C x C x C x . Cho 1x suy ra 2019 2018 0 1 2018 2019 2019 2019 2019 20192 2019.2 2 ... 2019 2020C C C C . 2018 2018 (2 2019).2 1 2021.2 1S S . Vậy 2018 2021.2 1S . Câu 122. Chọn C Ta có : 2222 0 1 2 20 21 22 22 22 22 22 22 222 1 1 ....C C C C C C . Áp dụng tính chất : k n k n nC C , suy ra: 0 22 22 22C C , 1 21 22 22C C , 2 20 22 22C C ,……, 10 12 22 22C C . Do đó: 0 1 2 20 21 22 12 13 20 21 22 11 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22.... 2 ....C C C C C C C C C C C C .
- 38. 20 21 22 11 12 13 20 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 .... .... 2 2 C C C C C C C C C C C C 1122 12 13 20 21 22 22 22 22 22 22 22 2 .... 2 2 C C C C C C 11 12 13 20 21 22 21 22 22 22 22 22 22.... 2 2 C C C C C C . Vậy 11 21 22 2 2 C S . Câu 123. 2018 1 x 0 1 2 2 3 3 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 C xC x C x C ... x C 1 Đạo hàm 2 vế của đẳng thức 1 ta được: 2017 2018 1 x 1 2 2 3 2017 2018 2018 2018 2018 2018 2 3 2018C xC x C ... x C . Cho 1x ta được: 2017 2018 2. 1 2 3 2018 2018 2018 2018 2018 2 3 2018C C C ... C . 2 Đồng thời, thay 1x vào 1 ta cũng có: 2018 2 0 1 2 3 2018 2018 2018 2018 2018 2018 C C C C ... C . 3 Lấy 2 3 ta được: S 2017 2018 2018 2 2. 0 1 2 2017 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2 3 2018 2019C C C ... C C . Vậy S 2018 2018 2018 1009 2 2 1010 2. . . Câu 124. Ta có 10 1 . ! 10 ! kk xx k k 101 10! . . . 1 10! ! 10 ! kk x x k k 10 10 1 . . . 1 10! kk k C x x với 0 10k . 2 1010 9 8 1 1 1 . . ... 10! 9! 1! 8! 2! 10! x x xx x x 10 10 10 0 1 . . 1 10! kk k k C x x 101 1 10! x x 1 10! . Câu 125. 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 12 ... ... ... n n n n n n n nS C C C C C C C C C 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 12 ... ... ...n n n n n n n nC C C C C C C C C C C 2 1 2 2 1 1 ... 1 1 1 1 n n 1 2 2 2 2 ... 2n 2 1 2 2. 2 1 n 1 2n S . S là một số có 1000 chữ số 999 1000 10 10S 999 1 1000 10 2 10n 2 2999log 10 1 1000log 10 1n Do n nên 3318;3319;3320n . Vậy có 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 126. Chọn B ! ! ! ! .... 1024 1! 1 ! 3! 3 ! 5! 5 ! 1 !1! n n n n n n n n 1 3 5 ..... 1024n n n n nC C C C (1). Ta chứng minh đẳng thức 1 3 5 1 ..... 2n n n n n nC C C C (2). Thật vậy, xét 0 1 2 2 1 .... n n n n n n nx C C x C x C x . Với n là số nguyên dương
- 39. thì 0 1 2 2 .....n n n n n nC C C C . Thay 1x thì 0 1 2 3 1 0 ...... n n n n n n n nC C C C C C 0 2 4 1 3 1 ...... .....n n n n n n n n n A B C C C C C C C . Từ đó ta có: 1 2 2 2 2 n n n A B B B A B . Do đó đẳng thức (2) được chứng minh. Thay vào (1) 1 10 2 1024 2n nên 11n , chọn đáp án B
|
