I. Định nghĩa GTLN, GTNNCho hàm số y = f(x). Show Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D. Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu: f(x) ≤ mvới mọix ∈ D Kí hiệu:m = maxf(x) x ∈ Dhoặc giá trị lớn nhất của y = m. Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu: f(x) ≥ m với mọix ∈ D Kí hiệu:m = minf(x) x∈ Dhoặc giá trị nhỏ nhất của y = M. II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Cho biểu thức: Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có: Với mọi số thức không âmx1, x2,..., xn, ta có: Đại lượngx1 + x2+...+xn được gọi là trung bình cộng của các sốx1, x2,..., xn Đại lượngx1.x2....xnđược gọi là trung bình cộng của các sốx1, x2,..., xn III. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức1. Biến đổi biểu thức - Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số. - Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cho hai số a, b không âm ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối |a| + |b| ≥ |a + b| Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích a, b ≥ 0 IV. Ví dụ bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa cănVí dụ 1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải a. Điều kiện xác định Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0 b. Điều kiện xác định Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0 Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải: Ví dụ 4:Cho biểu thức a, Rút gọn A b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9√x Lời giải: Ví dụ 5: a, Rút gọn A b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A Lời giải: Ví dụ 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1 Ví dụ 7:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Hướng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0⇔ x = 1/3. Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3. Bài tập vận dụng Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: Lời giải: Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: Lời giải:
Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán. Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) qua một số bài tập minh họa cụ thể. ° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) – Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số). * Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x – 3. Tìm GTNN của A. ° Lời giải: – Ta có: A = x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)2 – 4 – Vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 – 4 ≥ -4 ⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 – Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1. * Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x – 5. Tìm GTLN của A. ° Lời giải: – Ta có: A = -x2 + 6x – 5 = -x2 + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)2 + 4 = 4 – (x – 3)2 – Vì (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x – 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)2 ≤ 4 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 – Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3. * Ví dụ 3: Cho biểu thức:  – Tìm x để Amax; tính Amax =? ° Lời giải: – Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất. – Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4 – Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1 Vậy ° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) – Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như: – Dấu “=” xảy ra khi A = 0. * Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: ° Lời giải: – Ta thấy: Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 + 3 ≥ 3 nên * Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: – Ta có: Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)2 + 5 ≤ 5 nên * Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: – Ta có: * Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: – Điều kiện: x≥0 – Để A đạt giá trị lớn nhất thì – Ta có: Lại có: Dấu”=” xảy ra khi – Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4. ° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) – Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối. * Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: – Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5 Dấu “=” xảy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1 * Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3 ° Lời giải: – Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3 Dấu “=” xảy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9 Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,…) và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: * Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ° Lời giải: – Vì a,b>0 nên – Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)). Dấu “=” xảy ra khi – Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b. * Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ° Lời giải: – Vì a > 1 nên a – 1 > 0 ta có: Dấu “=” xảy ra khi Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0. – Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2. Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này. Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt. Đăng bởi: THPT Sóc Trăng Chuyên mục: Giáo Dục Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: Trường THPT Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn) |
