Công thức lượng giác luôn là cơn “ác mộng” lớn nhất với các em học toán lớp 10 bởi vì có quá nhiều công thức và rất khó nhớ. Nhưng đây lại là một phần quan trọng trong toán học, không chỉ có ở lớp 10 mà còn gặp lại ở lớp 11 và có trong các đề thi. Vì vậy các em học sinh không thể không thuộc các công thức này. Vậy làm sao để thuộc một cách dễ dàng và nhớ lâu? Dưới đây là một cách học thuộc công thức lượng giác siêu dễ dàng mà các em có thể tham khảo.  Làm thế nào để dễ thuộc và nhớ lâu các công thức lượng giác? Chắc chắn ở cấp 2 các em đều biết đến câu “Sin đi học, Cos không hư, Tang đoàn kết, Cotang kết đoàn” để nhắc đến cách tính 4 giá trị lượng giác của 1 góc nhọn trong tam giác vuông. Do đó nếu biến những công thức toán khô khan này là thành các câu dễ nhớ, các bài thơ ngắn gọn, dễ hiểu cũng là một cách hay. Tuy nhiên, các em đừng quên rằng học thuộc công thức lượng giác mới chỉ là một phần và để khắc sâu các công thức, biết sử dụng linh hoạt chúng thì không gì nhanh bằng việc làm thật nhiều bài tập liên quan đến các công thức đó. Ở phần lượng giác ở lớp 10, các em có rất nhiều loại công thức như: giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến tổng thành tích, biến tích thành tổng… Sau đây là một số câu thơ giúp các em ghi nhớ các công thức đó.
“Sin đi học, Cos không hư, Tang đoàn kết, Cotang kết đoàn” Để hiểu câu này thì ngoài các từ sin, cos, tan, cotang ra, các từ còn lại ta chỉ lấy chữ cái đầu tiên và tương ứng hiểu nó là tên các cạnh trong tam giác vuông. Cụ thể là “Sin đi học” ta chỉ lấy “Sin Đ H” và hiểu là trong một tam giác vuông thì sin của góc nhọn được tính bằng cách lấy cạnh Đối chia cạnh Huyền. “Cos không hư” ta chỉ lấy “Cos K H” nghĩa là cos của góc nhọn thì bằng cạnh Kề chia cạnh Huyền. “Tang đoàn kết” nghĩa là tang của góc nhọn thì bằng cạnh Đối chia cạnh Kề. “Cotang kết đoàn” có nghĩa là cotang của góc nhọn thì bằng cạnh Kề chia cạnh Đối.
“ Cos đối, Sin bù, phụ chéo, khác pi Tang”. Câu này có 4 ý nói tới 4 cặp góc có liên quan đặc biệt. “Cos đối” tức là 2 góc đối nhau thì cosin của chúng sẽ có giá trị bằng nhau. Còn các giá trị lượng giác khác không đề cập tới sẽ có giá trị đối nhau. “Sin bù” tức là Sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau, còn các giá trị lượng giác khác không đề cập tới sẽ có giá trị đối nhau. “phụ chéo” nghĩa là 2 góc phụ nhau thì sẽ cho: Sin góc này bằng Cos góc kia , Tang góc này bằng Cotang góc kia và ngược lại. Cụ thể là: “khác pi Tang” nghĩa là Tang của 2 góc hơn kém nhau π(rad) thì sẽ bằng nhau. Tương tự thì cotang của 2 góc đó bằng nhau nhưng sin và cos của chúng lại có giá trị đối nhau. Các công thức loại này có vế trái là sin, cos, tang của tổng (hoặc hiệu) hai góc a và b; vế phải là sin, cos, tang tương ứng của hai góc a và b đó. Trong đó thứ tự của các góc a và b trong các công thức là giống nhau. Cụ thể, công thức cộng của sin, cos là: Cách nhớ: Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos cos sin rõ ràng Cos thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho! Ở câu thơ thứ 3 nhắc các em là trong công thức cộng của cos thì dấu cộng hay dấu trừ ở trong ngoặc ở vế trái thì sang vế phải phải đổi ngược lại. Còn trong công thức cộng của sin thì dấu ở 2 vế giống nhau (giữ dấu) được nhắc đến ở câu thơ thứ 4. Cách nhớ công thức cộng của tang: Tang một tổng hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tang cộng cùng tang Hạ tầng số 1 ngang tàng Dám trừ đi cả tang tang oai hùng. Tang một hiệu hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tang hiệu cùng tang Hạ tầng số 1 ngang tàng Dám cộng với cả tang tang oai hùng. Hoặc: Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm. Tang hiệu thì lấy hiệu tang Chia một cộng với tích tang, dễ òm.
Vế trái của 4 công thức ở trên là tổng hoặc hiệu của 2 biểu thức sin hoặc cos góc a và b. Vế phải là tích của 2 giá trị lượng giác của 2 góc lần lượt là trung bình cộng và trung bình hiệu của góc a và b. Để nhớ 4 công thức trên ta có thể nhớ mấy câu thơ sau: Cos cộng cos bằng 2 cos cos Cos trừ cos bằng – 2 sin sin Sin cộng sin bằng 2 sin cos Sin trừ sin bằng 2 cos sin. Ngoài ra ta cũng có công thức biến tổng (hiệu) của tang 2 góc a và b thành tích và thương. Cách nhớ đối với công thức tổng 2 tang là: Tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta. Cách nhớ: sin 2 lần 2 lần sin cos cos 2 lần bình cos trừ bình sin Tang đôi ta lấy đôi tang Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền. Trong đó câu thơ thứ 2 chỉ đề cập đến cách tính thứ nhất trong công thức nhân đôi của cos2a. Cách nhớ: Nhân ba một góc bất kỳ, Sin thì ba bốn, cos thì bốn ba, Dấu trừ đặt giữa 2 ta, Lập phương chỗ bốn,… thế là ok. Mỗi người sẽ có cho mình những cách học thuộc công thức lượng giác khác nhau. Mong rằng các em tìm được cho mình cách học phù hợp để có thể nhớ lâu, hiểu kỹ và áp dụng được vào giải các bài toán của mình. Chúc các em học tập tốt. Cô giáo Đặng Phương Mai (Sưu tầm và tổng hợp) Bảng công thức lượng giác gồm các công thức cơ bản và các công thức biến đổi nâng cao, công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt
Công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng
Công thức nhân đôi, nhân ba và công thức hạ bậc
Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Cách học thuộc các công thức lượng giác bằng thơ Công thức CỘNG trong lượng giác Cos + cos = 2 cos coscos trừ cos = trừ 2 sin sinSin + sin = 2 sin cossin trừ sin = 2 cos sin.Sin thì sin cos cos sinCos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bắt được quả tangSin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)Cotang dại dộtBị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)Cách 2:Bắt được quả tangSin nằm trên cosCôtang cãi lại Cos nằm trên sin! GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NHÂN BA Nhân ba một góc bất kỳ,sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn, … thế là ok. Công thức gấp đôi: +Sin gấp đôi = 2 sin cos+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin= trừ 1 + 2 lần bình cos= + 1 trừ 2 lần bình sin+Tang gấp đôiTang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền. Cách nhớ công thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb tan một tổng 2 tầng cao rộngtrên thượng tầng tan + tan tandưới hạ tầng số 1 ngang tàng dám trừ một tích tan tan oai hùng CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNGCos cos nửa cos-+, + cos-trừSin sin nửa cos-trừ trừ cos-+ Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCHsin tổng lập tổng sin côcô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàngcòn tan tử + đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)một trừ tan tích mẫu mang thương sầugặp hiệu ta chớ lo âu, đổi trừ thành + ghi sâu vào lòng Một phiên bản khác của câu Tan mình + với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là tanx + tany: tình mình + lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta tanx – tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t=tg(a/2))Sin, cos mẫu giống nhau chả khácAi cũng là một + bình tê (1+t^2)Sin thì tử có 2 tê (2t), cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2). HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề) Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối) Sin : đi học (cạnh đối – cạnh huyền)Cos: không hư (cạnh đối – cạnh huyền)Tang: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề) Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối) Tìm sin lấy đối chia huyềnCosin lấy cạnh kề, huyền chia nhauCòn tang ta hãy tính sauĐối trên, kề dưới chia nhau ra liềnCotang cũng dễ ăn tiền Kề trên, đối dưới chia liền là ra Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo.+Sin bù :Sin(180-a)=sina+Cos đối :Cos(-a)=cosa+Hơn kém pi tang :Tg(a+180)=tgaCotg(a+180)=cotga +Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia. Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:Hơn kém bội 2 pi sin, cosTang, cotang hơn kém bội pi.Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosaTg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga*sin bình + cos bình = 1*Sin bình = tg bình trên tg bình + 1.*cos bình = 1 trên 1 + tg bình.*Một trên cos bình = 1 + tg bình.*Một trên sin bình = 1 + cotg bình. (Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên)
Học công thức lượng giác “thần chú”• Sin= đối/ huyền Cos= kề/ huyền Tan= đối/ kề Cot= kề/ huyền * Thần chú: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cotan kết đoàn Hoặc: Sao đi học, cứ khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây! • Công thức cộng: Cos(x y)= cosxcosy sinxsiny Sin(x y)= sinxcosy cosxsiny * Thần chú: Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos cos sin rõ ràng Cos thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho! Tan(x+y)= * Thần chú: Tan một tổng hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tan cộng cùng tan Hạ tầng số 1 ngang tàng Dám trừ đi cả tan tan oai hùng Hoặc: Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
• Công thức biến đổi tổng thành tích: Ví dụ: cosx+cosy= 2cos cos (Tương tự những công thức như vậy) * Thần chú: cos cộng cos bằng 2 cos cos Cos trừ cos bằng – 2 sin sin Sin cộng sin bằng 2 sin sin Sin trừ sin bằng 2 cos sin. * Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta. Công thức biến đổi tích thành tổng: Ví dụ: cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] (Tương tự những công thức như vậy) * Thần chú: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ. • Công thức nhân đôi: Ví dụ: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự những công thức như vậy) Thần chú: Sin gấp đôi = 2 sin cos Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai bình cos = cộng 1 trừ hai bình sin Chỉ việc nhớ công thức nhân đôi của cos bằng thần chú trên rồi từ đó có thể suy ra công thức hạ bậc. Tang gấp đôi=Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền. • Hàm số lượng giác và các cung có liên quan đặc biệt: Ví dụ: Cos(-x)= cosx Tan( + x)= tan x * Thần chú: Sin bù, Cos đối,Tang Pi, Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia Hoặc : Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém pi tang . L.N (sưu tầm và tổng hợp) |
