Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một dạng toán quan trọng trong đề thi THPT các năm. Top lời giải hướng dẫn chi tiết nhất cách giải dạng toán đồng biến, nghịch biến trên R qua bài viết sau: Show
1. Định lí về tính đồng biến nghịch biếnCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R: Đối với hàm số đa thức bậc 1: – Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0 – Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0 Đối với hàm số đa thức bậc 3: Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau: Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c – TH1: a = 0 (nếu có tham số) – TH2: a ≠ 0 Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được. Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ + 2(m-1)x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R. Lời giải: Để y = x³ + 2(m-1)x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì (m-1)² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4. Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến. Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx³ -mx² - (m + 4 )x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R. Lời giải: Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m(m+4) ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m <0. Kết hợp 2 trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2. Phân dạng bài tập tính đồng biến nghịch biến của hàm sốDạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f(x) +) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy. +) f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy. Quy tắc: +) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm. +) Lập bảng xét dấu f’(x) +) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Với mọi x1> x2∊ ℝ⇒ f (x1) < f (x2) B. Với mọi x1, x2∊ ℝ⇒ f (x1) > f (x2) C. Với mọi x1, x2∊ ℝ⇒ f (x1) < f (x2) D. Với mọi x1< x2∊ ℝ⇒ f (x1) < f (x2) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có: f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ. ⇒ x1< x2∊ ℝ⇒ f (x1) < f (x2) Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = -2x3+ 3x2– 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên ℝ B. f (a) > f (b) C. f (b) < 0 D. f (a) < f (b) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có: f’(x) = -6x2+ 6x – 3 < 0,∀ x∊ ℝ ⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ. 0 ≤ a < b⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b) Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m Kiến thức chung +) Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0,∀ x∊ (a;b). +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0,∀ x∊ (a;b). . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: Chú ý:Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d +) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2sao cho |x1– x2| = k +) Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1– x2| = k Ví dụ 1. Hàm số y = x3– 3x2+ (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi: Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có: y’ = 3x2– 6x + m – 2 Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2– 6x + m – 2 ≥ 0,∀ x∊ ℝ ⇔ ∆’ ≤ 0⇔ 15 – 3m ≤ 0⇔ m ≥ 5 Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x3– mx2– (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Ta có: y’ = x2– 2mx – 3m + 2 Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x2– 2mx – 3m + 2 ≥ 0,∀ x∊ ℝ ⇔ ∆’ ≤ 0⇔ m2+ 3m + 2 ≤ 0⇔ -2 ≤ m ≤ -1 Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương - Bước 1: Tìm tập xác định - Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi(i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3: Sắp xếp các điểm xitheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:y = x4– 2x2+ 1 Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ y’ = 4x3– 4x = 4x (x2– 1) Cho y’ = 0⇒ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1) Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:y = -x4+ x2– 2 Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ y’ = -4x3+ 2x = 2x (-2x2+ 1) Cho y’ = 0⇒ x = 0 hoặcx = -√2/2 hoặc x = √2/2 Bảng biến thiên: Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x4+ 2x2– 1 Hàm số xác định với mọi x∊ ℝ y’ = x3+ 4x = x (x2+ 4) Cho y’ = 0⇒ x = 0 (do x2+ 4 = 0 vô nghiệm) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) - Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng bằng nhiều cách như cô lập tham số, nhẩm nghiệm, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Tham khảo: Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021 môn Toán
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. Bản quyền thuộc về VnDoc. I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng- Định lí: Cho hàm số  + Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi + Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi 1. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng xác định Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau: - Hàm số - Hàm số 2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước. Cách 1:
Cách 2: Cô lập tham số m Bước 1: Tìm y’ Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ Bước 3: Xét dấu với hàm theo bảng quy tắc sau:
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước.Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải Ta có: Hàm số nghịch biến trên Xét Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả Đáp án B Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số
Hướng dẫn giải Ta có: Hàm số đồng biến trên Xét hàm số: Lập bảng biến thiên kết luận Đáp án D Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải Để hàm số đồng biến trên thì: Đáp án D II. Bài tập tự luyệnCâu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số
Câu 4: Tìm m để hàm số
Câu 5: Tìm m để hàm số
Câu 6: Tìm m để hàm số
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
Câu 8: Cho hàm số
Câu 9: Hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi giá trị m là?
Câu 10: Cho hàm số:
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm số y = (m - 2)x + 2m đồng biến trên R.
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm số y =(m2-4)x + 2m đồng biến trên R.
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số số m để hàm số
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln (16x2 + 1) - (m +1)x + m + 2 nghịch biến trên khoảng ( -∞; +∞)
Câu 15:Cho hàm số y = x3 + 3x2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -2) và (0 ;+∞) B. Hàm số nghịch biến trên (-2 ; 1) C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; 0) và (2 ;+∞) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -2) và (0 ;+∞) -------------------------------------------------------------------- Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức nội dung của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng... Hi vọng đây là tài liệu hữu ích giúp bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập tại các mục Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải. Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé. |
