Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn. Bài 2 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao – Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Show Cho đường thẳng \(\Delta :3x – 4y + 2 = 0.\) a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số. b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn. c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm \(M(3;5),N( – 4;0),P(2;1)\) tới Δ và xét xem đường thẳng cắt cạnh nào của tam giác MNP. d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.  a) Δ có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3\,;\, – 4)\)nên có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {4;3} \right)\). Δ đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,{1 \over 2}} \right)\) . Vậy Δ có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 4t \hfill \cr y = {1 \over 2} + 3t \hfill \cr} \right.\) b) Ta có Quảng cáo\(3x – 4y + 2 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,3x – 4y = – 2\) \(\Leftrightarrow \,\,{x \over { – {2 \over 3}}} + {y \over {{1 \over 2}}} = 1\) c) Ta có \(\eqalign{ & d(\,M\,;\,\Delta ) = {{|3.3 – 4.5 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {9 \over 5} \cr & d(\,N\,;\,\Delta ) = {{| – 12 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {{10} \over 5} = 2 \cr & d(\,P\,;\,\Delta ) = {{|6 – 4 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {4 \over 5} \cr} \) M và N cùng phía đối với đường thẳng Δ còn P nằm khác phía nên Δ không cắt MN, Δ cắt MP và NP. d) Đường thẳng Ox có phương trình y = 0, α là góc giữa α với Ox thì \(\cos \alpha = {{|3.0 – 4.1|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {4 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\alpha \approx {36^0}52’\) Phương trình đường thẳng Oy là x = 0, \(\beta \) là góc giữa Δ với Oy ta có \(\cos \beta = {{|3.1 – 4.0|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {3 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\beta \approx {53^0}7’\)
Dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng trong không gian thường có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng. Một trong các dạng bài tập hay được sử dụng đó là: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Hôm nay thầy sẽ gửi tới chúng ta lý thuyết và bài tập dạng này, hy vọng sẽ giải quyết được nhiều thắc mắc của các bạn. Xem thêm: Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian 1. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnPhương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A(a;0;0);B(0;b;0); C(0;0;c)$ có dạng là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a.b.c \neq 0$. Trong đó $A\in Ox; B\in Oy; C\in Oz$. Khi đó $(P)$ được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Như vậy nếu bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết $(P)$ đi qua 3 điểm $A(2;0;0);B(0;3;0); C(0;0;4)$ thì ta sẽ có ngay phương trình mặt phẳng $(P)$ là:$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$. Đó chỉ là lý thuyết về phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, còn cách vận dụng nó vào các bài toán nâng cao hơn, dành cho ôn thi đại học, cao đẳng thì sẽ như thế nào? chúng ta cùng nhau theo dõi nội dung của bài tập Bạn đã xem chưa? 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng 2. Sử dụng phương trình đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳngBài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết nó đi qua điểm $G(1;2;3)$ và cắt các trục $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Hướng dẫn a. Phân tích bài toán:Các bạn cần giải quyết một số vấn đề sau: 1. Các điểm $A;B;C$ thuộc $Ox;Oy;Oz$ => tọa độ của $A;B;C$ ? 2. $(P)$ đi qua $A;B;C$ => Phương trình $(P)$ ? 3. $G$ là trọng tâm => công thức tọa độ trọng tâm trong tam giác ? 4. $(P)$ đi qua $G$ => Phương trình $(P)$ ? Khi các bạn đã phân tích được các yêu cầu đó thì hãy ghép chúng lại để có một hướng đi cụ thể cho việc tìm lời giải bài toán trên. Và bây giờ thầy sẽ hướng dẫn các bạn trình bày lời giải cụ thể cho bài toán này. b. Trình bày lời giảiVì 3 điểm $A; B;C$ thuộc $Ox;Oy;Oz$ nên ta giả sử tọa độ của 3 điểm $A; B;C$ lần lượt là $A(a;0;0); B(0;b;0);C(0;0;c)$. Khi đó mặt phẳng $(P)$ có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. (1) Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên theo công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có: $\left \{\begin{array}{lll}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\\z_A+z_B+z_C=3z_G\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}a+0+0=1.3\\0+b+0=2.3\\0+0+c=3.3 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}a=3\\b=6\\c=9\end{array}\right.$ (2) Thay các giá trị của $a; b; c$ ở (2) vào (1) thì mặt phẳng $(P)$ có dạng: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$. (3) Tới đây chúng ta đã kết luận được chưa nhỉ? Các bạn cần kiểm tra xem điểm $G(1;2;3)$ mà bài toán cho có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không? Thay tọa độ điểm $G$ vào vế trái của (3) ta có: VT =$\frac{1}{3}+\frac{2}{6}+\frac{3}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$ = VP. Tức là điểm $G(1;2;3)$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy phương trình của mặt phẳng $(P)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$ Qua ví dụ trên các bạn đã thấy một ứng dụng của phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn được sử dụng trong giải toán như thế nào? Bên cạnh đó các bạn còn được ôn tập lại kiến thức về cách xác định tọa độ của trọng tâm trong tam giác. Vẫn cùng một dạng toán và yêu cầu như trên nhưng thầy thay ” Trọng tâm tam giác” thành ” Trọng tâm tứ diện ” thì thầy sẽ có một bài toán gần tương tự, nhưng liệu cách giải có áp dụng hoàn toàn như bài tập 1 hay không? Bài giảng nên xem: Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $OABC$ nhận điểm $G(1;1;2)$ là trọng tâm của tứ diện. Hướng dẫn: a. Phân tích bài toán:Bài toán thứ 2 này gần giống với bài toán thứ 1, vì vậy hướng làm của chúng ta cũng tương tự như vậy. Chúng ta cũng cần giải quyết một số vấn đề sau: 1. Các điểm $A;B;C$ thuộc $Ox;Oy;Oz$ => tọa độ của $A;B;C$ ? 2. $(P)$ đi qua $A;B;C$ => Phương trình $(P)$ ? 3. $G$ là trọng tâm tứ diện=> công thức tọa độ trọng tâm tứ diện ? Khi các bạn đã phân tích được các yêu cầu đó thì hãy ghép chúng lại để có một hướng đi cụ thể cho việc tìm lời giải bài toán trên. Và bây giờ thầy sẽ hướng dẫn các bạn trình bày lời giải cụ thể cho bài toán này. b. Trình bày lời giảiVì 3 điểm $A; B;C$ thuộc $Ox;Oy;Oz$ nên ta giả sử tọa độ của 3 điểm $A; B;C$ lần lượt là $A(a;0;0); B(0;b;0);C(0;0;c)$. Khi đó mặt phẳng $(P)$ có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. (1) Vì $G$ là trọng tâm của tứ diện $OABC$ nên theo công thức tọa độ trọng tâm của tứ diện ta có: $\left \{\begin{array}{lll}x_A+x_B+x_C+x_O=4x_G\\y_A+y_B+y_C+y_O=4y_G\\z_A+z_B+z_C+z_O=4z_G \end{array}\right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}a+0+0+0=4.1\\0+b+0+0=4.1\\0+0+c+0=4.2 \end{array}\right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}a=4\\b=4\\c=8\end{array}\right.$ (2) Thay các giá trị $a; b; c$ tìm được ở (2) vào (1) ta được: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1$ Vậy phương trình của mặt phẳng $(P)$ cần tìm là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1$ Video bài giảng hay bạn không nên bỏ qua: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc 3. Lời kếtViệc sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn vào bài toán viết phương trình mặt phẳng mà thầy gửi tới các bạn trong hai bài tập trên đã phần nào giúp các bạn giải đáp được khó khăn gặp phải đối với dạng toán này. Các bạn hãy nghiên cứu kĩ những phân tích và lời giải của hai bài toán trên. Sau khi đã hiểu rõ bài toán mà thầy gửi trong bài giảng rồi thì ngay sau đây hãy làm giúp thầy bài tập này nhé (độ phức tạp cao hơn 1 chút). Các bạn có thể trao đổi trong hộp bình luận phía dưới nhé. Bài tập về nhà: Bài tập 3: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $H(2;1;1)$ cắt các trục $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Các bạn có thể xem video bài giảng này:
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ |
