Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi Show
1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4, sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.[cần dẫn nguồn] Tiêu chuẩn tích phân[sửa | sửa mã nguồn]Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho . Nếu tích phân vô định thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ. Dấu hiệu p-chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số . Vậy thì chuỗi hội tụ khi và chỉ khi . Trường hợp ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến . Tổng quát, với , chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với tức là . Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]Nếu chuỗi là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng với n đủ lớn, thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn[sửa | sửa mã nguồn]Nếu , (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì phân kỳ khi và chỉ khi phân kỳ. Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn Cauchy nén[sửa | sửa mã nguồn]Cho là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn hội tụ khi và chỉ khi tổng hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức được thỏa mãn. Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối[sửa | sửa mã nguồn]Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ. Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu[sửa | sửa mã nguồn]Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn: Vậy và là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz. Dấu hiệu Abel[sửa | sửa mã nguồn]Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy thì chuỗi cũng hội tụ. Dấu hiệu Dirichlet[sửa | sửa mã nguồn]Nếu là một dãy số thực và là một dãy số phức thỏa mãn
trong đó M là một hằng số, thì chuỗi
hội tụ. Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel[sửa | sửa mã nguồn]Cho dãy . Định nghĩa dãy
Nếu giới hạn
tồn tại thì có ba khả năng:
Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σan là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho
với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ. Dấu hiệu Bertrand[sửa | sửa mã nguồn]Cho { an } là một dãy số dương. Định nghĩa
Nếu tồn tại giới hạn
thì có ba khả năng:
Dấu hiệu Gauss[sửa | sửa mã nguồn]Cho { an } là một dãy số dương. Nếu với một số β > 1, thì hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1. Chú ý[sửa | sửa mã nguồn]Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini. |
