§1. SỐ PHỨC
KIẾN THỨC CĂN BẢN
sối: i2 = —1
Định nghĩa số phửc
Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b e s, i2 = -1 được gọi là một số phức.
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
Tập hợp các số phức kí hiệu là c.
Số phức bằng nhau
a + bi = c + di a = c và b = d
Biểu diễn hình học số phức
Điểm M(a; b) trong hệ tọa độ vuông góc xOy được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
Môđun của số phức
z = a + bi thì I z I = Va2 + b2
Số phức liên hợp
Số phức z' = z = a - bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi.
Chú ý: z = z; I z I = íz|
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm phần thực và phần áo cúa số phức z, biết: - z = -7i.
- z = 1 - xi; b) z = \Í2 - i; c) z = 2 V2 ;
éịiải
Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:
1;-71 b) 72 ; -1 c)2ự2;0 d) 0;-7.
Tìm các sô’ thực X và y, biết:
- (3x - 2) + (2y + l)i = (x + 1) - (y - 5)i b) (1 - 2x) - i Vã = Võ + (1 - 3y)i
- (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + l)i.
Áp dụng a + bi = c + di
- |z| = 7T22 + (-3)2 = 7ĨĨ; d) Iz| = 7(737 = 73.
- (3x - 2) + (2y + l)i = (x + 1) - (y - 5)i
3x - 2 = X + 1 2y +1 = -(y - 5)
3
X = — 2
4
y 3
- (1 - 2x) - i 73 = 75 + (1 - 3y)i •
1 - 2x = 75 l-3y = -73
1-75
2
1 + 73
- (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + l)i
d)z = i Tã.
j2x + y = x-2y + 3 ix + 3y = 3 lx = 0
[2y- x = y + 2x + ie> |-3x + y = 1 [y = 1
Trên mặt phăng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn diều kiện: a) Phần thực của z bằng -2 b) Phần ảo của z bằng 3
- Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2) d) Phần ảo cùa z thuộc đoạn [1; 3],
- Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2],
Ốịlải
y
-2
' 0
X
y
3
0
X
»
f
y*
Các điểm biểu diễn số phức z được xác định trên các hình
Trên mặt phăng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) I z I = 1; b) I z I < 1;
- 1 < I z I < 2; d) I z I = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Ốjiải
Giả sử z = X + yi
|z| = 1 X2 + y2 = 1. Tập hợp điểm là đường tròn tâm o bán kính bằng 1.
I z| < 1 <o X2 + y2 < 1. Tập hợp điểm là hình tròn kể cả biên tâm 0 bán kính bằng 1.
và d) Tập hợp điểm là các hình sau:
y
y
A
°
W
X
\ °
1/
X
-
'W||
- Tìm z , biết: a) z = 1 - i V2 ; b) z = - V2 + i Vã ; c) z = 5; d) z = 7i.
Ốịlải
- z = 1 + i V2 ; b) z = - V2 - i Vẩ ; c) Z = 5; d) Z = -7i.
- BÀI TẬP LÀM THÊM
Tìm X, y e K thỏa:
3x - 1 + (3 - 2y)i = 2 - 3x - 3yi
X + y - 3 + (2x - y)i = 3x - 2y - (2y + l)i.
Tính môđun của z biết:
z = 3 - 2i b) z = -3i c) z = 5.
Tìm tập hợp điểm biểu diễn các sô' phức z thỏa I z I < 2 và phần ảo của z thuộc [-1; 1],
Sách giải toán 12 Bài 1 : Số phức giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 130: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: -3 + 5i, 4 – i√2, 0 + πi, 1 + 0i. Lời giải: Số phức Phần thực Phần ảo -3 + 5i -3 5 4 – i√2 4 -√2 0 + πi 0 π 1 + 0i 1 0 Lời giải: Số phức đó là z = 1/2 – √3/2 i. - Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 3 – 2i, -4i, 3.
- Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ ?
Lời giải: - Các điểm biểu diễn số thực nằm trên Ox, các điểm biểu diễn số ảo nằm trên Oy.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 132: Số phức nào có môđun bằng 0 ? Lời giải: Số phức là môđun bằng 0 là z = 0 + 0i. Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 132: Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng tọa độ và nêu nhận xét: - 2 + 3i và 2 – 3i;
- -2 + 3i và -2 – 3i.
Lời giải: Hai điểm đối xứng nhau qua Ox. Hai điểm đối xứng nhau qua Oy. - Hãy tính z– và
. Nêu nhận xét. - Tính |z| và |z–|. Nêu nhận xét.
Lời giải: Bài 1 (trang 133 SGK Giải tích 12): Tính phần thực phần ảo của số phức x, biết:
- z = 1 – πi
- z = √2 – i
- z = 2 √2
- z = -7i
Lời giải: - Phần thực: 1, phần ảo: -π
- Phần thực: √2, phần ảo: -1
- Phần thực: 2 √2, phần ảo: 0
- Phần thực: 0, phần ảo: -7
Bài 2 (trang 133 SGK Giải tích 12): Tìm các số thực x và y, biết:
- (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i
- (1 – 2x) – i√3 = √5 + (1 – 3y)i
- (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i
Lời giải: - (3x – 2) + (2y – 1).i = (x + 1) – (y – 5).i
- (1 – 2x) – i√3 = √5 + (1 – 3y)i
- (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i
Bài 3 (trang 133 SGK Giải tích 12): Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
- Phần thực của z bẳng -2
- Phần ảo của z bẳng 3
- Phần thực của z thuộc khoảng (-1;2)
- Phần ảo của z thuộc đoạn [1;3]
- Phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn [-2; 2]
Lời giải: - Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng x = -2
- Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y = 3
- Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng song song x = -1 và x = 2 (hình có gạch sọc)
- Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng song song y = 1 và y = 3( kể cả các điểm thuộc hai đường thẳng đó).
- Các điểm thuộc hình chữ nhật với các cạnh nằm trên các đường thằng x = -2, x = 2 , y = -2, y = 2.
Bài 4 (trang 134 SGK Giải tích 12): Tính |z|, với:
- z = -2 + i √3
- z = √2- 3i
- z = -5
- z = i√3
Lời giải: Bài 5 (trang 134 SGK Giải tích 12): Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện:
- |z| = 1
- |z| ≤ 1
- 1<|z| ≤ 2
- |z| = 1 và phần ảo của z = 1
Lời giải: Gọi số phức z = x + y.i có điểm biểu diễn là M(x; y). - |z| = 1 ⇔ √(x2 + y2 ) = 1 ⇔ x2 + y2 = 1
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1. - |z| ≤ 1 ⇔ √(x2 + y2 ) ≤ 1 ⇔ x2 + y2 ≤ 1
Vậy tập hợp điểm M là hình tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1. - 1 < |z| ≤ 2 ⇔ 1 < √(x2 + y2 ) ≤ 2 ⇔ 1 < x2 + y2 ≤ 4.
Vậy tập hợp điểm M là hình vành khăn tâm O, bán kính tròn nhở bằng 1,đường tròn lớn bằng 2, không kể các điểm thuộc đường tròn nhỏ. | 
