Vậy số trang tài liệu được chuyển trong 1 ngày của công ty là = 267 ± 16,19 hay khoảng ước lượng (250,81 ; 283,19). Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và ≥ Bước 1: Xác định:,,. Tính \=và là hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước). Bước 2: Tính độ chính xác cho bởi công thức: = .Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của μ là − ; + Ví dụ 3. Khảo sát 100 sinh viên chọn ngẫu nhiên trong trường thì thấy điểm trung bình môn Toán là 5,12 và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 0,0676. Hãy ước lượng điểm trung bình môn Toán của sinh viên toàn trường với độ tin cậy 97%. Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và < Bước 1: Xác định:,, , ,trong đó có phân phối Student với n – 1 bậc tự do. (tra bảng phân phối Student 1 phía dòng − 1, cột ). Bước 2: Tính độ chính xác cho bởi công thức: = .Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của μ là − ; + Ví dụ 4. Chiều dài của một loại sản phẩm có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm được chiều dài trung bình là 10,02m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 0,04m. Tìm khoảng ước lượng chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%. Ví dụ 5. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 khách hàng sử dụng dịch vụ ATM thuộc hệ thống của một ngân hàng được ghi nhận về thời gian (giây) thực hiện xong một dịch vụ: 65, 30, 40, 58, 26, 60, 75, 45, 50, 36, 76, 34, 38, 50, 44, 56. Giả sử thời gian thực hiện dịch vụ qua ATM có phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng ước lượng cho thời gian trung bình thực hiện dịch vụ qua ATM với độ tin cậy 99%. Huong-dan-giai-bai-tap-xac-suat-va-thong-ke-toan-hoc-duong-ton-dam,-ha-manh-linh,-le-hoang-tuan - [cuuduongthancong
Preview text8 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ8.3 Khái niệm về ước lượng khoảng. Cần nhớ rằng mẫu là một phần của dân số thường được chọn bởi phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên và như vậy nó là một tập hợp các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., Xn với cùng một hàm mật độ xác suất f (x; θ). Sau khi lấy mẫu xong, ta nhận được X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,..., Xn = xn, trong đó x 1 , x 2 ,..., xn là dữ liệu mẫu. Bài toán ước lượng khoảng có thể được phát biểu như sau: Với mẫu X 1 , X 2 ,..., Xn và giá trị xác suất 1 − α , tìm một cặp thống kê θi ( X 1 , X 2 ,..., Xn ) ;i =1,2 ;θ 1 ≤θ 2 sao cho xác suất của θ trên khoảng ngẫu nhiên ( θ 1 ,θ 2 ) là 1 − α , nghĩa là P ( θ 1 ( X 1 , X 2 ,..., Xn ) ≤θ≤θ 2 ( X 1 , X 2 ,..., Xn ))= 1 − α. Biến ngẫu nhiên θ 1 được gọi là giới hạn tin cậy dưới và θ 2 được gọi là giới hạn tin cậy trên. Số (1 − α) được gọi là hệ số tin cậy hoặc mức tin cậy. Khoảng tin cậy cho một mẫu Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình μ, đã biết phương sai của phân phối chuẩn, đã biết phương sai, hoặc của phân phối với cỡ mẫu lớn, đã biết phương sai. Tìm khoảng tin cậy (1 − α) cho trung bình μ của một phân phối chuẩn với phương sai đã biết σ 2 hoặc: Tìm khoảng tin cậy (1 - α) cho giá trị trung bình μ của một dân số có phương sai đã biết σ 2 , trong đó cỡ mẫu n lớn.
\= 1 − α 2 , trong đó Φ ( z ) là hàm phân phối chuẩn tắc. Nghĩa là, zα 2 được xác định để: P ( Z ≥zα 2 ) \=α 2 ;
σ zα 2 √ n ;
Tham số Giả định Khoảng tin cậy ( 1 − α ) a) μ n lớn, σ 2 đã biết, hoặc p chuẩn, σ 2 đã biết, ́ x± zα 2 (σ √ n )b ) μ p chuẩn, σ 2 ch a ư biết ́ x±tα 2 ,n − 1 (s √ n )
(( n − 1 ) s 2 χα 2 ,n − 1 2 ,( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2 ,n − 1 2 )d ) p p nh th c,ị ứ n l nớ ^ p± zα 2 .√p ( 1 − p ) n Bảng 8: Tóm tắt các khoảng tin cậy phổ biến: một mẫu Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., X 11 ; có phân phối chuẩn với ∑ i = 1 11 xi = 132 và σ 2 =9,9 ; Ta cần tính khoảng tin cậy 95% ¿( 1 − α ) cho tham số μ. Trước hết ta có ́ x = 13211\= 12 ;√σ 2 n \=√9.11\=√0,. Dùng bảng giá trị của phân phối chính tắc N (0,1) , ta sẽ thu được: zα 2 \= z 0,025=1.. Sử dụng trường hợp a) (trong Bảng 8) ta có khoảng tin cậy cho tham số μ, sẽ là [ 12 −1,96√0,9 ; 12 +1,96√0,9]=[10,14 ; 13,859]. Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., X 40 ; với ∑ i = 1 40 xi =286,56, và phương sai σ 2 = 10. Ta cần tính khoảng tin cậy 90% ¿( 1 − α ) cho tham số μ. Ta coi n = 40 > 30 làl n ớ_._ Theo giả thuyết ta có ( 1 − α )=0,9 ⇒ α 2 \=0,05 ⇒z 0,05=1,64, (Theo bảng giá trị N (0,1)¿.Mặt khác ta có giá trị của trung bình mẫu là: ́ x = 286,40\=7,164. Sử dụng trường hợp
(( n − 1 ) s 2 χα 2 ,n − 1 2 ,( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2 ,n − 1 2 )\=(128,21,;128,5,32 )≈ (6,11 ; 24,55). Khoảng tin cậy cho tham số p của phân phối nhị thức. (Xem cách tính theo phần d) trong bảng 8). Ví dụ 8.3 Khi khảo sát ý kiến về một vấn đề, người ta đã lấy ý kiến của 78 người, và thu nhận được 33 ý kiến đồng ý (về vấn đề đó). Cần tìm khoảng tin cậy 95% cho tham số p (tỉ lệ đồng ý) cho bài toán ước lượng khoảng. Trước hết ta thấy rằng: ^ p = 33 78 \=0,4231 ;⇒√p ( 1 − p ) n \=√0,4231,78≈ 0,0559.Áp dụng cách tính theo phần d) trong bảng 8, với khoảng tin cậy 95%, ta có zα 2 \= z 0,025=1,96 (Dùng bảng chuẩn N (0,1) ). Từ đó suy ra: ^ p − zα 2 .√p ( 1 − p ) n \=0,4231−1. 0,0559 ≈ 0,3135.Tương tự ta tính được: ^ p + zα 2 .√p ( 1 − p ) n ≈ 0,5237,Vậy khoảng tin cậy cho p sẽ là: [0,3135 ; 0,5237]. BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG (Ước lượng điểm) Bài tập 01. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., XN; có phân phối nhị thức B ( n, p ) với các tham số n;p đều chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen. Hướng dẫn giải Trước hết ta có các momen gốc bậc nhất lý thuyết và thực nghiệm là: np = EX = X ́. (*) Sau đó khi xét đến momen gốc bậc hai ta sẽ thu được phương trình: 1 N ∑ i = 1 N Xi 2 = E X 2 = np ( 1 − p )+ n 2 p 2 (**) Gọi T 1 ( X 1 ,X 2 ,...,XN ) và T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) là các hàm ước lượng cho p và n tương ứng. Từ phương trình (*) ta sẽ có: T 1 ( X 1 ,X 2 ,..., XN )= X ́T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) ;Mặt khác vì T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) là hàm ước lượng của n, nên từ (**) sẽ suy ra T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN )= ( X ́) 2 X ́+ E X 2 −(∑ i = 1 N 1 N Xi 2 ) ;Ta chú ý rằng: X P ́ → np; ∑ i = 1 N 1 N Xi 2 P → np ( 1 − p )+ n 2 p 2 ; như vậy T 1 và T 2 đều là các ước lượng vững. Bài tập 02. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., Xn; có phân phối Gamma G ( α, β ) với các tham số α, β đều chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen. Hướng dẫn giải Trong phần về lý thuyết xác suất (Xem bài học 03) ta đã biết về kỳ vọng và phương sai của phân phối Gamma G ( α, β ) tương ứng là: EX = αβ;Var X = α β 2 ; Từ đó ta suy ra hệ phương trình momen sau: X ́= αβ; n − 1 n S 2 = α β 2 ; Giải hệ phương trình trên bằng cách khử ta thu được: ^ β =( n − 1 ) S 2 nX ́ ;α ^= X ́^ β ; Bài tập 03. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., Xn; có phân phối Poisson với tham số λ, chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp hợp lý cực đại. (Maximum likelihood method). Hướng dẫn giải cậy cho ước lượng về giá trị trung bình và phương sai theo các dữ liệu mẫu nêu trên với độ tin cậy 95%. Hướng dẫn giải Trước hết ta tính trung bình mẫu và phương sai mẫu (trong bài tập này chúng đều chưa được biết, ta sẽ có: |
