Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nghĩa là gì. Định nghĩa, khái niệm, ký hiệuPhương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu số hạng tự do của nó bằng 0 và ngược lại là không đồng nhất. Một hệ gồm các phương trình thuần nhất được gọi là thuần nhất và có dạng tổng quát: Rõ ràng, bất kỳ hệ thống thuần nhất nào là nhất quán và có nghiệm bằng không (tầm thường). Do đó, khi áp dụng cho các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, thường cần tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi về sự tồn tại của các nghiệm khác không. Câu trả lời cho câu hỏi này có thể được xây dựng dưới dạng định lý sau. Định lý . Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi hạng của nó nhỏ hơn số ẩn số . Bằng chứng: Giả sử một hệ có hạng bằng nhau có nghiệm khác không. Rõ ràng là không vượt trội. Trong trường hợp, hệ thống có một giải pháp duy nhất. Vì một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm bằng không, chính xác là nghiệm không sẽ là nghiệm duy nhất này. Do đó, các giải pháp khác không chỉ có thể cho. Hệ quả 1 : Một hệ phương trình thuần nhất trong đó số phương trình nhỏ hơn số ẩn số luôn có nghiệm khác không. Bằng chứng: Nếu hệ phương trình, thì hạng của hệ không vượt quá số phương trình, tức là ... Do đó, điều kiện được thỏa mãn và do đó, hệ thống có nghiệm khác không. Hệ quả 2 : Một hệ phương trình thuần nhất với ẩn số có nghiệm khác không khi và chỉ khi định thức của nó bằng 0. Bằng chứng: Giả sử một hệ phương trình thuần nhất tuyến tính mà ma trận với định thức có nghiệm khác không. Sau đó, theo định lý đã được chứng minh, có nghĩa là ma trận suy biến, tức là ... Định lý Kronecker-Capelli: SLN nhất quán nếu và chỉ khi hạng của ma trận hệ thống bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này. Hệ thống ur được gọi là khớp nếu nó có ít nhất một nghiệm.Hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Một hệ gồm m ur-s tuyến tính với n biến được gọi là hệ phương trình thuần nhất tuyến tính nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0. Hệ thống ur-s thuần nhất tuyến tính luôn tương thích, vì nó luôn luôn có ít nhất một giải pháp bằng không. Một hệ thống các ur-s thuần nhất tuyến tính có nghiệm khác không nếu và chỉ khi hạng của ma trận hệ số của nó đối với các biến nhỏ hơn số biến, tức là tại rang A (n. bất kỳ lin.combination các giải pháp của hệ thống lin. đồng nhất ur-nd cũng là giải pháp cho hệ thống này. Một hệ gồm các nghiệm độc lập tuyến tính e1, e2,, ek được gọi là cơ bản nếu mỗi nghiệm của hệ là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm. Định lý: nếu hạng r của ma trận các hệ số đối với các biến của hệ phương trình thuần nhất tuyến tính nhỏ hơn số biến n, thì bất kỳ hệ nghiệm cơ bản nào của hệ đều có n-r nghiệm. Do đó, giải pháp chung của lin. một-ord. ur-i có dạng: c1e1 + c2e2 + + ckek, trong đó e1, e2,, ek là bất kỳ hệ nghiệm cơ bản nào, c1, c2,, ck là các số tùy ý và k = n-r. Nghiệm tổng quát của một hệ gồm m phương trình tuyến tính có n biến bằng tổng nghiệm chung của hệ tương ứng là thuần nhất. ur-s tuyến tính và một nghiệm cụ thể tùy ý của hệ thống này. 7. Các không gian tuyến tính. Không gian con. Cơ sở, thứ nguyên. Vỏ tuyến tính. Không gian tuyến tính được gọi là n-chiều nếu có một hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính trong đó, và bất kỳ hệ thống các vectơ nào khác phụ thuộc tuyến tính. Số được gọi là thứ nguyên (số thứ nguyên) không gian tuyến tính và được ký hiệu. Nói cách khác, số chiều của một không gian là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của không gian này. Nếu một số như vậy tồn tại, thì không gian được gọi là hữu hạn chiều. Nếu với bất kỳ số tự nhiên n nào trong không gian tồn tại một hệ gồm các vectơ độc lập tuyến tính, thì một không gian như vậy được gọi là vô hạn chiều (ghi :). Hơn nữa, trừ khi có quy định khác, không gian hữu hạn chiều sẽ được xem xét. Cơ sở của không gian tuyến tính n chiều là một tập hợp có thứ tự của các vectơ độc lập tuyến tính ( vectơ cơ sở). Định lý 8.1 về khai triển của một vectơ trong một cơ sở. Nếu là một cơ sở của không gian tuyến tính n chiều, thì bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở: V = v1 * e1 + v2 * e2 + + vn + en Thật vậy, số chiều của không gian bằng nhau. Hệ vectơ là độc lập tuyến tính (đây là cơ sở). Sau khi nối bất kỳ vectơ nào với cơ sở, chúng ta thu được một hệ phụ thuộc tuyến tính (vì hệ này bao gồm các vectơ trong không gian n chiều). Theo tính chất 7 của vectơ phụ thuộc tuyến tính và vectơ độc lập tuyến tính, chúng ta thu được kết luận của định lý. Phương pháp Gauss có một số nhược điểm: không thể biết hệ thống có tương thích hay không cho đến khi thực hiện tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gauss; Phương pháp Gaussian không thích hợp cho các hệ thống có hệ số chữ cái. Xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm hạng của ma trận và rút gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống chung nào thành nghiệm của hệ áp dụng quy tắc Cramer. Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau sử dụng hệ thức cơ bản là nghiệm của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm riêng của hệ không thuần nhất. 1. Soạn ma trận MỘT và ma trận hệ thống mở rộng (1)  2. Kiểm tra hệ thống (1) để tương thích. Để làm điều này, chúng tôi tìm các cấp bậc của ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Nếu hóa ra là như vậy thì hệ thống (1) không nhất quán. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , sau đó hệ thống này tương thích và chúng tôi sẽ giải quyết nó. (Nghiên cứu tính nhất quán dựa trên định lý Kronecker-Capelli.) Một. Tìm thấy rA. Để tìm rA, chúng tôi sẽ xem xét tuần tự các phần tử khác không của thứ tự thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận MỘT và những kẻ tiểu nhân giáp ranh với họ. M1= 1 0 (1 được lấy từ góc trên bên trái của ma trận MỘT). Biên giới M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. Chúng ta có: Chúng ta thấy rằng rA = 2, a là con cơ bản của ma trận MỘT. NS. Chúng ta tìm thấy. Cơ bản đủ nhỏ M2 ma trận MỘT viền với một cột gồm các thành viên tự do và tất cả các hàng (chúng tôi chỉ có hàng cuối cùng). Tại vì M2 - cơ sở nhỏ của ma trận MỘT hệ thống (2) , thì hệ thống này tương đương với hệ thống (3) bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (2) (vì M2 nằm trong hai hàng đầu tiên của ma trận A). Kể từ phần nhỏ cơ sở https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4) Trong hệ thống này, hai ẩn số miễn phí ( x2 và x4 ). Đó là lý do tại sao FSR hệ thống (4) bao gồm hai giải pháp. Để tìm chúng, hãy để chúng tôi thêm các ẩn số miễn phí trong (4) giá trị đầu tiên x2 = 1 , x4 = 0 , và sau đó - x2 = 0 , x4 = 1 . Tại x2 = 1 , x4 = 0 chúng tôi nhận được: Hệ thống này đã có điều duy nhất giải pháp (nó có thể được tìm thấy theo quy tắc Cramer hoặc theo bất kỳ cách nào khác). Trừ đi phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: Giải pháp của cô ấy sẽ là x1 = -1 , x3 = 0 ... Đưa ra các giá trị x2 và x4 mà chúng tôi đã đưa ra, chúng tôi nhận được giải pháp cơ bản đầu tiên cho hệ thống (2) : . Bây giờ chúng tôi đưa vào (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Chúng tôi nhận được: Chúng ta giải hệ này bằng định lý Cramer: Chúng tôi nhận được giải pháp cơ bản thứ hai cho hệ thống (2) : . Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) ... Sau đó, giải pháp chung của nó sẽ là γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2) Ở đây C1 , C2 - hằng số tùy ý. 4. Tìm một riêng dung dịch hệ thống không đồng nhất(1) ... Như trong đoạn văn 3 , thay vì hệ thống (1) xem xét hệ thống tương đương (5) bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (1) . Di chuyển các ẩn số miễn phí sang phía bên phải x2 và x4. Hãy đưa ra những ẩn số miễn phí x2 và x4 giá trị tùy ý, ví dụ x2 = 2 , x4 = 1 và thay thế chúng trong (6) ... Chúng tôi nhận được hệ thống Hệ thống này có một giải pháp duy nhất (vì yếu tố quyết định của nó М20). Giải nó (bằng định lý Cramer hoặc bằng phương pháp Gauss), chúng ta thu được x1 = 3 , x3 = 3 ... Đưa ra các giá trị của ẩn số tự do x2 và x4 , chúng tôi nhận được giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất(1)α1 = (3,2,3,1). 5. Bây giờ nó vẫn để ghi nghiệm chung α của hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng giải pháp tư nhân hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất giảm của nó (2) : α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2). Điều này có nghĩa là: 6. Kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải quyết đúng hệ thống chưa (1) , chúng tôi cần một giải pháp chung (7) thay thế trong (1) ... Nếu mỗi phương trình trở thành bản sắc ( C1 và C2 phải được phá hủy), sau đó giải pháp được tìm thấy chính xác. Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ có phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (NS1 + NS2 + NS3 9 NS4 =1) . Ta được: (3 - С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) 9 (1 + С2) = - 1 (C1 - C1) + (5C2 + 4C29C2) + (3 + 2 + 39) = - 1 Khi đó 1 = 1. Chúng tôi có một danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) . Bình luận. Việc kiểm tra thường khá rườm rà. Có thể khuyến nghị "kiểm tra từng phần" sau: trong giải pháp tổng thể của hệ thống (1) để gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm cụ thể thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì rất có thể, giải pháp hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo hoàn toàn về tính đúng đắn!). Ví dụ, nếu trong (7) đặt C2 =- 1 , C1 = 1, khi đó ta được: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 90= - 1 , nghĩa là, 1 = 1. Chúng tôi có một danh tính. Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính (1) , thể hiện các ẩn số cơ bản dưới dạng các ẩn số tự do. Dung dịch. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> trong số các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại những phương trình của hệ thống (1) , các hệ số được bao gồm trong hệ số nhỏ cơ bản này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét một hệ bao gồm chúng tương đương với hệ (1). Chúng ta chuyển các ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này. Hệ thống (9) chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gauss, coi các vế phải là các điều khoản tự do. https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 "> Lựa chọn 2. https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = "> Lựa chọn 4. https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 "> Tùy chọn 5. https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 "> Tùy chọn 6. https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 "> Hệ phương trình tuyến tính trong đó tất cả các số hạng tự do đều bằng 0 được gọi là đồng nhất : Bất kỳ hệ thống đồng nhất nào cũng luôn tương thích, vì nó luôn sở hữu số không (không đáng kể ) dung dịch. Câu hỏi đặt ra trong những điều kiện nào mà một hệ thống đồng nhất sẽ có một giải pháp không tầm thường. Định lý 5.2.Một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi hạng của ma trận chính nhỏ hơn số ẩn số của nó. Hậu quả... Một hệ thuần nhất vuông có một nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi định thức của ma trận cơ bản của hệ không bằng không. Ví dụ 5.6. Xác định các giá trị của tham số l mà hệ thống có các nghiệm không đáng kể và tìm các giải pháp sau: Dung dịch... Hệ thống này sẽ có một nghiệm không đáng kể khi định thức của ma trận chính bằng 0: Do đó, hệ thống là không tầm thường khi l = 3 hoặc l = 2. Với l = 3, hạng của ma trận chính của hệ là 1. Sau đó, chỉ để lại một phương trình và giả sử rằng y=Một và z=NS, chúng tôi nhận được x = b-a, I E. Với l = 2, hạng của ma trận chính của hệ là 2. Sau đó, chọn ma trận phụ làm cơ sở: chúng tôi có một hệ thống đơn giản hóa Từ điều này, chúng tôi thấy rằng x = z/4, y = z/ 2. Giả định z=4Một, chúng tôi nhận được Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất có một thuộc tính tuyến tính : nếu cột X 1 và X 2 - nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0, sau đó bất kỳ kết hợp tuyến tính nào của chúng Một NS 1 + b NS 2 cũng sẽ là một giải pháp cho hệ thống này... Thật vậy, kể từ khi CÂY RÌU 1 = 0 và CÂY RÌU 2 = 0 , sau đó MỘT(Một NS 1 + b NS 2) = a CÂY RÌU 1 + b CÂY RÌU 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Chính vì tính chất này mà nếu một hệ tuyến tính có nhiều hơn một nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm này. Các cột độc lập tuyến tính E 1 , E 2 , E kđó là các giải pháp cho một hệ thống đồng nhất được gọi là hệ thống quyết định cơ bản một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nếu nghiệm tổng quát của hệ này có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột này: Nếu một hệ thống đồng nhất có n biến và thứ hạng của ma trận chính của hệ thống là NS, sau đó k = n-r. Ví dụ 5.7. Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính sau: Dung dịch... Hãy tìm hạng của ma trận chính của hệ thống: Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình này tạo thành một không gian con tuyến tính có chiều n - r= 5 - 2 = 3. Chọn làm thành phần cơ bản Sau đó, chỉ để lại các phương trình cơ bản (phần còn lại sẽ là tổ hợp tuyến tính của các phương trình này) và các biến cơ bản (phần còn lại, được gọi là các biến tự do, chúng ta chuyển sang bên phải), chúng ta nhận được một hệ phương trình đơn giản: Giả định NS 3 = Một, NS 4 = NS, NS 5 = NS, chúng ta tìm thấy Giả định Một= 1, b = c= 0, chúng tôi nhận được giải pháp cơ bản đầu tiên; giả định NS= 1, a = c= 0, ta nhận được nghiệm cơ bản thứ hai; giả định NS= 1, a = b= 0, chúng ta nhận được nghiệm cơ bản thứ ba. Kết quả là, hệ thống quyết định cơ bản bình thường có dạng Sử dụng hệ thức cơ bản, nghiệm tổng quát của một hệ thuần nhất có thể được viết dưới dạng NS = aE 1 + thì là ở 2 + cE 3. Một Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất AX = B và mối quan hệ của chúng với hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0. Giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhấtbằng tổng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng AX = 0 và một nghiệm riêng tùy ý của hệ không thuần nhất... Thật vậy, hãy Y 0 là một nghiệm cụ thể tùy ý của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY 0 = NS, và Y- giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY = B... Trừ đi một bằng nhau, chúng ta nhận được Cho hệ không thuần nhất có dạng AX = B 1 + NS 2 . Khi đó nghiệm tổng quát của một hệ như vậy có thể được viết dưới dạng X = X 1 + NS 2 , nơi AX 1 = NS 1 và AX 2 = NS 2. Thuộc tính này thể hiện một thuộc tính phổ quát nói chung cho bất kỳ hệ thống tuyến tính nào (đại số, vi phân, hàm, v.v.). Trong vật lý, thuộc tính này được gọi là Nguyên lý chồng chất, trong kỹ thuật điện và vô tuyến - nguyên tắc lớp phủ... Ví dụ, trong lý thuyết về mạch điện tuyến tính, dòng điện trong bất kỳ mạch nào có thể nhận được dưới dạng tổng đại số của các dòng điện gây ra bởi mỗi nguồn năng lượng riêng biệt. Ma trận đã cho Tìm: 1) aA - bB, Dung dịch: 1) Tìm nó tuần tự, sử dụng các quy tắc nhân ma trận với một số và cộng ma trận ..
2. Tìm A * B nếu Dung dịch: Sử dụng quy tắc nhân ma trận Bài giải: 3. Đối với một ma trận đã cho, hãy tìm M 31 nhỏ nhất và tính định thức. Dung dịch: M nhỏ nhất 31 là định thức của ma trận, nhận được từ A sau khi gạch bỏ hàng 3 và cột 1. Tìm 1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0. Chúng tôi biến đổi ma trận A mà không thay đổi định thức của nó (hãy tạo các số không ở hàng 1)
Bây giờ chúng ta tính định thức của ma trận A bằng cách phân hủy ở hàng 1
Trả lời: М 31 = 0, detA = 0 Giải bằng phương pháp Gauss và phương pháp Cramer. 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + 3x 3 = 6 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 Dung dịch: Đánh dấu
Có thể áp dụng phương pháp của Cramer
Giải hệ: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3 Hãy áp dụng phương pháp Gauss. Hãy đưa ma trận mở rộng của hệ thống về dạng tam giác. Để thuận tiện cho việc tính toán, hãy hoán đổi các dòng: Nhân hàng thứ 2 với (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) và thêm vào thứ 3:
Nhân hàng thứ nhất với (k = -2 / 2 = -1 ) và thêm vào thứ 2: Hệ thống ban đầu bây giờ có thể được viết là: x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3) x 2 = 13 - (6x 3) Từ dòng thứ 2, chúng tôi thể hiện Từ dòng đầu tiên, chúng tôi thể hiện Giải pháp là như nhau. Đáp số: (2; -5; 3) Tìm giải pháp chung cho hệ thống và SDF 13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0 11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0 7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0 Dung dịch: Hãy áp dụng phương pháp Gaussian. Hãy đưa ma trận mở rộng của hệ thống về dạng tam giác.
Nhân hàng thứ nhất với (-11). Nhân hàng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:
Nhân hàng thứ 2 với (-5). Nhân hàng thứ 3 với (11). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2: Nhân hàng thứ 3 với (-7). Nhân hàng thứ 4 với (5). Thêm dòng thứ 4 vào dòng thứ 3: Phương trình thứ hai là sự kết hợp tuyến tính của phần còn lại Hãy tìm hạng của ma trận.
Phần tử được đánh dấu có bậc cao nhất (trong số các phần tử có thể có) và khác không (nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo đối diện), do đó, rang (A) = 2. Vị thành niên này là cơ bản. Nó bao gồm các hệ số cho các ẩn số x 1, x 2, có nghĩa là các ẩn số x 1, x 2 là phụ thuộc (cơ bản) và x 3, x 4, x 5 là miễn phí. Hệ với các hệ số của ma trận này tương đương với hệ ban đầu và có dạng: 18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5 7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5 Bằng cách loại bỏ ẩn số, chúng tôi thấy quyết định chung: x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 x 1 = - 1/3 x 3 Chúng tôi tìm thấy hệ thống quyết định cơ bản (FDS), bao gồm (n-r) các giải pháp. Trong trường hợp của chúng ta, n = 5, r = 2, do đó, hệ nghiệm cơ bản bao gồm 3 nghiệm và các nghiệm này phải độc lập tuyến tính. Để các hàng độc lập tuyến tính, cần và đủ rằng hạng của ma trận bao gồm các phần tử của các hàng phải bằng số hàng, nghĩa là 3. Chỉ cần cung cấp cho các ẩn số tự do các giá trị x 3, x 4, x 5 từ các hàng của định thức bậc 3, khác 0, và tính x 1, x 2. Định thức khác không đơn giản nhất là ma trận nhận dạng. Nhưng ở đây thuận tiện hơn để lấy Chúng tôi tìm thấy bằng cách sử dụng giải pháp chung: a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - LẦN THỨ 4 I nghiệm của FSR: (-2; -4; 6; 0; 0) b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 THỨ TỰ Nghiệm II của SDF: (0; -6; 0; 6; 0) c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 THỨ TỰ Nghiệm III của SDF: (0; - 9; 0; 0; 6) Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6) 6. Cho: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Tìm: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2 Dung dịch: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Đáp số: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên một trường ĐỊNH NGHĨA. Hệ phương trình cơ bản có nghiệm của hệ phương trình (1) là một hệ độc lập tuyến tính khác rỗng với các nghiệm của nó, nghiệm tuyến tính của nó trùng với tập tất cả các nghiệm của hệ (1). Chú ý rằng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm 0 thì không có hệ cơ bản. ĐỀ XUẤT 3.11. Bất kỳ hai hệ nghiệm cơ bản nào của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đều chứa cùng một số nghiệm. Bằng chứng. Thật vậy, hai hệ nghiệm cơ bản bất kỳ của hệ phương trình thuần nhất (1) là tương đương và độc lập tuyến tính. Do đó, theo Mệnh đề 1.12, cấp bậc của họ ngang nhau. Do đó, số lượng giải pháp có trong một hệ thống cơ bản bằng số lượng giải pháp có trong bất kỳ hệ thống giải pháp cơ bản nào khác. Nếu ma trận cơ bản A của hệ phương trình thuần nhất (1) bằng 0, thì bất kỳ vectơ nào từ là nghiệm của hệ (1); trong trường hợp này, bất kỳ tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính nào từ đều là một hệ thống giải pháp cơ bản. Nếu hạng cột của ma trận A bằng nhau thì hệ (1) chỉ có một nghiệm - không; do đó, trong trường hợp này, hệ phương trình (1) không có hệ nghiệm cơ bản. LÝ THUYẾT 3.12. Nếu hạng của ma trận chính của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) nhỏ hơn số biến thì hệ (1) có một hệ cơ bản gồm các nghiệm. Bằng chứng. Nếu hạng của ma trận chính A của hệ thuần nhất (1) bằng 0 hoặc thì định lý trên đã chỉ ra rằng đúng. Do đó, dưới đây giả định là Giả sử, chúng ta sẽ giả sử rằng các cột đầu tiên của ma trận A là độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này, ma trận A tương đương với ma trận bậc giảm và hệ (1) tương đương với hệ phương trình bậc giảm sau: Dễ dàng kiểm tra rằng đối với bất kỳ hệ giá trị nào của các biến tự do của hệ (2) thì có một và chỉ một nghiệm cho hệ (2) và do đó, cho hệ (1). Trong đó, chỉ có nghiệm không của hệ (2) và hệ (1) tương ứng với hệ có giá trị bằng không. Trong hệ thống (2), chúng ta sẽ gán giá trị bằng 1 cho một trong các biến tự do và giá trị bằng 0 cho các biến còn lại. Kết quả là, chúng ta nhận được nghiệm của hệ phương trình (2), chúng ta viết dưới dạng hàng của ma trận C sau: Hệ thống hàng của ma trận này là độc lập tuyến tính. Thật vậy, đối với bất kỳ vô hướng nào từ đẳng thức bình đẳng theo sau và do đó, sự bình đẳng Hãy chứng minh rằng khoảng tuyến tính của hệ các hàng của ma trận C trùng với tập tất cả các nghiệm của hệ (1). Giải pháp tùy tiện của hệ thống (1). Sau đó, vectơ cũng là một giải pháp cho hệ thống (1), và |
