Khoảng cách từ G đến (SBD)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA Δ; trong đó S (α) và Δ (α)

Bước 1: Dựng AK Δ Δ (SAK) (α) (SAK) và (α) (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP SK AP (α) d(A, (α)) = AP

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Hướng dẫn giải

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC (SAM) BC AH

Mà AH SM, do đó AH (SBC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

SA (ABCD) nên SA CD, AD CD

Suy ra (SAD) CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH (SCD)

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2aB. a3 C. aD. a5

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO (ABC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a3, AB = a3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Kẻ AH SB

Ta có:

Lại có: AH SB nên AH (SBC)

d(A; (SBC)) = AH

Trong tam giác vuông SAB ta có:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn C

Kẻ AH SD

Ta có:

Lại có; AH vuông góc SD (2)

Từ (1); (2) AH (SCD) và d(A, (SCD)) = AH

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

Hướng dẫn giải

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)

SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO (ABC) và SO = a3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH SM, ta có

nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.

Ta có: OM = (1/3).AM = (a3)/3

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:

Hiển thị lời giải

Chọn B

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều)

Lại có: AB = AC = AD = a

AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

AO (BCD)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

Hiển thị lời giải

Chọn C

+ Trong mặt phẳng ( ABCD), kẻ OK BC (K BC)

+ Mà BC SO nên suy ra hai mặt phẳng (SOK) và (SBC) vuông góc nhau theo giao tuyến SK.

+ Trong mặt phẳng (SOK), kẻ OH SK (H SK)

Suy ra: OH (SBC) d(O, (SBC)) = OH

+ Xét mp(ABCD) có:

+ xét tam giác SOK vuông tại O ta có:

Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng

A. 33 cmB. 63 cmC. 6 cmD. 62 cm

Hiển thị lời giải

+ Gọi M là trung điểm AB.

Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM AB; DM AB suy ra: AB (CDM)

+ Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên CMD = 60°

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM

DH = d(D, (ABC))

Xét tam giác DHM có:

DH = DM.Sin 60° = 63

Chọn đáp án B

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng

Hiển thị lời giải

Ta có: AB = AC = AD = BD = BC = CD = a2

Tứ diện ABCD là tứ diện đều.

Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác BCD.

Ta có : AC = AD = AB và GB = GC = GD

nên AG (B'CD')

Khi đó ta có: d(A , (BCD)) = AG

Vì tam giác BCD đều cạnh a2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông AGD có:

Chọn C

Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC) .

Hiển thị lời giải

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) , vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC) nên H BC

Dựng HI AB, HJ AC, theo đề bài ta có SIH = SJH = 45°.

Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra : HI = HJ

Lại có B = C = 45° ΔBIH = ΔCJH HB = HC

Vậy H trùng với trung điểm của BC

Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2

Tam giác SHI vuông tại H và có SIH = 45° ΔSHI vuông cân.

Do đó: SH = HI = a/2

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

Hiển thị lời giải

Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên SH (ABC) d(S, (ABC)) = SH

Chọn C

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?

Hiển thị lời giải

Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và

Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD (c.g.c)

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 4aB. 3aC. aD. 2a

Hiển thị lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp đều nên SG (ABC)

Tam giác SAG vuông tại G có:

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:

Hiển thị lời giải

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD

Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO (ABCD)

Kẻ OH SM, ta có:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

Hiển thị lời giải

Vì hình thoi ABCD có BAD bằng 120° nên ABC = 60°

tam giác ABC đều cạnh a.

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC AM = a3/2

Kẻ OI BC tại I OI = AM/2 = a3/4 .

Kẻ OH SI OH (SBC)

d(O; (SBC)) = OH

Xét tam giác vuông SOI ta có:

Chọn D

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng

Hiển thị lời giải

Xác định khoảng cách:

- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ABC = 120° nên ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a

Ta có: AC = a3, AG = a3/3

Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên

Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a.

- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD): Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.

AH = a6/3

Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a6/3

Chọn đáp án D

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?

Hiển thị lời giải

+ Ta có:

nên BC (SAB)

Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên CSB = 30°

+ Xác định khoảng cách: d(A; (SBC)) = AH

Tính AH:

Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 23.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng

Hiển thị lời giải

+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC (SC, (ABCD)) = SCH = 30°

Đặt AD = 4x (x > 0)

Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:

Chọn D

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là

Hiển thị lời giải

Chọn A

+ Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên SAH = 60°

+ Ta có; CI = CA.sin60° = (a3)/2; AI = AB/2 = a/2

Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra

Trong tam giác SHA vuông tại H và SAH = 60° suy ra SH = AH 3 = a21/4

Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d(H; (SAC)) = HF

Ta có:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi