Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số: liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cáchPhương pháp giải bài toán xác định điểm thuộc đồ thị hàm sốĐiểm M thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Rightarrow M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$. Show § Khoảng cách từ điểm M đến trục $Ox$ bằng: $d\left( M;Ox \right)=\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right|$. § Khoảng cách từ điểm M đến trục $Oy$ bằng: $d\left( M;Oy \right)=\left| {{x}_{0}} \right|$. § Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ là: $d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b.f\left( {{x}_{0}} \right)+C \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$. § Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng $\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right)}^{2}}}$. Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có đáp án
Lời giải chi tiết Gọi $M\left( a;\frac{a+2}{a-1} \right)\in \left( C \right),\,\left( a\ne 1 \right).$ Khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ là: $d=\frac{\left| a+\frac{a+2}{a-1} \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{a}^{2}}+2 \right|=2\left| a-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}^{2}}-2a+4=0 \\ {{a}^{2}}+2a=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0\Rightarrow M\left( 0;-2 \right) \\ a=-2\Rightarrow M\left( -2;0 \right) \\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ điểm M cần tìm là $M\left( 0;-2 \right)$ hoặc $M\left( -2;0 \right)$.
Lời giải chi tiết Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Tứ giác $MHOK$ là hình chữ nhật. Ta có: ${{S}_{MHOK}}=MH.MK=d\left( M;Ox \right).d\left( M;Oy \right)$ $=\left| a \right|.\left| \frac{2a+1}{a-1} \right|=\left| \frac{2{{a}^{2}}+a}{a-1} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}+a=2a-2 \\ 2{{a}^{2}}+a=-2a+2 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-a+2=0 \\ 2{{a}^{2}}+3a-2=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-2 \\\end{array} \right.$ Vậy $M\left( \frac{1}{2};4 \right)$ hoặc $M\left( -2:1 \right)$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Gọi $M\left( a;\frac{-a-1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Ta có: $\Delta :2x-y-1=0\Rightarrow d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| 2a+\frac{a+1}{a-1}-1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ $\Leftrightarrow \left| 2{{a}^{2}}-2a+2 \right|=3\left| a-1 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-2a+2=3a-3 \\ 2{{a}^{2}}-2a+2=-3a+3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-5a+5=0 \\ 2{{a}^{2}}+a-1=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-1 \\\end{array} \right.$ Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Lời giải chi tiết Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=1\Rightarrow {{y}_{M}}=0 \\ {{x}_{M}}=-1\Rightarrow {{y}_{M}}=2 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} M\left( 1;0 \right) \\ M\left( -1;2 \right) \\\end{array} \right.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( x;{{x}^{3}}-3x \right)$ với $x\ge -1$. Ta có $\overline{KM}=\left( x-1;{{x}^{3}}-3x+3 \right)\Rightarrow KM=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}}$. Đặt $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}.$ Xét hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;+\infty \right)$, ta có ${f}'\left( x \right)=2\left( x-1 \right)+6\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right);\,\forall x\ge -1.$ Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right).\underbrace{\left[ 1+3\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right) \right]}_{g\left( x \right)}=0\Leftrightarrow x=1$ vì $g\left( x \right)\ge 0;\,\forall x\ge -1.$ Giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ bằng 1. Dấu$''=''$ xảy ra khi $x=1\Rightarrow M\left( 1;-2 \right)\Rightarrow \left( OM \right):y=-2x.$ Chọn D.
|
