Soạn hình học 10 bài 3: Phương trình đường elip Trang 85 Show
Chuyên mục: : Soạn hình học lớp 10
Bài học giới thiệu nội dung: Phương trình đường elip. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK hình học lớp 10, Hocthoi sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Định nghĩa đường elip Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi. Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip.  2. Phương trình chính tắc của elip Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được: \(M(x ; y) \in\) elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1) trong đó: \(b^2= a^2– c^2\) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip 3. Hình dạng của elip Xét elip \((E)\) có phương trình (1): a) Nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc \((E)\) thì các điểm \(M_1(-x ; y) M_2(x ;- y)\) và \(M_3(-x ; -y)\) cũng thuộc \((E)\). Vậy \((E)\) có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\). b) Thay \(y = 0\) vào (1) ta có \(x = ±a\) suy ra \((E)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1(-a ; 0) A_2(a ;0)\). Tương tự thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy \((E)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \( B_1(0 ; -b) B_2(0 ;b)\). Các điểm \(A_1, A_2, B_1, B_2\) gọi là các đỉnh của elip Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1,B_2\) gọi là trục nhỏ của elip. 4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.
Bài tập 1: Trang 88 - SGK Hình học 10 Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau: a) \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\) b) \(4x^2+ 9y^2= 1\) c) \(4x^2+ 9y^2= 36\) => Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10 Lập phương trình chính tắc của elip, biết: a) Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là \(8\) và \(6\) b) Trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6\) => Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 3: Trang 88 - SGK Hình học 10 Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: a) Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \frac{-12}{5})\) b) Một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip => Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 4: Trang 88 - SGK Hình học 10 Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \(80cm\) và trục nhỏ là \(40 cm\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(80cm \times 40cm\), người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình bên dưới. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? => Xem đầy đủ bài giải
Bài tập 5: Trang 88 - SGK Hình học 10 Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\) và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠ F_2\). Đường tròn \((C)\) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip. => Xem đầy đủ bài giải
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F,, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F,M + F2M = 2a. Các điểm Fi và F2gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F,F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. Phương trình chính tắc của elip X2 y2 5r + 5r = 1 (a > b > 0) a b trong đó b2 = a2 - c2; F^-c; 0); F2(c; 0) A,’ Các điểm Ai, A2, Bi và B2 gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A}A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1 B2 gọi là trục nhỏ của elip. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau: a)25+^=1; b)4x2 + 9y2=1; c) 4x2 + 9y2 = 36. $iẦi (E): ~~ + - 1 CÓ a = 5, b = 3, c2 = a2 - b2 = 16 c = 4. 25 9 Vậy (E) có trục lớn 2a = 10, trục nhỏ 2b = 6, tiêu điểm: Fi(-4; 0), F2(4; 0), các đỉnh: Ai(-5; 0), A2(5; 0), Bi(0; -3), B2(0; 3). (E): 4x2 + 9y2 = l-y- + -^- = l 4 9 Ta có a = ị,b = ị,c2=a2-b2=-^- => c = . 2 3 36 6 Vậy (E) có trục lớn 2a = 1, trục nhỏ 2b = ậ, tiêu điểm: Fi| -?/^-;0 I, 3 l 6 J F2J^;0J, các đỉnh: Ai(-Ỉ; oi, A2^|; o), Bi f 0; -£), B2fo; £). „2 V2 (E) 4x2 + 9y2 = 36 A7- + — = 1 9 4 Ta có a = 3, b = 2, c = Va2 - b2 = ỵ/5 . Vậy (E) có trục lớn 2a = 6, trục nhỏ 2b = 4, tiêu điểm: Fi( — >/5 ; 0), F2G/5 ; 0), các đỉnh: Ai(-3; 0), A2(3; 0), Bi(O; -2), B2(0; 2). 2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết: Độ dài trục lớn và trục nhồ lần lượt là 8 và 6; Độ dài trục lớn bằng 10 vá tiêu cự bằng 6. (ỷiắ-i a) Gọi(E): ặ + ịị - 1 (a > b > 0) a b Ta có: 2a = 8 [2b = 6 ‘ X2 y2 Phương trình chính tấc của elip là: — + = 1 V2 V2 b) Gọi (E): -7 + 7-7 = 1 (a > b > 0) a b j2a = 10 fa = 5 Ta có: „ 1 => b2 : 2c = 6 c = 3 16 9 => b2 = a2 - c2 25 - 9= 16 Vậy (E): ỉị + ^- = l. 25 16 3. Lập phuơrig trình chính tắc của eliơ trong các trường hợp sau: ....... f_ 12I Elip đi qua các diêm M(0; 3) và N i 3,---y Ị; Elip có một tiêu điểm là F,( -73 ; 0) và điểm M ft ~ ! nằm trên elip. Giải BT Hình học íỡ - 61 <ỹiải a) Giả sử: (E): 2EỈ + zi = 1 (a > b > 0) a2 b2 M(0; 3) e (E)o 1 = lob = 3 N 3; 12 9 144 , 9 ,16 . _ , ncz „ „ _ , e (E) o + —— = 1 o -7 + 77 = 1 e> a2 = 25 G> a = 5 a2 25.b2 25 ự , V2 y2 Vậy (E) có phương trình chính tắc là: “T + “7 = 1 • 25 9 2 2 b) (E) Z_ + Z_ = 1 (a > b > 0) a b (E) có tiêu điểm Fií-V3; 0), suy ra c = 73 Vậy ta có: a2 = b2 + 3. (1) Vậy ta có: a2 = b2 + 3. (1) c Tip Thay tọa độ của điểm M 1;-^- 1 2 J vào phương trình elip ta được: A- + JL = 1.(2) a2 4b2 Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có: b2 = 1, a2 = 4 Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 7 7 = 1. 4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm X 40cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván như hình vẽ. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? Ta phải ghim hai cái đinh tại hai tiêu điểm Fi và F2, nghĩa là cách mép tấm ván ép một đoạn: A1F1 = a - c = 40 - 20 73 = 20 (2 - 73 ) = 5,36 (cm) Theo cách vẽ trong bài học vòng dây phải có chiều dài: 2a + 2c - 80 + 40 (cm). 5. Cho hai dường tròn (Ft; R1) và 'f'ĩ (F2; R2). 'í\ nằm trong '6 và F( F2. Đường tròn wthay đổi luôn tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc trong với y2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn ydi động trên một elip. MFj = R + R1 MFg =R2-R (ỹiải Ta gọi bán kính của co là R: Ta có Suy ra MF! + MF2 = Ri + R2 Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) có các tiêu điểm là Fi, F2 và trục lớn 2a = R| + R2. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: (E) có độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4. (E) có một tiêu điểm F(-2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10. (E) đi qua M (0; 1) và N(1; ^-). Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của các elip sau: a) 16x2 + 25y2 = 400 ; b) X2 + 9y2 = 36. Cho A(0; sint), B(3cost; 0). Tìm tập hợp các điểm M(x; y) sao cho 2AM + 5MB = õ. Chứng minh rằng: hai elip này cắt nhau tại 4 điểm nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elip. 4<ĩ/ X2 + y2 = 11 |
