Toán nâng cao lớp 6 về chứng minh năm 2024

Tài liệu gồm 252 trang, tuyển tập 13 chuyên đề nâng cao môn Toán lớp 6, giúp học sinh lớp 6 tìm hiểu chuyên sâu chương trình Toán 6 và ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6.

CHUYÊN ĐỀ 1. TẬP HỢP VÀ CỦNG CỐ VỀ SỐ TỰ NHIÊN. Dạng 1. Tập hợp trên số tự nhiên. Dạng 2. Đếm. Dạng 3. Tìm số tự nhiên. CHUYÊN ĐỀ 2. DẤU HIỆU CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ. Dạng 1. Các bài toán về chứng minh. Dạng 2. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện nào đó. Dạng 3. Bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện. CHUYÊN ĐỀ 3. LŨY THỪA TRONG SỐ TỰ NHIÊN. Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng. Dạng 3. So sánh lũy thừa với lũy thừa. Dạng 4. Tìm giá trị của số tự nhiên. CHUYÊN ĐỀ 4. DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT. Dạng 1. Một số dãy số tổng quát. Dạng 2. Một số bài tập vận dụng. CHUYÊN ĐỀ 5. BỘI – ƯỚC – ƯCLN – BCNN. Dạng 1. Một số bài toán cơ bản liên quan về ước và bội. Dạng 2. Tìm số tự nhiên khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN. Dạng 3. Tìm ƯCLN của các biểu thức số. Dạng 4. Vận dụng thuật toán Ơ-clit tìm ƯCLN. CHUYÊN ĐỀ 6. TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG. Dạng 1. Tìm một chữ số tận cùng. Dạng 2. Tìm hai chữ số tận cùng. Dạng 3. Tìm ba chữ số tận cùng. CHUYÊN ĐỀ 7. SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ – SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Dạng 1. Số nguyên tố và hợp số. Dạng 2. Số chính phương. CHUYÊN ĐỀ 8. BẤT ĐẲNG THỨC. Dạng 1. So sánh hai số. Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức. Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Dạng 4. Dùng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm. CHUYÊN ĐỀ 9. DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT. Dạng 1. Một số bài toán cơ bản về phân số. Dạng 2. Tính nhanh. Dạng 3. Chứng minh biểu thức. Dạng 4. Tìm x. Dạng 5. So sánh phân số. Dạng 6. Tìm giá trị thỏa mãn biểu thức. CHUYÊN ĐỀ 10. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Phương pháp 1. Dùng sơ đồ đoạn thẳng. Phương pháp 2. Giả thiết tạm. Phương pháp 3. Phương pháp dùng đơn vị quy ước. Phương pháp 4. Phương pháp tính ngược từ cuối. Phương pháp 5. Giải toán bằng phương pháp lựa chọn. CHUYÊN ĐỀ 11. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG. Dạng 1. Chuyển động cùng chiều. Dạng 2. Chuyển động ngược chiều. Dạng 3. Chuyển động của vật có chiều dài đáng kể. Dạng 4. Chuyển động có dòng nước. Dạng 5. Chuyển động có vận tốc thay đổi trên từng đoạn. Dạng 6. Vận tốc trung bình. CHUYÊN ĐỀ 12. ĐOẠN THẲNG. CHUYÊN ĐỀ 13. GÓC.

• Tài Liệu Toán 6

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Trang chủ / Dạng toán chứng minh / Dạng toán chứng minh lớp 6

Dạng toán chứng minh luôn là dạng toán khó trong chương trình toán học. Toán chứng minh thường xuất hiện dưới dạng các bài để lựa chọn học sinh giỏi, vì vậy đây là dạng toán cực kỳ quan trọng với các em trong chương trình toán nâng cao lớp 6. Tiếp theo trong chương trình ôn tập và bồi dưỡng toán lớp 6, chúng ta sẽ tìm hiểu và giải các dạng toán chứng minh lớp 6. Chứng minh sẽ có 2 dạng là dạng chứng minh đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Dạng toán chứng minh lớp 6 thuộc chương III – phân số, đây là chương cuối trong chương trình đại số lớp 6. Đây là dạng toán khó, nên có bài toán nào chưa làm được, các em có thể để lại comments dưới bài viết để nhận hướng dẫn và chia sẻ cho mọi người cùng xem nhé. Để nắm chắc kiến thức chương III phân số lớp 6, các bạn và các em hãy theo dõi toàn bộ 8 dạng toán phân số lớp 6 nâng cao trên Luyện Thi Nhanh nhé.

8 dạng toán phân số lớp 6 nâng cao

0. Lý thuyết cơ bản về phân số lớp 6

1. Rút gọn phân số – phân số tối giản

2. Thực hiện phép tính phân số lớp 6 nâng cao

3. Tìm X để biểu thức nguyên lớp 6 nâng cao

4. Các dạng toán so sánh lớp 6 nâng cao

5. Dạng toán chứng minh lớp 6

6. Các bài toán tìm x lớp 6

7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

8. Các bài toán đố quen thuộc

Trong giới hạn trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tiết 1/2 phần:

Dạng toán chứng minh lớp 6

Trong chương trình toán lớp 6 phần số học: Chương Phân số rất quan trọng và khó học. Đặc biệt kiến thức này còn có trong đề thi kiểm tra 1 tiết, đề thi học kì lớp 6 nên học sinh lớp 6 phải học thật chắc chắn.Dưới đây, hệ thống giáo dục trực tuyến Vinastudy xin giới thiệu một vài ví dụ về các bài toán Chứng minh bất đẳng thức phân số. Hi vọng tài liệu sẽ hữu ích giúp các em ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho $A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,....\,\frac{1}{2}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 2. Cho $A=\frac{2}{{{3}^{{2}}}+\frac{2}{{{5}}{2}}}+\frac{2}{{{7}^{{2}}}+...+\frac{2}{{{2007}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,...\,\,\frac{1003}{2008}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 3. Cho: $A=\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{9}{1000!}$ . Khi đó $A\,\,....\,\,\frac{1}{9!}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 4: So sánh tổng $C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$ với 1 ?

Bài 5:So sánh $B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$ với 3 ?

Bài 6. Chứng minh rằng: $M=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}$. Khi đó: $M\,\,...\,\,1$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 7:Tính giá trị B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$ ?

Bài 8: So sánh $A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$ với $B=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}$ ?

Bài 9: Tính giá trị của tích A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$ ?

Bài 10: Tìm x biết $\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

Bài 11: Tìm x biết $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

Bài 12: So sánh tổng $A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$ với 1 ?

Bài 13: Cho hai phân số $C=\frac{2}{n-1}$ và $D=\frac{n+4}{n+1}$. Tìm các số nguyên n để C và D đều là các số nguyên ?

Bài 14: Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{n+2}{n+1}$ là số nguyên ?

Bài 15: Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{1}{n-1}$ là số nguyên ?

Bài 16: Cho phân số $A=\frac{n-5}{{{n}^{2}}+1}$, x$n\in \mathbb{Z}$. Tìm giá trị phân số A khi n = 5 ?

Bài 17: Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $C=\frac{7}{x-3}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 18:Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $D=\frac{x+3}{x-2}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 19:Với $x\in \mathbb{Z}$ phân số $A=\frac{4x-1}{2x+3}$ có giá trị lớn nhất là:

Bài 20: Với $n\in \mathbb{Z}$ biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất $\text{A}=\frac{9n-4}{2n-7}$ là:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

Cho $A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,....\,\frac{1}{2}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

$A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$

$A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}\left( 1+\frac{1}{{{2}}{2}}}+\frac{1}{{{3}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{50}}{2}}} \right)$

$\Rightarrow$$A<\frac{1}{4}.\left( 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50} \right)=\frac{1}{4}.\left( 1+1-\frac{1}{50} \right)$

$A<\frac{1}{2}$

Bài 2.

Cho $A=\frac{2}{{{3}^{{2}}}+\frac{2}{{{5}}{2}}}+\frac{2}{{{7}^{{2}}}+...+\frac{2}{{{2007}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,...\,\,\frac{1003}{2008}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

Ta có: $\frac{2}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}<\frac{2}{2n\left( 2n+2 \right)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}$

Thay $n=1,2,3,...,1003$

Ta có: $A<\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}=\frac{1003}{2008}$ (đpcm)

Bài 3.

Cho: $A=\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{9}{1000!}$ . Khi đó $A\,\,....\,\,\frac{1}{9!}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

$A<\frac{10-1}{10!}+\frac{11-1}{11!}+\frac{12-1}{12!}+...+\frac{1000-1}{1000!}$

$=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}$

$=\frac{1}{9!}-\frac{1}{1000!}<\frac{1}{9!}$ (đpcm)

Bài 4:

So sánh tổng $C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$ với 1 ?

Bài giải :

$C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{2}{25.27}+\frac{2}{27.29}+\frac{2}{29.31}+...+\frac{2}{73.75} \right)$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{27}+\frac{1}{27}-\frac{1}{29}+...+\frac{1}{73}-\frac{1}{75} \right)$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{75} \right)$

$C=\frac{1}{75}$

Vậy C<1.

Bài 5:

So sánh $B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$ với 3 ?

Bài giải :

$B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$

$B=9\left( \frac{4}{1.3.5}+\frac{4}{3.5.7}+\frac{4}{5.7.9}+...+\frac{4}{25.27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{25.27}-\frac{1}{27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{1.3}-\frac{1}{27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{783} \right)$

$B=\frac{260}{87}$

Vậy B<3.

Bài 6.

Chứng minh rằng: $M=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}$. Khi đó: $M\,\,...\,\,1$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

Ta có:$\frac{1}{2!}=\frac{1}{1.2};\frac{1}{3!}=\frac{1}{2.3};\frac{1}{4!}<\frac{1}{3.4};...;\frac{1}{100!}<\frac{1}{99.100}$

$A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}$

$A<1$ (đpcm)

Bài 7:

Tính giá trị B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$ ?

Bài giải:

B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$

B = $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{24}-\frac{1}{25}$

B = $\frac{1}{5}-\frac{1}{25}$

B = $\frac{4}{25}$

Vậy: B = $\frac{4}{25}$

Bài 8:

So sánh $A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$ với $B=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}$ ?

Bài giải:

Ta có:

$A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$

\= $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2.\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200} \right)$

\= $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}-\left( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100} \right)$

\= $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}=B$

Vậy A=B.

Bài 9:

Tính giá trị của tích A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$ ?

Bài giải:

A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$

A = $\left( 1-\frac{2}{42} \right)\left( 1-\frac{2}{56} \right)\left( 1-\frac{2}{72} \right)...\left( 1-\frac{2}{2652} \right)$

A = $\left( 1-\frac{2}{6.7} \right)\left( 1-\frac{2}{7.8} \right)\left( 1-\frac{2}{8.9} \right)...\left( 1-\frac{2}{51.52} \right)$

A = $\frac{5.8}{6.7}.\frac{6.9}{7.8}.\frac{7.10}{8.9}...\frac{50.53}{51.52}$

A = $\frac{5.6.7...50}{6.7.8...51}$ . $\frac{8.9.10...53}{7.8.9...52}$

A = $\frac{5}{51}.\frac{53}{7}$

A = $\frac{265}{357}$

Bài 10:

Tìm x biết $\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

Bài giải:

$\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

$\frac{2}{6.7}+\frac{2}{7.8}+\frac{2}{8.9}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

$2\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}$

$2\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}$

Vậy x=17.

Bài 11:

Tìm x biết $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

Bài giải:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{44}{45}$

$1-\frac{1}{x+1}=\frac{44}{45}$

Vậy x=44.

Bài 12:

So sánh tổng $A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$ với 1 ?

Bài giải:

$A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{4}{5.9}+\frac{4}{9.13}+\frac{4}{13.17}+...+\frac{4}{797.801} \right)$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{797}-\frac{1}{801} \right)$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{801} \right)$

$A=\frac{199}{4005}$

Vậy A<1.

Bài 13:

Cho hai phân số $C=\frac{2}{n-1}$ và $D=\frac{n+4}{n+1}$. Tìm các số nguyên n để C và D đều là các số nguyên ?

Bài giải:

Để C là số nguyên thì n – 1 $\in$ Ư(2) = {1; -1; 2; -2}

Suy ra n $\in$ {2 ; 0 ; 3 ; -1} (1)

$D=\frac{n+4}{n+1}=\frac{n+1+3}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}$

Để D là số nguyên thì n + 1 $\in$ Ư(3) = {1; -1; 3; -3}

Suy ra n $\in$ {0 ; -2 ; 2 ; -4} (2)

Từ (1) và (2), để C và D đều là số nguyên thì n = 0 ; n = 2.

Bài 14:

Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{n+2}{n+1}$ là số nguyên ?

Bài giải:

$A=\frac{n+2}{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Để A là số nguyên thì n + 1 thuộc ước của 1.

Ư(1) = {1; -1}

Với n+1 = 1 thì n = 0

Với n+1 = -1 thì n = -2

Vậy có hai giá trị của n thỏa mãn đề bài.

Bài 15:

Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{1}{n-1}$ là số nguyên ?

Bài giải:

Để A là số nguyên thì n – 1 thuộc ước của 1.

Ư(1) = {1; -1}

Với n – 1 = 1 thì n = 2

Với n – 1 = -1 thì n = 0

Vậy có 2 giá trị của n thỏa mãn đề bài.

Bài 16:

Cho phân số $A=\frac{n-5}{{{n}^{2}}+1}$, x$n\in \mathbb{Z}$. Tìm giá trị phân số A khi n = 5 ?

Bài giải:

Với n = 5 thì $A=\frac{5-5}{{{5}^{2}}+1}=0$

Bài 17:

Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $C=\frac{7}{x-3}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài giải:

$C=\frac{7}{x-3}$

+) Với $x-3>0$ thì $\frac{7}{x-3}>0$

+) Với $x-3<0$ thì $\frac{7}{x-3}<0$

Để C có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{7}{x-3}<0 \\ & x-3\,co\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{55}{2n-7}>0 \\ & 2n-7\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$