Giải Toán lớp 6 trang 19 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống Show
Giải bài tập SGK Toán 6 Tập 1 trang 19 sách Kết nối tri thức với cuộc sống giúp các em học sinh lớp 6 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Phép nhân và phép chia số tự nhiên. Thông qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 5 Chương I trong sách giáo khoa Toán 6 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống. Mời các em cùng theo dõi nội dung chi tiết trong bài viết dưới đây của Download.vn: Giải Toán 6 bài 5: Phép nhân và phép chia số tự nhiên sách Kết nối tri thức với cuộc sốngTính a) 834 . 57 b) 603 . 295 Gợi ý đáp án: 834 . 57 = 47 538 603 . 295 = 177 885 Vận dụng 1Giá tiền in một trang giấy khổ A4 là 350 đồng. Hỏi bác Thiệp phải trả bao nhiêu tiền nếu in một tài liệu khổ A4 dày 250 trang thì hết bao nhiêu tiền? Gợi ý đáp án: Số tiền mà bác Thiệp phải trả khi in tập tài liệu đó là: 250 . 350 = 87 500 (đồng) Đáp số: 87 500 đồng Luyện tập 2Tính nhẩm 125 . 8001 . 8 Gợi ý đáp án: 125 . 8001 . 8 = (125 . 8) . 8 001 = 1000 . 8 001 = 8 001 000 Vận dụng 2Một trường Tiểu học lên kế hoạch thay tất cả các bóng đèn sợi đốt bình thường bằng bóng đèn LED cho 32 phòng học, mỗi phòng 8 bóng. Nếu mỗi bóng đèn có giá 96 000 đồng thì nhà trường phải trả bao nhiêu tiền mua bóng đèn LED để thay đủ cho các phòng học. Gợi ý đáp án: Số bóng đèn cần phải thay tất cả là: 32 . 8 = 256 (bóng đèn) Tổng số tiền nhà trường phải trả là: 96 000 . 256 = 24 576 000 (đồng) Đáp số: 24 576 000 đồng Giải Toán 6 Kết nối tri thức Phép chia hết và phép chia có dưLuyện tập 3Thực hiện các phép chia sau: a) 945 : 45 b) 3 121 : 51 Gợi ý đáp án: a) 945 : 45 = 21 b) 3 121 : 51 = 61 (dư 10) Vận dụng 3Giải bài toán mở đầu Gợi ý đáp án: Số tiền mà mẹ phải trả là: 10 . 20 000 = 200 000 (đồng) Số tờ 50 nghìn đồng mà mẹ phải đưa là: 200 000 : 50 000 = 4 (tờ) Đáp số: 4 tờ Giải Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống trang 19 tập 1Bài 1.23 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Thực hiện các phép nhân sau: c) 845 . 253 d) 1 356 . 125 Gợi ý đáp án: a) 951 . 23 = 21 873 b) 47 . 273 = 12 831 c) 845 . 253 = 213 785 d) 1 356 . 125 = 169 500 Bài 1.24 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Tính nhẩm: a) 125 . 10 b) 2 021 . 100 c) 1 991 . 25 . 4 d) 3 025 . 125 . 8 Gợi ý đáp án: a) 125 . 10 = 1 250 b) 2021 . 100 = 202 100 c) 1991 . 25 . 4 = 1991 . (25 . 4) ⟶ Tính chất kết hợp = 1991 . 100 = 199 100 d) 3025 . 125 . 8 = 3025 . (125 . 8) ⟶ Tính chất kết hợp = 3025 . 1000 = 3 025 000 Bài 1.25 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Tính nhẩm: a) 125 . 101. Hướng dẫn: Viết 101 = 100 + 1. b) 21 . 49. Hướng dẫn: Viết 49 = 50 - 1. Gợi ý đáp án: a) 125 . 101 = 125 . (100 + 1) ⟶ Tách 101 = 100 + 1 = 125 . 100 + 125 . 1 ⟶ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng = 12500 + 125 = 12 625 b) 21 . 49 = 21 . (50 – 1) ⟶ Tách 49 = 50 - 1 = 21 . 50 – 21 . 1 ⟶ Tính chất a. (b – c) = a.b – a.c = 21 . 5 . 10 – 21 ⟶ Tách 50 = 5 . 10 = (21 . 5). 10 – 21 ⟶ Tính chất kết hợp = 105 . 10 – 21 = 1050 – 21 = 1029 Bài 1.26 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Một trường Trung học cơ sở có 50 phòng học, mỗi phòng có 11 bộ bàn ghế, mỗi bộ bàn ghế có thể xếp cho 4 học sinh ngồi. Trường có thể nhận nhiều nhất bao nhiêu học sinh. Gợi ý đáp án: Theo đề bài thì: 11 bộ bàn ghế có thế xếp cho số học sinh là: 11 . 4 = 44 (học sinh) 50 phòng học có thể chứa được số học sinh là: 50 . 44 = 2 200 (học sinh) Vậy trường có thể nhận nhiều nhất 2 200 học sinh. Bài 1.27 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Tìm thương và số dư (nếu có) của các phép chia sau: a) 1 092 : 91 b) 2 059 : 17 Gợi ý đáp án: a) 1 092 : 91 = 12 (phép chia hết) b) 2 059 : 17 = 121 (dư 2) Bài 1.28 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Tổng điều tra dân số ngày 1 - 4 - 2019, tỉnh Bắc Giang có 1 803 950 người (theo Tổng cục Thống kê). Biết rằng hai lần số dân tỉnh Bắc Giang kém dân số Thanh Hóa 32 228 người. Tính số dân tỉnh Thanh Hóa. Gợi ý đáp án: Số dân tỉnh Thanh Hóa là: 1 803 950 . 2 + 32 228 = 3 640 128 (người) Đáp số: 3 640 128 người Bài 1.29 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Một Trường trung học cơ sở có 997 học sinh tham sự lễ tổng kết cuối năm. Ban tổ chức đã chuẩn bị những chiếc ghế băng 5 chỗ ngồi. Phải có ít nhất bao nhiêu ghế băng như vậy để tất cả học sinh đều có chỗ ngồi? Gợi ý đáp án: Vì 997 : 5 = 199 (dư 2) nên xếp đủ 199 chiếc ghế và còn thừa 2 học sinh và phải dùng thêm 1 chiếc ghế để có chỗ cho 2 học sinh. Vậy, cần dùng ít nhất: 199 + 1 = 200 (ghế băng) Bài 1.30 (trang 19 SGK Toán 6 Tập 1)Một nhà máy dùng ô tô chuyển 1 290 kiện hàng tới một cửa hàng. Nếu mỗi chuyến xe chở được 45 kiện thì phải cần ít nhất bao nhiêu chuyến xe để chuyển hết số kiện hàng trên? Gợi ý đáp án: Vì 1 290 : 45 = 28 (dư 30) nên xếp đủ 28 chuyến xe thì còn dư 30 kiện hàng, và phải dùng thêm 1 chuyến xe nữa để chở hết 30 kiện hàng đó. Vậy cần ít nhất là: 28 + 1 = 29 (chuyến)
Giải: Các số từ 1 đến 100, các số chia hết cho 3 có dạng là: 3; 6; 9; ...; 99. => Dãy số trên là dãy số cách đều (3 đơn vị) Vậy từ 1 đến 100, các số chia hết cho 3 là: \(\left(99-3\right):3+1=33\) (số) Tương tự, ta có các số chia hết cho 9 từ 1 đến 100 là: 9; 18; 27; ...; 99 Vậy từ 1 đến 100, các số chia hết cho 9 là: \(\left(99-9\right):9+1=11\) (số) Chúc bạn học tốt!
1CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI1. Các kiến thức cần nhớ:Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến mộtsố chẵn… Vì vậy, nếu:- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng sốlượng các số chẵn.-Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵnbằng số lượng các số lẻ.-Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻnhiều hơn các số chẵn là 1 số.- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các sốchẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy sốchính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các sốtrong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.2. Các loại dãy số:+ Dãy số cách đều:- Dãy số tự nhiên.- Dãy số chẵn, lẻ.- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó.+ Dãy số không cách đều.- Dãy Fibonacci hay tribonacci.- Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.+ Dãy số thập phân, phân số:3. Cách giải các dạng toán về dãy số:Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy sốTrước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) vớimột số tự nhiên a.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) vớimột số tự nhiên q khác 0.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với sốtự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nócộng (trừ ) n (n khác 0). Các ví dụ:Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……2Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số nhưsau:Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 82 + 3 = 5 5 + 8 = 13Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạngbằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.Ba số hạng tiếp theo là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 1515 = 3 + 4 + 8Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4)bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110Giải:a). Ta nhận xét :Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2…………………………… Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôisố hạng đứng liền trước đó.Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2.b). Ta nhận xét :Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7………………………… Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của sốhạng ấy nhân với 11.Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11.Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :a. 3, 9, 27, , , 729.b. 3, 8, 23, , , 608.Giải :Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của mỗi dãysố đó.a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 99 x 3 = 273Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liềntrước nó.Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng).Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.b. Ta nhận xét: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23. Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần sốliền trước nó trừ đi 1. Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là:23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng).Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203.Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùngđi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từA, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuốicùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.Giải:2 giờ chiều là 14h trong ngày.2 người đi đến đích của mình trong số giờ là:14 – 7 = 7 giờ.Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số:9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là:9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84Đáp số: 84km.Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010783 998Giải:Ta đánh số thứ tự các ô như sau:783 998Ô1Ô2Ô3Ô4Ô5Ô6Ô7Ô8Ô9Ô10Theo điều kiện của đề bài ta có:783 + Ô7+ Ô8= 2010.Ô7+ Ô8+ Ô9= 2010.Vậy Ô9= 783; từ đó ta tính được:Ô8= Ô5= Ô2= 2010 - (783 + 998) = 229Ô7= Ô4= Ô1= 998Ô3= Ô6= 783.Điền các số vào ta được dãy số:998 229 783 998 229 783 998 229 783 9984Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quyluật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ. Từ đó mà học sinh có thể điềnđược các số vào dãy đã cho.* Bài tập tự luyện:Bài 1: 13, 19, 25, 31,……,Dãy số vừa được viết raBa số viết tiếp là ba số nào?Số nào suy nghĩ thấp cao?Đố em, đố bạn làm sao kể liền?Bài 2: Tìm và viết ra các số hạng còn thiếu trong dãy số sau:a. 7, 10, 13,…, …, 22, 25.b. 103, 95, 87,…, …, , 55, 47.Bài 3: Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:a. n = 14,52,7 8,5b. n = 23,48,7 7,6Bài 4: Cho dãy phân số sau:20022001;20032002;20042003;20052004a) Hãy viết tiếp số hạng thứ năm của dãy theo đúng quy luật?b) Chứng tỏ dãy trên là một dãy xếp theo thứ tự tăng dần?Bài 5: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) 0 ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không?Cách giải của dạng toán này:- Xác định quy luật của dãy;- Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật đó hay không?Các ví dụ:Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……a. Dãy số được viết theo quy luật nào?b. Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?Giải:a. Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2 = 2 x 1Số hạng thứ 2: 4 = 2 x 2Số hạng thứ 3: 6 = 2 x 3… Số hạng thứ n: ? = 2 x n5Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của sốhạng ấy.b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009không phải là số hạng của dãy.Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?- Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?Giải:- Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạngbằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26Dãy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.- Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2 ; 5 : 3 = 1 dư 2 ; 8 : 3 = 2 dư 2 ; Vậy đây là dãy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà:2009 : 3 = 669 dư 2. Vậy số 2009 có thuộc dãy số trên vì cũng chia cho 3 thì dư2.Bài 3: Em hãy cho biết:a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thíchtại sao?Giải:a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đềudư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều gấp đôi số hạng liền trước nhậnnó; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn,mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?Giải:- Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn sốhạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.Ví dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,26(3,4 - 1) chia hết cho 1,2Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?Giải:Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 2009 khôngphải là số hạng của dẫy số đã cho vì lớn hơn 1996.Các số hạng của dãy số đã cho là số khi chia cho 3 thì dư 1. Do đó, số 100 và số1900 là số hạng của dãy số đó.Các số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng củadãy số đã cho.Số 1436 khi chia cho 3 thì dư 2 nên không phải là số hạng của dãy số đã cho.* Bài tập lự luyện:Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…a. Nêu quy luật của dãy.b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không?c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không?Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy* Cách giải ở dạng này là:Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách(toán trồng cây). Ta có công thức sau :Số các số hạng của dãy = số khoảng cách+ 1.Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liềntrước cộng với số không đổi d thì:Số các số hạng của dãy = ( Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1.Các ví dụ:Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68.Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?Lời giải :7Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3; Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmgliền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:( 68 - 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng )Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?Giải:Ta thấy: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 26 – 4 = 2 ; ………Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trướccộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.Dựa vào công thức trên:(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1Ta có: Số các số hạng của dãy là:(1992 - 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứbao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)Giải:Ta thấy:Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2………Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?Giải:a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0Số hạng thứ hai: 18 = 3 + 15 x 1Số hạng thứ ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4………Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1)Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 - 1)= 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng.= 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:Theo quy luật ở phần a ta có:83 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 117033 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ ( n – 1)) = 117033 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2 = 1170315 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2 = 23400n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?Lời giải:Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhấtcó ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lậpthành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạngcủa dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4.Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là :( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )* Bài tập tự luyện:Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng ?Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau:a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0.Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.Dãy này có bao nhiêu số hạng?Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010 ?Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏiphải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cáchcây kia 5m.Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy sốBài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nàoGiải:Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:98 - 1 = 99Mỗi khoảng cách là3 - 1 = 5 - 3 = 2Số hạng thứ 100 là1 + 992 = 199Công thức tổng quát:Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách(Số số hạng - 1)Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1)b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2)c) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3)9Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,…Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa sốthứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này cósố hạng thứ 100 là 100.Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100x102 = 10200.b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,…Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứnhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400.c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng:;1 22;2 32;3 42;4 52 Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng:100 10150502* Bài tập tự luyện:Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó.Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số.b) Nếu cứ viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng của dãy không ?Tại sao.Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2 bátđầu từ số 5 thành dãy số. Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai. Hỏi bạn đóđã viết sai số nào ?Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạngBài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùngbao nhiêu chữ sốGiải:Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số.Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ sốCó ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.Vậy số chữ số cần dùng là :9 1 + 90 2 + 51 3 = 342 chữ sốBài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người taphải dùng bao nhiêu chữ số.Giải:Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến234 thành dãy số. Dãy số này có( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ sốCó: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số10Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ sốVậy người ta phải dùng số chữ số là:91 + 902 + 1353 = 594 chữ số* Bài tập tự luyện:Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rấtlớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ sốBài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinhtrường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ sốBài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:a) 752 trang.b) 1251 trang.Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ sốBài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyểnsách đó có bao nhiêu trang?Giải:Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ1 thành dãy số. Dãy số này có9 số có 1 chữ sốcó 90 số có 2 chữ sốĐể viết các số này cần số chữ số là91 + 902 = 189 chữ sốSố chữ số còn lại là:435 - 189 = 246 chữ sốSố chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được246 : 3 = 82 sốSố trang quyển sách đó là99 + 82 = 181 ( trang)Bài toán 2:Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sáchđó có bao nhiêu trang?Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số.999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ sốVì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh sốcác trang có 3 chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số)Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4,6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy tráicủa đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu,biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cảthảy.11Giải:Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà)Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là:4 + 452 = 94 (lượt)Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt)Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà)Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 - 1)2 + 2 = 280.Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n. Hãy tìm số n để số chữ số của dãy gấp 3 lần sốcác số hạng của dãy.Giải:Để tìm được số n sao cho số các chữ số của dãy gấp ba lần số các số hạng của dãy đó,ta giả sử trung bình mỗi số lẻ liên tiếp của dãy đều có 3 chữ số. Do đó:- Từ 1 đến 9 gồm các số lẻ có một chữ số là:(9 - 1): 2 + 1 = 5 (số)Môi số cần phải viết thêm 2 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là:2 x 5 = 10 (chữ số)Các số lẻ gồm hai chữ số là(99 - 11): 2 + 1 = 45 (số)Mỗi số cần phải viết thêm 1 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là:1 x 45 = 45 (chữ số)Các số lẻ gồm 3 chữ số là:( 999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số)Các số có 3 chữ số đảm bảo số chữ số của dãy gấp ba lần số số hạng của dãy đó.Từ 1001 trở đi, mỗi số cần bớt đi một chữ số. Số chữ số cần thêm phải bằng số chữ sốcần bớt và bằng:10 + 45 = 55 (chữ số)Vì mỗi số phải bớt đi 1 chữ số nên số các số lẻ có 4 chữ số là:55 : 1 = 55 (số)Ta có:(n - 1001) : 2 + 1 = 55(n - 1001) : 2 = 55 - 1 = 54(n - 1001) = 54 x 2 = 108n = 108 + 1001 = 1109* Bài tập tự luyện:Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏisố hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu.Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữsố. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ?Bài 3: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đóngười ta phải dùng 3897 chữ số?12Bài 4: Để đánh số trang của một quyển sách, người ta phải dùng trung bình mỗi trang4 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãyBài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ?Giải:Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ sốCó 90 số có 2 chữ sốĐể viết các số này cần9 1 + 90 2 = 189 chữ sốSố chữ số còn lại là200 - 189 = 11 chữ sốSố chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số)Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến99 + 3 = 102Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200của dãy là chữ số 0 của số 103.Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?Giải:Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ sốCó (98 - 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ sốCó (998 - 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ sốĐể viết các số này cần:4 1 + 45 2 + 450 x 3 = 1444 chữ sốSố chữ số còn lại là:2010 - 1444 = 566 chữ sốSố chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số)Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:(141 - 1) x 2 + 1000 = 1280Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282.Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số17.Giải:Số thập phân bằng phân số17là: 1 : 7 = 0,14285714285 Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là:132010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằngphân số17là chữ số 7.Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ sốhàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậyvới số vừa nhận được (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ). Tìm số thứ 2010của dãy nếu số thứ nhất là 14.Giải:Ta lập được dãy các số như sau:14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu.Với 2010 số thì có số nhóm là:2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số)12 số dó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1.Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1.* Bài tập tự luyện:Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữsố 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số513dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sangchơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phânmà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạnThông trả lời đúng hay sai?Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy sốBài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136Giải:Áp dụng công thức tính tổng ta có :1 + 2 + 3 + + n =2)1( nn136Do đó: (1 + n ) n = 136 2= 1782= 1617Vậy n = 16Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , nTìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840Giải:Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổngsau:1 + 2 + 3 + + 21 + 22 + 23 + + nÁp dụng công thức tính tổng ta có14(1 + n)n : 2 = 1 + 2 + + 20 + 4840= ( 1 + 20)20 : 2 + 4840= 210 + 4840 = 5050( 1+ n)n = 50502= 10100= 101 100Vậy n = 100* Bài tập tự luyện:Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 + + n = 345. Hãy tìm số n.Bài 2: Tìm số n biết rằng98 + 102 + + n = 15050Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106Dạng 9: Tính tổng của dãy sốCác bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là:Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cáchđềuDạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều.Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.Xuất phát từ một bài Toán như sau:Tính: A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101như sau:A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50x 101 = 5050.Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các sốTự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp.Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rấtnhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiềuthể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Đểgiải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìmđược số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhaunữa.Cách giải:Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu vàsố hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạngđầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2.Viết thành sơ đồ:Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)Từ sơ đồ trên ta suy ra:Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối.Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu.15Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành haidạng trên:Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.Giải:19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.Ta thấy: 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 381 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là38.Số cặp số là:19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng.Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻliên tiếp đầu tiên là:39 x 9 + 19 = 361Đáp số: 361.Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ởchính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm sốhạng còn lại sẽ rất khó khăn.Vậy ta có thể làm cách 2 như sau:Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng)Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 405 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40……… ………Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì đượccác cặp số có tổng là 40.Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số)Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:1 + 40 x 9 = 361Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc sốcuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặprồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.Giải:Ghép các số: 1, 2, ……, n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2với (n – 1), 3 với (n – 2), ……Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có:1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2Từ đó ta cũng có:S = (n – 1) x n : 2 + n= (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 216= [(n – 1) x n + 2 x n] : 2= (n – 1 + 2) x n : 2= n x (n + 1) : 2Khi học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng côngthức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau.Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100Lời giảiTa có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả haivế với 100, khi đó ta có:100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000Áp dụng công thức tính tổng ta tính được tổng là E = 4954,95Hoặc giải như sau:Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01Vậy đây là dãy số cách đều 1,01 đơn vị.Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạngTổng của dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy?Giải:Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1,2, 3, ……, 910, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99100, 101, 102, 103, ……, 109 Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng)Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là:1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là:45 x 20 = 900Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu đều bằng tổng các chữ số hàngchục trong 10 dòng sau và bằng:1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450Vậy tổng các chữ số hàng chục là:450 x 2 = 900Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100.Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:900 + 900 + 100 = 1900Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là:1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830Trong Toán học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ vàosuy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận (gọi là giả thuyết)17nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng suy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn toàn để kiểmtra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên cũng được lưu ý.Bài 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số:Giải:Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là:9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tứclà có 1000 số.Tổng tất cả các số của dãy số trên là:(9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5Đáp số: 9499,5Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 ít nhất bao nhiêuđơn vị để được số chia hết cho 100 ?Giải:Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đều 2 đơn vị.Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 số hạng.Tổng của dãy số là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng của dãy số ít nhất 48 đơn vị.Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấpmẫu số của phân số liền trước 2 lần.Ví dụ:641321161814121.Cách giải:Cách 1:Bước 1: Đặt A =641321161814121Bước 2: Ta thấy:21121412141814181Bước 3: Vậy A =641321 81414121211A =641321 81414121211 A = 1 -641A =64636416464Đáp số:6463.18Cách 2:Bước 1: Đặt A =641321161814121Bước 2: Ta thấy:2112141143412181187814121…………….Bước 3: Vậy A =641321161814121= 1 -641=64636416464Bài toán 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân sốliền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1).Ví dụ: B =486516255451856525Cách giải:Bước 1: Tính B x n (n = 3)B x 3 = 3 x486516255451856525=16255451856525215Bước 2: Tính B x n - BB x 3 - B =16255451856525215-486516255451856525B x (3 - 1) =16255451856525215-486516255451856525B x 2 =4865215B x 2 =48653645 B x 24863640B =2:4863640B4861820B24391019Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừasố có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất củamẫu phân số liền sau:Ví dụ 1: A =651541431321xxxxCách giải:A =6556544543343223xxxx=655656544545433434322323xxxxxxxx=6151514141313121=316261636121Ví dụ 2:B =141131183853523xxxxCách giải:B =.1411111411881185585225xxxxB =141111141114118811811855858522525xxxxxxxx=1411111118181515121=7314614114714121* Bài tập tự luyện:Bài 1: Tính tổng:a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100b) 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169Bài 2:a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số.b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.Dãy số trên có mười số hạngTổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanhĐố em, đố chị, đố anhTìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.Bài 3: Tính nhanh:a)272342319419154151141174734xxxxxx20b)1101 4213012011216121c)340113811541881401101Bài 4:21+41+81+ …… +10241+20481+40961= ?Phép cộng phân số khó gì?Kê đủ số hạng ra thì uổng côngCách gì ai tỏ ai thôngCộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờĐố bạn hiền đó em thơĐố ai ai biết đây nhờ giải mau.Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau:a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng.b) , 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng.Bài 6: Tính nhanh:a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19.Bài 7: Cho dãy số: 421,301,201,121,61,21a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.b) Số102001có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?Dạng 10: Dãy chữKhác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phảitính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phảibiết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội,từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác.Các ví dụ:Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãychữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ cái thứ 2009 của dãylà chữ cái nào?Giải:Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữcó 2009 chữ cái thì có:2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái.Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếngTINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134.Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãyTHIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi:a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì?21b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữA? Bao nhiêu chữ N?c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếmsai? Giải thích tại sao?d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG,XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì?Giải:a. Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái:2002 : 13 = 154 (nhóm)Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếngDƯƠNG.b. Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có 2 chữ H và cũng có 2 chữ A và 1 chữN. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N.c. Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn.d. Ta nhận xét:+ 2001 chia cho 4 thì dư 1.+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tômàu XANH.Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH.Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bivàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng cứ như vậy. Hỏi:a) Viên bi thứ 100 có màu gì?b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi?Giải:a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100 viên bi thì có sốnhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi)Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và làviên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh.b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp:3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vàohộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên.* Bài tập tự luyện:Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy:TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi:a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì?b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A?Bao nhiêu chữ O?c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng haysai? Giải thích tại sao?d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG,XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì?22Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy:DAYTOTHOCTOTDAYTOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏichữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì?Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy:DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi:a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì?b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H?Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãyTOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi:a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì?b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Baonhiêu chữ I?c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng,xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì?4- Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số cónhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà córất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó lànhững quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệuchia hết để tìm ra quy luật.Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Tacần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùngchia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho.Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cáchthành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác.Ở dạng 9: Có các yêu cầu:+ Tìm tổng các số hạng của dãy.+ Tính nhanh tổng.Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao chocó tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khitìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào.Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số.Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thểxem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đóchính là phần trả lời của bài toán. |
